余弦相位BOC信號互相關(guān)延遲無模糊跟蹤方法*

周艷玲，袁志鑫，高瑜那，張若凡

(湖北大學(xué) 計算機與信息工程學(xué)院，武漢 430062)

0 引 言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System,GNSS)信號所占用的頻帶資源有限，導(dǎo)致信號之間頻帶擁擠和相互干擾嚴(yán)重，因此采用子載波的二進制偏移載波(Binary Offset Carrier,BOC)調(diào)制技術(shù)被提出。BOC信號具有尖銳主峰的自相關(guān)函數(shù)(Auto-correlation Function,ACF)和分離頻譜的特點，使之能夠與傳統(tǒng)信號共享有限的頻譜資源，而且針對熱噪聲和多徑干擾可以提供較高的跟蹤精度。目前，BOC信號在GNSS中得到了廣泛的應(yīng)用。然而，BOC調(diào)制信號的ACF有多個副峰，導(dǎo)致鑒別器的輸出曲線存在多個誤鎖點[1]，如果主峰沒有正確鎖定，將引起跟蹤模糊問題。當(dāng)需要高精度定位時，由跟蹤模糊引起的偽距偏差測量是導(dǎo)航不可接受的[2]。因此，減輕或消除BOC信號跟蹤中的模糊問題是有效發(fā)揮BOC信號固有的高精度和抗干擾優(yōu)點的前提條件。相比于正弦相位BOC(Sine-phased BOC,SinBOC)信號，余弦相位BOC(Cosine-phased BOC,CosBOC)信號的ACF相對更加復(fù)雜[3]，難以得到嚴(yán)謹簡潔的數(shù)學(xué)表達式，且針對CosBOC信號的模糊解決方案研究較少，因此研究解決CosBOC信號的跟蹤模糊問題非常有必要。

為了減少和消除跟蹤模糊的影響，國內(nèi)外提出了幾類典型方法。

(1)峰跳(Bump Jump,BJ)法將當(dāng)前跟蹤的峰值與相鄰左右兩個峰值進行比較，根據(jù)比較結(jié)果進行跳轉(zhuǎn)從而找到最大主峰值。假設(shè)正確跟蹤到主峰時，BJ方法的跟蹤性能達到BOC信號跟蹤精度的理論值。但是實際情況有噪聲，碼跟蹤環(huán)路很有可能會鎖定在副峰上，此時需要時間進行檢測和判斷，會降低接收機的跟蹤精度和動態(tài)性能[4]。

(2)類二進制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying Like,BPSK Like)法將本地輔助信號設(shè)置為二進制相移鍵控(BPSK)調(diào)制信號，并將其調(diào)制到BOC信號頻譜的主瓣的中心頻率[5]。通過將輔助信號與接收到的BOC信號相關(guān)得到的互相關(guān)函數(shù)(Cross-correlation Function,CCF)只有一個主峰，類似于BPSK信號的ACF，能實現(xiàn)無模糊跟蹤。接收信號與本地輔助信號之間的不匹配將導(dǎo)致信噪比的損失，從而降低跟蹤精度。

(3)自相關(guān)邊峰消除技術(shù)利用本地偽隨機噪聲碼(Pseudo Random Noise,PRN)作為輔助信號與BOC信號進行相關(guān)運算，得到消除所有副峰的CCF。該方法消除了錯誤峰捕獲的可能性，但它只能用于SinBOC信號，并且在熱噪聲影響下跟蹤性能會有所下降[6]。

(4)偽相關(guān)函數(shù)(Pseudo Correlation Function,PCF)法[7]利用兩個波形對稱的本地輔助信號分別和BOC信號做相關(guān)運算獲得互相關(guān)函數(shù)，再通過線性組合獲得的僅有一個主峰的無模糊相關(guān)函數(shù)。但是BOC信號調(diào)制階數(shù)增加時，相關(guān)函數(shù)的主峰高度會降低，碼跟蹤性能也會急劇下降。

(5)基于子互相關(guān)移位技術(shù)方法[8]通過形狀碼形成的子相關(guān)函數(shù)再經(jīng)過組合處理得到無模糊相關(guān)函數(shù)作為鑒別器的輸入。文獻[8]中處理方式也僅適用于SinBOC信號。

針對CosBOC信號，本文基于互相關(guān)移位技術(shù)方法根據(jù)形狀碼向量設(shè)計本地輔助信號，通過對第一個輔助信號進行延遲操作獲得第二個輔助信號，兩個輔助信號分別與接收到的CosBOC信號做相關(guān)運算形成子互相關(guān)函數(shù)；子互相關(guān)函數(shù)進行延遲移位、線性組合和非線性處理后得到無模糊函數(shù)，再和CosBOC信號的ACF相乘后作為跟蹤目標(biāo)。最后針對實際使用信號CosBOC(10,5)給出了與BJ、BPSK Like和PCF方法相比的性能仿真結(jié)果。

1 BOC調(diào)制信號

接收機從導(dǎo)航衛(wèi)星中接收到的BOC信號帶通表達式為[9]

(1)

式中：A為信號功率；D(t)為導(dǎo)航信息數(shù)據(jù)碼；C(t)為PRN碼；χ(t)是BOC信號的子載波；n(t)為高斯白噪聲，滿足零均值和雙邊功率譜密度為N0的特性;fIF為載波中心頻率；θ為載波初相位。

PRN碼可以表示為

(2)

式中：ci表示第i個碼片的符號值，ci∈(-1,1)；TC是PRN碼單位碼片的持續(xù)時間；pC是一個持續(xù)時間為TC、幅度值為1的矩形方波信號；χ(t)表示BOC信號的子載波，分為正弦相位子載波和余弦相位子載波，它們通過取正弦和余弦函數(shù)的符號來生成。對于余弦相位子載波的BOC信號，本文將其表示為CosBOC(m,n)，其中，m表示子載波頻率fS與1.023 MHz的比值，n表示偽碼碼率fC與1.023 MHz的比值，m和n都被約束為正整數(shù)，m≥n。定義比率M=2m/n是正整數(shù)，稱為調(diào)制系數(shù)，表示一個PRN碼碼片持續(xù)時間內(nèi)子載波的數(shù)目[10]。于是，余弦相位子載波的數(shù)學(xué)表達式為

(3)

式中：dl表示為子載波的符號值，dl∈(-1,1)；TS是子載波的半周期；pTS是一個持續(xù)時間為TS/2、振幅值為1的矩形方波信號。從式(3)中可以看出，子載波χ(t)是多個不同延遲的矩形方波信號pTS經(jīng)過相加后形成的。于是，根據(jù)式(2)和式(3)，可以得到CosBOC信號的基帶表達式為

(4)

對于具有理想相關(guān)特性的PRN碼的BOC信號來說，可以忽略PRN碼的影響，其自相關(guān)函數(shù)可以等價為子載波的自相關(guān)函數(shù)，即有

RBOC(τ)=E[s(t)s(t+τ)]=E[χ(t)χ(t+τ)]=

ΛTS(τ)。

(5)

式中：τ表示碼延遲。根據(jù)式(3)可知，子載波χ(t) 是由多個矩形方波組成，而一個矩形方波在TS/2內(nèi)的自相關(guān)函數(shù)可以表示為底為TS、高為1的等腰三角函數(shù)ΛTS(τ)。

于是，綜合式(4)、式(5)和子載波的自相關(guān)函數(shù)，CosBOC信號的自相關(guān)函數(shù)可以表示為[11]

(6)

根據(jù)文獻[12]中定義的形狀碼，di和dj表示為相同的CosBOC信號形狀碼，其中i,j=0,1,2,…,2M-1。定義形狀碼向量d=[d1,d2,…,d2M-1]2M，di表示形狀碼向量d中的第i個形狀碼。

2 提出的方法

為了歸一化處理，本地輔助信號的形狀碼向量需滿足以下條件：

(8)

即一個TC內(nèi)CosBOC信號的PRN碼波形由2M個子形狀碼向量組成，稱為輔助PRN碼，用來構(gòu)成接收機的本地輔助信號。新的輔助信號的形狀碼向量可以設(shè)計如下：

(9)

式中：k=0,1,2,…,2M-1。結(jié)合PRN碼的表達式(式(2))和CosBOC信號的基帶表達式(式(4))，可得到本地輔助信號Lk(t)的表達式為

(10)

根據(jù)輔助碼的形狀碼向量和PRN碼波形，通過延遲L0(t)波形kTS/2個距離就可以得到其他的Lk(t)波形，因此，式(10)可以改寫成

(11)

結(jié)合式(6)關(guān)于RBOC(τ)的表達式，CosBOC信號與輔助信號的互相關(guān)函數(shù)可以表示為

(12)

式中：di是CosBOC信號的形狀碼向量d中的第i個形狀碼。結(jié)合式(11)中輔助信號Lk(t)的表達式和式(12)中RB/L(τ)的表達式，可以得到第k個互相關(guān)函數(shù)的表達式為

(13)

式中：dλ表示形狀碼向量d=[1,…,1]2M的第λ個形狀碼。

實際應(yīng)用的CosBOC信號僅有伽利略系統(tǒng)中的CosBOC(10,5)和CosBOC(15,2.5)信號[13]，為了便于表達，下文僅以CosBOC(10,5)信號為例，但分析方法也適用于其他CosBOC信號。根據(jù)定義，CosBOC(10,5)信號在一個TC內(nèi)其PRN碼形狀碼向量表示為d=[1,1,1,1,1,1,1,1]8。根據(jù)式(13)可以得到CosBOC(10,5)信號與不同輔助信號的互相關(guān)函數(shù)如圖1所示。由于這些互相關(guān)函數(shù)兩兩對稱，為了方便展示圖1只顯示了前四個波形的曲線。RB/Lk的波形可以由RB/L0延遲kTS/2個碼片獲得，并且RB/Lk和RB/L2M-1-k的波形關(guān)于零點位置左右對稱。根據(jù)此特征，可以考慮通過延遲的方式和非線性處理來構(gòu)造新的相關(guān)函數(shù)來消除CosBOC信號的跟蹤模糊問題。針對CosBOC(10,5)信號對應(yīng)的組合方式共有4對，由于分析方法相似，本文僅選擇RB/L0和RB/L2M-1對進行分析，其他組合方式暫不贅述。

圖1 CosBOC(10,5)信號對應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)波形

RB/L2M-1可以由RB/L0延遲(2M-1)TS/2碼片得到，因此，接收機實際只需要一個本地輔助信號。經(jīng)過計算分析，有兩種非線性處理方式，可分別表示為

RC0=(|RB/L0|+|RB/L2M-1|)2-(RB/L0-RB/L2M-1)2=

數(shù)控機床是機電液一體化的復(fù)雜系統(tǒng)，為便于進行質(zhì)量特性分析，首先要將數(shù)控機床分解為簡單的基本單元以達到容易建模的目的，然后對基本單元進行質(zhì)量特性分析，最后對整機的質(zhì)量特性進行綜合分析。按“部件—組件—零件”的分解方法雖然簡單易行，但是在實際應(yīng)用過程中卻存在許多難以解決的困難，比如零件數(shù)目繁多導(dǎo)致的建模困難、零件故障數(shù)據(jù)缺乏導(dǎo)致的定量分析困難等。

(|RB/L0|+|RB/L0(τ-(2M-1))|)2-

(RB/L0-RB/L0(τ-(2M-1)))2，

(15)

RC1=(RB/L0+RB/L2M-1)2-(|RB/L0|-|RB/L2M-1|)2=

(RB/L0+RB/L0(τ-(2M-1)))2-

(16)

通過以上兩種處理，可得到無模糊的相關(guān)函數(shù)RC0和RC1對應(yīng)的波形如圖2和3所示。

圖2 CosBOC(10,5)信號的第一種組合對應(yīng)的相關(guān)函數(shù)RC0

圖3 CosBOC(10,5)信號的第二種組合對應(yīng)的相關(guān)函數(shù)RC1

隨著調(diào)制階數(shù)M增大，本地輔助信號和CosBOC信號之間的相關(guān)性逐漸減弱，這會引起相關(guān)函數(shù)主峰寬度和峰值都變小。為了解決該問題，將RC0、RC1分別和CosBOC信號的ACF相乘，獲得最終無模糊組合相關(guān)函數(shù)：

(17)

由于RC0和RC1波形完全相同，所以只呈現(xiàn)了Run0波形。如圖4所示，Run0是完全無模糊且沒有副峰的，本文后續(xù)研究以Run0為例來分析。

圖4 CosBOC(10,5)信號的無模糊相關(guān)函數(shù)波形Run0

3 碼跟蹤環(huán)路模型

碼跟蹤環(huán)路模型如圖5所示。接收機接收信號下變頻到中頻信號r(t)后，分別與本地載復(fù)現(xiàn)的同相I支路和正交Q支路相乘，解調(diào)出載波。I、Q支路信號分別與本地輔助信號的超前(E)和滯后(L)信號相關(guān)運算和積分清零后作為鑒別器的輸入。相比PCF方法，本文提出的環(huán)路模型具有更少的信號支路，降低了其實現(xiàn)復(fù)雜度。

圖5 碼跟蹤環(huán)路模型

在環(huán)路模型中，參數(shù)IE1和IL1分別表示本地輔助信號的超前支路和滯后支路與接收信號的同相相關(guān)器輸出，QE1和QL1分別表示本地輔助信號的超前支路和滯后支路與接收信號的正交相關(guān)器輸出，IEBOC、ILBOC、QEBOC和QLBOC對應(yīng)著本地CosBOC信號的同相和正交相關(guān)器輸出。

(18)

于是，Run0對應(yīng)的鑒別器函數(shù)可簡化為

(19)

式中：Δτ是碼延遲的估計偏差，dC是超前和滯后相關(guān)器的間隔。假設(shè)前端帶寬無限，當(dāng)dC= 0.1碼片時鑒別器輸出曲線如圖6所示。

圖6 CosBOC(10,5)信號的鑒別器輸出曲線

從圖6中可以看出，本文方法、BPSK Like方法和PCF方法的輸出曲線都是無模糊跟蹤。需要指出的是，BJ方法的結(jié)果采用的是假設(shè)理想的無模糊的情況，僅為其他方法提供理論值參考，實際情況下是存在模糊的。從輸出曲線的斜率上看，本文方法的鑒別器輸出曲線斜率要比BPSK Like方法大，與PCF方法斜率基本一致，表明本文方法的鑒別器增益與PCF方法相近而高于BPSK Like方法；從輸出曲線的峰值上看，本文方法的峰值高于PCF方法和BPSK Like方法，預(yù)示著本文方法具有較好的跟蹤性能。從輸出曲線的線性牽引范圍上看，本文方法的線性牽引范圍與PCF方法一致，都是-dC/2～dC/2，而且小于BPSK Like方法，預(yù)示著本文方法具有較好的多徑抑制潛能。

4 性能分析

4.1 碼跟蹤性能

熱噪聲是引起導(dǎo)航信號跟蹤誤差的重要因素，而閉環(huán)碼跟蹤誤差是評價抗噪聲性能的重要指標(biāo)[14]。碼跟蹤誤差可表示為

(20)

式中：BL是碼環(huán)路濾波器帶寬，單位是Hz；Tcoh為環(huán)路的相干積分時間；KV為鑒別器增益；σV為鑒別器的輸出標(biāo)準(zhǔn)差。

從式(20)可以看出，要分析熱噪聲的影響，有必要分析鑒別器輸出標(biāo)準(zhǔn)差和增益。首先假設(shè)載波初相位的誤差Δθ=0。當(dāng)Δτ=0時，I支路和Q支路的相關(guān)器輸出滿足聯(lián)合高斯分布，即

(21)

上式中，均值μ和方差σ可以表示為

(22)

(23)

式中：RL0是本地輔助信號的自相關(guān)函數(shù)。假設(shè)此時環(huán)路處于穩(wěn)定跟蹤狀態(tài)，根據(jù)式(21)～(23)，可以通過蒙特卡洛仿真來獲得環(huán)路模型8條支路的信號樣本，然后通過統(tǒng)計學(xué)來求得本文方法的鑒別器輸出標(biāo)準(zhǔn)差σV。此外，通過求解鑒別器輸出曲線零點的導(dǎo)數(shù)，可以求出線性牽引范圍內(nèi)的歸一化鑒別器增益KV，即

(24)

把鑒別器增益和輸出標(biāo)準(zhǔn)差帶入到式(20)中就可以求得本文方法的碼跟蹤誤差標(biāo)準(zhǔn)差。仿真實驗時，鑒別器的輸出標(biāo)準(zhǔn)差通過設(shè)置50 000個信號樣本抽樣點求得，BL設(shè)為1 Hz，Tcoh=1 ms。

為了更準(zhǔn)確地評估該方法，以實際應(yīng)用信號CosBOC(10,5)信號對應(yīng)的碼跟蹤誤差標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果為例進行分析。當(dāng)載噪比C/N0取值范圍設(shè)為20～50 dB-Hz之間時，本文方法與其他方法的跟蹤誤差標(biāo)準(zhǔn)差曲線如圖7所示。實際情況下由于存在噪聲BJ方法很容易出現(xiàn)誤鎖現(xiàn)象，不能完全消除跟蹤模糊。圖7中給出的BJ方法在假設(shè)無誤鎖情況下的跟蹤精度是其理論極限值，用于對比各種方法的性能。當(dāng)C/N0<23 dB-Hz時，由于本地輔助信號與接收BOC信號不完全匹配，跟蹤性能有所損失。當(dāng)C/N0>23 dB-Hz時，本文方法的跟蹤誤差比PCF方法小，比BPSK Like方法稍大。這是由于本文方法的組合相關(guān)函數(shù)主峰較窄，鑒別器輸出曲線有較高的鑒別器增益，導(dǎo)致了本文方法的抗熱噪聲性能優(yōu)于PCF方法1.5 dB。當(dāng)C/N0>27 dB-Hz時，本文方法的碼跟蹤誤差比PCF方法和BPSK Like方法都低，并且逐漸接近BJ方法的曲線，顯示出了良好的抗熱噪聲性能。當(dāng)載噪比為30 dB-Hz時，本文方法的碼跟蹤誤差比BPSK Like和PCF方法分別小了0.005碼片和0.01碼片，與BJ方法接近重合?？傊疚姆椒ň哂休^好的抗熱噪聲性能，特別是在載噪比大于27 dB-Hz時，跟蹤性能表現(xiàn)優(yōu)于PCF方法和BPSK Like方法，具有實際應(yīng)用意義。

圖7 CosBOC(10,5)信號的碼跟蹤誤差

4.2 多徑抑制性能

多徑效應(yīng)是全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)測距誤差的另一個主要因素[11]。當(dāng)存在多徑效應(yīng)時，多徑和直達信號會引起鑒別輸出曲線的過零點偏離、相關(guān)函數(shù)失真，最終產(chǎn)生跟蹤誤差。多徑誤差包絡(luò)(Multipath Error Envelope,MEE)[15]和運行平均多徑誤差(Running Average Multipath Error,RAME)是評價碼跟蹤環(huán)路多徑性能的主要指標(biāo)[16]。

為了便于分析多徑效應(yīng)的影響，假設(shè)只有一條多徑信號的影響，多徑信號與直達信號的相位差為0°或180°，并且該多徑信號有一定的幅度衰減和相位延遲，從而可以評估最大的多徑誤差。仿真實驗設(shè)置前端無限帶寬，相關(guān)器的間隔dC=0.05碼片,同時多徑直達比設(shè)為-6 dB，CosBOC(10,5)信號的四種跟蹤方法的MEE仿真結(jié)果如圖8所示。分析MEE曲線可以看到，本文方法的MEE明顯小于BPSK Like 方法；與PCF方法和BJ方法相比，在大部分區(qū)間比較相近。而RAME曲線更能反映各種跟蹤方法整體抗多徑性能，為了更清晰對比，CosBOC(10,5)信號的四種跟蹤方法的RAME仿真結(jié)果如圖9所示。從圖9中可以看出，本文方法的RAME明顯優(yōu)于BPSK Like和PCF方法，表現(xiàn)了較好的多徑抑制性能。當(dāng)多徑延遲在0.15～0.7碼片之間時，本文方法RAME甚至優(yōu)于BJ方法?？傊?，本文方法總體上有著良好的多徑抑制性能。

圖8 CosBOC(10,5)信號的多徑誤差包絡(luò)

圖9 CosBOC(10,5)信號的平均多徑誤差

5 結(jié)束語

本文針對CosBOC信號提出了一種新的無模糊跟蹤算法，并分析了其性能。該方法通過構(gòu)造本地輔助信號以及互相關(guān)函數(shù)的延遲組合實現(xiàn)單峰無模糊的相關(guān)函數(shù)。實驗結(jié)果表明，與BPSK Like、PCF和BJ法對比，本文所提方法的環(huán)路結(jié)構(gòu)簡單,整體上具有較好的跟蹤性能和抗多徑干擾性能，具有實用價值。未來的工作可以進一步優(yōu)化所提方法的組合方式和形狀碼，以獲得更優(yōu)的性能。