幾類聯(lián)圖的頂點(diǎn)PI指數(shù)

王明杰，紅 霞

(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，471022，河南，洛陽)

0 引言

圖的拓?fù)渲笖?shù)不僅能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖中相關(guān)性質(zhì)，而且在理論化學(xué)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以及信息科學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。1947年，H Wiener[1]是第一個(gè)提出Wiener指數(shù)，它不僅是圖理論中典型的一類指數(shù)，而且也是最早被很多學(xué)者引用及研究的對(duì)象。基于這一指數(shù)，繁衍出很多類似的拓?fù)渲笖?shù)，如基于距離的參數(shù)有圖的度距離[2]，基于到2個(gè)端點(diǎn)距離之差來分類的不同運(yùn)算的參數(shù)有Szeged指數(shù)[3]和PI指數(shù)[4-5]等。至今為止，很多圖的頂點(diǎn)PI指數(shù)和邊PI指數(shù)[6-15]被研究。本文主要研究了幾類聯(lián)圖的頂點(diǎn)PI指數(shù)，從而豐富了拓?fù)渲笖?shù)理論。

1 基本概念

本文將考慮的圖均為無向簡(jiǎn)單圖，沒有說明的術(shù)語同文獻(xiàn)[4]。特別地，對(duì)任意頂點(diǎn)u，v∈V(G)，用dG(u,v)表示連通圖G中從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)v的距離。

定義1[6]：令圖G=(V,E)是簡(jiǎn)單連通圖，圖G的頂點(diǎn)PI指數(shù)計(jì)算公式為PI(G)=∑e=uv∈E(nu(e|G)+nv(e|G))，其中

nu(e|G)=|{w|dG(w,u)

nv(e|G)=|{w|dG(w,v)

下文中，用Pn、Cn、Kn分別表示n個(gè)頂點(diǎn)的路、圈以及完全圖，而用F1·n表示一個(gè)頂點(diǎn)與Pn上每個(gè)頂點(diǎn)相連而成的圖，即為扇圖。

2 主要結(jié)果

定理1：對(duì)于n≥1，m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m，

|V(G)|=m+n,|E(G)|=mn+n-1。由圖G的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性及PI指數(shù)定義可得如下分解公式：

3)對(duì)于式子(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，對(duì)任意的頂點(diǎn)w∈V(G){v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=(n-1)n=n2-n。

綜上所述，可得

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2+2m-n。

定理2：對(duì)于n≥3、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m}，

|V(G)|=m+n,|E(G)|=mn+n。

當(dāng)n=3、m≥1時(shí)，由圖G的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性及PI指數(shù)定義可得如下分解公式：

2)對(duì)于式子n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，對(duì)任意頂點(diǎn)w∈V(G){u3,v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=n(n-1)=n2-n，

從而有

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2-n=3m2+3m+6。

當(dāng)n≥4、m≥1時(shí)，由圖G的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性及PI指數(shù)定義可得如下分解公式：

2)對(duì)于式子n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，對(duì)任意頂點(diǎn)w∈V(G){v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=n(m+n-m)=n2，

則

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2。

綜上所述，可得

定理3：對(duì)于n≥1、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m},

由圖G的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性及PI指數(shù)定義可得如下分解公式：

綜上所述，可得

PI(G)=m2n+mn+n2-n。

定理4：對(duì)于n≥1、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|0≤i≤n,1≤j≤m},

V(G)|=m+n+1，|E(G)|=mn+2n+m-1。

由圖G的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性及PI指數(shù)定義可得如下分解公式：

4)對(duì)于式子(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，對(duì)任意頂點(diǎn)w∈V(G){v1,v2,...,vm,u0}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=(n-1)n=n2-n。

綜上所述，可得

PI(G)=m2n+mn2+2n2+m2-2mn+3m-2n+2。

3 結(jié)束語