一類帶時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒模型的最優(yōu)控制

李小妮

（陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院 通識(shí)學(xué)院，陜西 西安 712046）

0 引 言

病毒編制者將破壞計(jì)算機(jī)功能的數(shù)據(jù)、代碼插入計(jì)算機(jī)內(nèi)，從而構(gòu)成了計(jì)算機(jī)病毒。與生物學(xué)中的病毒一樣，計(jì)算機(jī)病毒在計(jì)算機(jī)內(nèi)具有繁殖性、傳染性、破壞性、潛伏性、隱蔽性、可激活再生性，計(jì)算機(jī)病毒的復(fù)制能力非常強(qiáng)大，是由如果計(jì)算機(jī)感染計(jì)算機(jī)病毒后，計(jì)算機(jī)能夠快速地從一個(gè)用戶到另一個(gè)用戶蔓延開來(lái)，再加上計(jì)算機(jī)的迅速普及，這樣更提高了計(jì)算機(jī)病毒傳播能力，計(jì)算機(jī)病毒的爆發(fā)，對(duì)社會(huì)造成了負(fù)擔(dān)，進(jìn)而對(duì)人們的經(jīng)濟(jì)造成了巨大的影響，及時(shí)有效的防控措施顯得尤為重要，近年來(lái)，許多學(xué)者建立數(shù)學(xué)模型對(duì)疾病傳播規(guī)律進(jìn)行研究，在預(yù)防、控制病毒傳播方面發(fā)揮了重要作用。

計(jì)算機(jī)病毒傳播規(guī)律與生物數(shù)學(xué)中流行病的傳播類似，在生物數(shù)學(xué)中，政府、公共衛(wèi)生機(jī)構(gòu)鼓勵(lì)民眾進(jìn)行相應(yīng)的預(yù)防（如戴口罩、消毒、自我隔離等）是一種及時(shí)、低成本的防控措施，信息干預(yù)可以使疫情規(guī)模變小，降低流行病爆發(fā)的峰值，因此，在計(jì)算機(jī)病毒防護(hù)中，前期的宣傳、提高人們的防護(hù)意識(shí)尤為重要。

另一方面，殺毒軟件的應(yīng)用也是一種直接有效的干預(yù)措施，有助于減輕人們的負(fù)擔(dān)，控制病毒的傳播.因此，殺毒措施可以更大程度地抑制病毒傳播。

對(duì)于有關(guān)部門來(lái)說(shuō)，適宜的實(shí)施計(jì)算機(jī)信息安全方面的宣傳報(bào)道與殺毒軟件的應(yīng)用非常必要，將多種防控措施作為決策變量，聯(lián)合起來(lái)效果更好，因此，許多學(xué)者將宣傳報(bào)道、殺毒軟件的應(yīng)用等作為控制變量，研究計(jì)算機(jī)病毒模型，由于計(jì)算機(jī)病毒有相應(yīng)的潛伏期，會(huì)出現(xiàn)各種形式的延遲，將時(shí)滯引入模型會(huì)更貼合實(shí)際，因此，越來(lái)越多的學(xué)者研究帶時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒模型。

因此，本文考慮將兩種控制變量（計(jì)算機(jī)信息安全方面的宣傳報(bào)道、殺毒軟件的應(yīng)用）和時(shí)滯引入計(jì)算機(jī)病毒模型中，研究帶時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒模型的最優(yōu)控制問(wèn)題，得到最優(yōu)的控制策略。

1 模型的建立

計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)是由若干個(gè)計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的，我們將這些計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)分為五類，分別是容易感染病毒的節(jié)點(diǎn)、暴露在外面的節(jié)點(diǎn)、已感染病毒但還未表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)、已感染病毒并表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)、應(yīng)用計(jì)算機(jī)殺毒軟件的節(jié)點(diǎn)、恢復(fù)到健康的節(jié)點(diǎn)，所有的計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)（包括容易感染病毒的節(jié)點(diǎn)、暴露在外面的節(jié)點(diǎn)）都會(huì)或多或少的受到惡意軟件的攻擊，當(dāng)計(jì)算機(jī)感染病毒時(shí)，感染病毒的計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)會(huì)傳染給其他健康的計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)，使得計(jì)算機(jī)病毒節(jié)點(diǎn)增加，進(jìn)而形成計(jì)算機(jī)病毒。

為了描述計(jì)算機(jī)病毒的動(dòng)力學(xué)行為，我們提出如下的計(jì)算機(jī)病毒傳播模型：

其中，，I，I，I，分別代表易感節(jié)點(diǎn)、暴露節(jié)點(diǎn)、已感染病毒但還未表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)、已感染病毒并表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)、應(yīng)用計(jì)算機(jī)殺毒軟件的節(jié)點(diǎn)、恢復(fù)到健康的節(jié)點(diǎn)，模型（1）中所有非負(fù)參數(shù)的生物學(xué)意義為：，，，分別表示計(jì)算機(jī)的輸入率、被病毒感染無(wú)法工作的比率、病毒感染系數(shù)、病毒感染的恢復(fù)率；β，β，β表示被病毒感染的比率；γ，γ，γ表示傳染節(jié)點(diǎn)恢復(fù)到健康的比率；表示已表現(xiàn)出來(lái)癥狀節(jié)點(diǎn)與未表現(xiàn)出來(lái)癥狀的比率（0 ≤≤1）。

由于現(xiàn)實(shí)生活中，所有病毒都有潛伏期，所以我們將控制變量與時(shí)滯引入模型（1），得到帶時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒的最優(yōu)控制模型：

其中，（），（）分別表示宣傳強(qiáng)度、殺毒強(qiáng)度；為飽和常數(shù)。

2 最優(yōu)控制的存在性

本小節(jié)給出最優(yōu)控制存在性的結(jié)果。

定理1：對(duì)系統(tǒng)（2），存在最優(yōu)控制對(duì)=（，）∈及相關(guān)聯(lián)的最優(yōu)狀態(tài)（，，I，I，I，），使得：

證明：

（1）控制變量（，）與控制狀態(tài)變量非負(fù)；

（2）為凸緊集，（，，，，）為凸函數(shù)；

（3）最優(yōu)系統(tǒng)是有界的；

（4）存在常數(shù)，，使得：

3 最優(yōu)控制的刻畫

本小節(jié)，首先構(gòu)建 Hamilton 函數(shù)、利用 Pontryagins 最大值原理研究系統(tǒng)（2）的最優(yōu)控制問(wèn)題。

定理2：令，滿足最優(yōu)控制系統(tǒng)（2）的控制變量，，，I，I，I，為最優(yōu)狀態(tài)量，（）表示區(qū)間[，]上的示性函數(shù)，則存在伴隨量（）=（，，，，，）∈R，滿足如下伴隨方程：

其中，λ（）=0（=1，2，3），相應(yīng)的最優(yōu)控制為：

其中：

證明：為方便起見，令=（，，I，I，I，），（）=（，）且（）=（，，，，，），χ（）=（-），Hamilton 函數(shù)為：

令=（，）為系統(tǒng)（2）的最優(yōu)控制，（）=（，，I，I，I，）T 為其相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)，由Pontryagins 最大值原理可知，存在（）∈R，使得最優(yōu)控制存在的一階必要條件可以表示為如下三部分：

則由Hamilton 函數(shù)的表達(dá)式可得：

化簡(jiǎn)方程（8）可得：

由控制變量u（）（=1，2）的有界性，可得方程（5）成立；

（3）伴隨方程為

將（6）代入上式得到：

其中，λ（）=0（=1，2）為橫截條件，證畢。

4 數(shù)值模擬

本節(jié)，我們對(duì)模型（2）進(jìn)行數(shù)值模擬，模型（2）的參數(shù)取值如下：=100；Δ=0.01；=3.1；=5.48×10；β=0.761 1，β=0.192 5，β=0.016 7；=0.3；=1/5.1；=0.48；γ=1/5.1；γ=，φ=0.022 1；γ=1/10；δ=0.015；=；δ=0.04；=0.1，權(quán)重=0.15，=0.025，=0.01，=0.031，=0.01，=0.01，初始值=1 000，=50，I=10，I=10，I=10，=1。

數(shù)值模擬結(jié)果如圖1所示。

圖1 最優(yōu)控制與最優(yōu)狀態(tài)

圖1給出了有無(wú)控制措施兩種狀態(tài)下的時(shí)間序列圖，圖1（a）給出了有控制措施、無(wú)控制措施兩種情況下，計(jì)算機(jī)病毒的暴露節(jié)點(diǎn)的時(shí)間序列滅絕圖。由圖1（a）可以看出，實(shí)施控制措施后，能使暴露節(jié)點(diǎn)迅速減少半數(shù)以上。圖1（b）給出了有控制措施、無(wú)控制措施兩種情況下，計(jì)算機(jī)病毒的已感染病毒還未表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)I的時(shí)間序列滅絕圖，由圖1（b）可以看出，實(shí)施控制措施后，雖然在時(shí)間段0 ≤≤20 有一個(gè)小的上升，但在上升之后迅速減少，在30天前后，已感染病毒還未表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)I滅絕。圖1（c）給出了有控制措施、無(wú)控制措施兩種情況下，計(jì)算機(jī)病毒的已感染病毒且已表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)I的時(shí)間序列滅絕圖，由圖1（c）可以看出，實(shí)施控制措施后，在第10 天左右有一個(gè)小的波動(dòng)，但在波動(dòng)之后迅速減少，在40 天前后，已感染病毒且已表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)I滅絕。圖1（d）給出了有控制措施、無(wú)控制措施兩種情況下，計(jì)算機(jī)病毒的應(yīng)用計(jì)算機(jī)殺毒軟件的節(jié)點(diǎn)I的時(shí)間序列滅絕圖.由圖1（d）可以看出，實(shí)施控制措施后，雖然在時(shí)間段0 ≤≤5 呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，但在第5天左右迅速遞減，在40 天前后，應(yīng)用計(jì)算機(jī)殺毒軟件的節(jié)點(diǎn)I滅絕。 圖1（e）給出了兩種控制措施，的取值情況。

綜上所述，由圖1可以看出，實(shí)施控制措施后，暴露節(jié)點(diǎn)、已感染病毒還未表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)I、已感染病毒且已表現(xiàn)出來(lái)的節(jié)點(diǎn)I、應(yīng)用計(jì)算機(jī)殺毒軟件的節(jié)點(diǎn)I都在時(shí)間段0 ≤≤20 之間存在拐點(diǎn)，并有著明顯的下降，由此可以斷定，兩種控制措施對(duì)計(jì)算機(jī)病毒模型的防控具有重要的意義。

5 結(jié) 論

計(jì)算機(jī)病毒的傳播、爆發(fā)給社會(huì)公民造成了困擾，增強(qiáng)人民計(jì)算機(jī)安全意識(shí)與殺毒軟件的正確使用是抑制計(jì)算機(jī)病毒傳播的重要措施。因此，本文主要研究的是一類帶時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒模型的最優(yōu)控制問(wèn)題。首先，我們對(duì)計(jì)算機(jī)病毒模型引入決策變量和時(shí)滯，建立了新的帶時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒模型的最優(yōu)控制模型；其次，對(duì)該控制問(wèn)題進(jìn)行理論分析，給出了最優(yōu)控制存在的一階必要條件。最后，對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，同時(shí)采取宣傳報(bào)道、殺毒軟件的使用對(duì)抑制計(jì)算機(jī)病毒有更好的效果。