在深度學(xué)習(xí)中學(xué)會探究

黃文亭

（廣東省深圳市深圳外國語學(xué)校龍華學(xué)校初中部，廣東 深圳 518000）

1 基于價值判斷的教學(xué)分析

筆者認(rèn)為鉛直高水平寬專題教學(xué)的價值體現(xiàn)在以下兩個方面：

1.1 在探究學(xué)習(xí)的過程中提升深度學(xué)習(xí)能力

在近幾年全國各地中考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)與平面直角坐標(biāo)系中三角形面積有關(guān)的問題，這類試題大多與一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖像相結(jié)合，形式靈活多樣，具有一定的綜合性。隨著三角形面積問題的涌現(xiàn)，針對此問題的方法研究越來越多，其中鉛直高水平寬就是一種方便快捷的求解方法。而對于此方法多數(shù)教師是粗略講述原理便給出結(jié)論，通過一定量的習(xí)題教學(xué)生應(yīng)用結(jié)論，但學(xué)生未必深刻理解方法的來龍去脈。筆者認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)其中的原理和這個面積求解方法的生成過程有助于加深學(xué)生對圖形的理解，避免結(jié)論的生搬硬套而出現(xiàn)錯誤套用。選擇在八年級上冊學(xué)習(xí)完平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)后補(bǔ)充鉛直高水平寬的內(nèi)容，意在為后續(xù)使用鉛直高水平寬解決坐標(biāo)系中復(fù)雜的三角形面積問題做鋪墊。更重要的是通過這個學(xué)習(xí)過程教會學(xué)生認(rèn)識世界的一種方式——探究，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中扮演探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者的角色，激活學(xué)生的觀察意識和思考能力，提升深度學(xué)習(xí)能力。

1.2 深化幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)的一般思路

本節(jié)課是三角形面積問題的拓展探究性內(nèi)容，主要探究直角坐標(biāo)系下三角形面積求解的新方法，在割補(bǔ)原理的基礎(chǔ)上對發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行更深一步的探究，挖掘結(jié)論中兩條線段的本質(zhì)，總結(jié)提升為新的性質(zhì)命題。在探究過程中貫穿幾何性質(zhì)教學(xué)的思路：觀察分析—猜想—驗證—歸納總結(jié)—應(yīng)用，讓學(xué)生充分領(lǐng)會幾何學(xué)習(xí)的一般思路，體驗用一脈相承、一以貫之、一如既往的思維方法去理解、學(xué)習(xí)、探究新的數(shù)學(xué)知識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)。

2 基于教學(xué)分析的目標(biāo)制定

2.1 學(xué)情分析

學(xué)生在此之前剛學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)，能夠在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中用坐標(biāo)表示線段長度以及求解一些基本圖形的面積。對給定的一次函數(shù)能夠求解點的坐標(biāo)，也會根據(jù)已知點的坐標(biāo)求解一次函數(shù)表達(dá)式。剛學(xué)完一次函數(shù)，學(xué)生在練習(xí)中獲得了一些成功的體驗，此階段學(xué)生思維活躍，樂于挑戰(zhàn)有難度的問題。

2.2 教學(xué)重點

通過探究坐標(biāo)系下三角形面積求解的不同方法，最終得出三角形面積表示的新方法鉛直高 水平寬。

2.3 教學(xué)難點

理解新方法是對割補(bǔ)法的升華，并掌握新方法中鉛直高和水平寬的構(gòu)建方法。

3 基于目標(biāo)制訂的教學(xué)實踐

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，揭示問題

師：如圖1，你能表示圖中線段的長度嗎？

圖1

生：平行于x軸的線段用兩端點的橫坐標(biāo)之差的絕對值來表示，平行于y軸的線段用兩端點的縱坐標(biāo)之差的絕對值來表示。

師：很好，同學(xué)們會使用坐標(biāo)來表示線段的長度，那么是否能夠用坐標(biāo)來表示圖形的面積呢？

師：如圖2，△AOB的面積怎么求？

圖2

生1：二分之一的底乘以高。

師追問：請具體說明一下誰為底，誰為高，面積具體的表達(dá)式？

問題 1：如圖3，如果將 B點做一個小小的變動，△AOB的面積怎么求？生：割補(bǔ)法！

圖3

師追問1：到底是割還是補(bǔ)？割成什么樣？補(bǔ)成什么樣？

生2：補(bǔ)成正方形，三角形面積用大正方形面積減去旁邊三個小三角形的面積。

生全體：不好算，底和高都不好求。

師追問3：什么樣的底和高才叫“好求”？

生3：平行于坐標(biāo)軸。

生4：水平或豎直的。

師：那我們做個約定便于溝通，把像圖2這種有一組橫平豎直的底和高的三角形稱為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”，圖3這種三組底和高都是傾斜的三角形稱為“非標(biāo)準(zhǔn)三角形”。

設(shè)計意圖：由學(xué)生熟悉的面積問題入手，通過變式轉(zhuǎn)換引導(dǎo)學(xué)生將坐標(biāo)系下三角形分為兩類──標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)三角形，并認(rèn)識到這兩類圖形的面積求解方式有區(qū)別，非標(biāo)準(zhǔn)三角形的面積問題要轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)三角形的面積問題。讓學(xué)生感受化歸與轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想，學(xué)會將陌生難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉會解的問題，揭示本節(jié)課探究性學(xué)習(xí)內(nèi)容的問題來源。

3.2 觀察分析，得出猜想

問題2：標(biāo)準(zhǔn)三角形的面積可以用面積公式，今天我們就以圖3為例來探究平面直角坐標(biāo)系中非標(biāo)準(zhǔn)三角形的面積有哪些求解方法。剛才大家都不約而同想到了割補(bǔ)法，實際上大家用的是割補(bǔ)中“補(bǔ)”的思想，補(bǔ)成長方形，把問題變成求長方形面積和標(biāo)準(zhǔn)三角形的面積。除此之外你能想想“割”的方法嗎或者你有其他“補(bǔ)”的思路嗎？

生4：如圖4把三角形割成兩個小的標(biāo)準(zhǔn)三角形，△AOB面積等于這兩個小三角形的面積之和。

圖4

師：還有其他方法嗎？

生5：如圖5，和剛才同學(xué)4的方法差不多，把橫著割變成豎著割。

圖5

生獨立推導(dǎo)面積的表達(dá)式，得到

問題3：大家是否感覺這兩種方法很相似，它們有什么共同特征嗎？

生6：其實兩個方法本質(zhì)一樣，面積都是二分之一公共底乘以高之和。

師：也就是說兩個面積表達(dá)式中線段的幾何意義是相同的，除此之外，觀察圖中面積表達(dá)式的這兩條線段還有什么特征嗎？

生交流探討得出：①這兩條線段互相垂直；②這兩條線段都平行于坐標(biāo)軸或者在坐標(biāo)軸上。

師：能否直觀描述一下這個公共底？

生：BC、AC就是公共底，就是從三角形一個頂點出發(fā)作的切割線。

師：這個高之和呢？它是求解三角形面積過程中推導(dǎo)出來的，也和這個三角形緊密聯(lián)系，那能否用和這個三角形相關(guān)的元素來描述“高之和”？

生在描述高之和與三角形之間的關(guān)系時出現(xiàn)困難。

師：如圖6，在坐標(biāo)系當(dāng)中我們常說的距離就是點和點之間的直線距離，其實在坐標(biāo)系中兩點之間有三種距離，一種是我們常說的直線距離，另外兩種是這兩個點在水平方向上和豎直方向上的距離，簡稱水平距離和鉛直距離。有了這個定義，高之和OD你覺得可以怎么描述？

圖6

生：三角形兩個頂點的鉛直距離或水平距離。

問題4：切割線和兩個頂點之間的水平距離或鉛直距離是隨意搭配的嗎？他們之間有沒有什么對應(yīng)關(guān)系？

師生共同探討得出：①水平切割線配鉛直距離，豎直切割線配水平距離。②三角形一個頂點做切割線，則剩余兩個點取水平距離或鉛直距離。

問題5：通過前面的探究，我們發(fā)現(xiàn)非標(biāo)準(zhǔn)三角形面積求解可以用割補(bǔ)法，且不同割補(bǔ)方式原理相同，得出的面積表達(dá)式也十分相似。那是否意味著我們可以找到更直觀的規(guī)律可以跳過割補(bǔ)原理一步步的推導(dǎo)，直接找到相應(yīng)的線段乘積，從而節(jié)省時間。對此，你是否有些想法或者猜想？與大家分享。

生7：非標(biāo)準(zhǔn)三角形AOB的面積可以用兩條互相垂直的線段的乘積的一半來表示，其中一條線段是三角形一個頂點引出的切割線（公共底），另一條是三角形剩余兩個頂點之間的水平距離或鉛直距離（高之和）。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生觀察思考，對兩種割補(bǔ)方法進(jìn)行對比和總結(jié)，多法歸一，探究得出兩種方法的本質(zhì)都是割補(bǔ)，面積表達(dá)式就是公共底和高的式子，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表述能力和思考總結(jié)能力。再引導(dǎo)學(xué)生思考結(jié)論中線段的幾何特征，通過問題5，解答學(xué)生心中的困惑──“原理已經(jīng)明晰，還要探究什么？”，讓學(xué)生明白本節(jié)課的探究是對割補(bǔ)法的升華。

3.3 驗證猜想，得出結(jié)論

問題6：剛才通過割補(bǔ)法我們找到圖3面積可以用兩種切割線來表示，從而得出的猜想，說明這兩種都符合猜想，我們需要驗證的是什么？

生8：驗證圖3如果取其他的切割線和對應(yīng)的水平距離或鉛直距離，是否也可以正確表示三角形的面積。

生9：驗證其他的非標(biāo)準(zhǔn)三角形，該式子是否都成立。

師：剛才是從B點出發(fā)作水平切割線，A點出發(fā)作豎直切割線，那△AOB中還有哪些切割線？

生10：每個點出發(fā)可以作水平或者豎直的切割線，共三個頂點，所以還有4條切割線。分別是從B點出發(fā)作豎直切割線，A點出發(fā)作水平切割線，O點出發(fā)作水平或豎直的切割線

師：我們一起來驗證一下猜想對于B點出發(fā)作豎直切割線的情況是否成立。

問題7：如圖7，B點作豎直切割線，可這條線與三角形三邊并無交點，是否意味著猜想失效？此時的切割線存在嗎？存在的話在哪里？

圖7

生：存在，如圖8與OA延長線相交可得到另一個交點C，線段BC就是切割線。師：△AOB的面積怎么求解呢？

圖8

生：大三角形減小三角形。

師：這個結(jié)果是否與我們的猜想一致？請同學(xué)分析一下

生：一致，BD是B點引出的豎直的切割線，此時OA兩點的水平距離就是OF。

剩余還有三種情況，學(xué)生自己畫圖推導(dǎo)驗證，進(jìn)一步肯定猜想是正確的。

師：通過大家的嚴(yán)謹(jǐn)求證，現(xiàn)在我們可以很自信地說猜想是正確的，可以將它作為已知正確的結(jié)論加以使用。為了便于溝通交流，我們把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中涉及的線段取個專有名詞，一般地，我們稱非標(biāo)準(zhǔn)三角形中水平或豎直的切割線為“水平寬”，兩點之間的水平或鉛直距離為“鉛直高”。

通過今天的探究，我們得出了非標(biāo)準(zhǔn)三角形面積求解的新方法：鉛直高 水平寬。

其中鉛直高是指由三角形某一頂點引出的水平/豎直的切割線，水平寬指剩余兩點之間的豎直/水平距離。

設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生嘗試獨立驗證猜想，促使學(xué)生深度思考需要驗證什么，如何驗證。在驗證過程中有的學(xué)生可能找不到其他切割線，促使學(xué)生更深層去分析切割線的本質(zhì)——在內(nèi)是割線，在外則是補(bǔ)線，割補(bǔ)統(tǒng)一，從而正確找到切割線。學(xué)生經(jīng)歷獨立驗證的過程，同時也在不斷加深對結(jié)論的理解，反復(fù)推敲思考，不斷自我質(zhì)疑和完善，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。

3.4 應(yīng)用新知

如圖9，請同學(xué)們作出它的六組鉛直高和水平寬，將面積用線段乘積來表示。

圖9

4 基于教學(xué)實踐的思考

筆者在課堂上根據(jù)預(yù)設(shè)和學(xué)生的生成進(jìn)行了以上教學(xué)嘗試，并結(jié)合實踐有如下幾點思考：

4.1 補(bǔ)充內(nèi)容要充分考慮學(xué)情，教學(xué)設(shè)計遵循一般教學(xué)步驟

本節(jié)課是教材之外的補(bǔ)充內(nèi)容，沒有標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)內(nèi)容，筆者在教學(xué)過程中充分考慮學(xué)情，做好與已學(xué)知識的銜接，將所學(xué)知識與以往知識串聯(lián)起來，形成完整的知識體系。在課堂開頭由熟悉的三角形求面積引出本節(jié)課探究的非標(biāo)準(zhǔn)三角形面積問題，讓學(xué)生清晰地知道這節(jié)課學(xué)什么，為什么學(xué)。鉛直高水平寬的結(jié)論類似于幾何定理，因此筆者設(shè)計的教學(xué)過程與課內(nèi)幾何定理教學(xué)的思路保持一致，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—驗證—歸納—應(yīng)用”的過程，最終得出結(jié)論。一以貫之的教學(xué)方法能夠讓學(xué)生學(xué)會遷移理解，以后遇到類似的幾何探究，學(xué)生能有方向、有順序地進(jìn)行探究。

4.2 幾何定理教學(xué)中要滲透建模的基本思想

筆者在環(huán)節(jié)（二）中設(shè)計了問題串引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)結(jié)論以及結(jié)論中線段的幾何本質(zhì)，抽象出非標(biāo)準(zhǔn)三角形面積模型切割線 水平距離或鉛直距離，這是第一次建模。在環(huán)節(jié)（三）中，通過驗證結(jié)論的正確性，不斷完善第一次建模的結(jié)果，得出鉛直高 水平寬，這是第二次建模。探究過程中對面積表達(dá)式的化簡整理以及對結(jié)論線段的再探究，多次體現(xiàn)簡化、優(yōu)化的思想，明晰本節(jié)課探究的目標(biāo)是優(yōu)化、簡化割補(bǔ)法。

4.3 幾何定理教學(xué)中要滲透推理的基本思想

筆者在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生將非標(biāo)準(zhǔn)三角形面積問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)三角形的面積問題，滲透化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，緊接著探索不同割補(bǔ)法的結(jié)論本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生橫向?qū)Ρ炔w納共同特征，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歸納思想，在驗證猜想環(huán)節(jié)，應(yīng)對學(xué)生找不到切割線的情況，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察已找到的切割線，類比得出了新的切割線是在三角形外，最后以應(yīng)用的形式讓學(xué)生將結(jié)論應(yīng)用于其他的非標(biāo)準(zhǔn)三角形。在整個教學(xué)過程中多次以問題串的方式調(diào)動學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生深度思考的能力，發(fā)展學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力，落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。