菲涅爾衍射及有限時(shí)域差分在光柵仿真中的應(yīng)用研究

宮鵬，徐桂成，張斯特，劉震宇

（中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130031）

計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，為波動(dòng)光學(xué)及電磁學(xué)方程的研究提供了數(shù)值解法的工具，也使得數(shù)值仿真方法在許多光學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛而深遠(yuǎn)的應(yīng)用，從電磁學(xué)最基本的麥克斯韋方程組出發(fā)的有限時(shí)域差分方法，到光線傳播的角譜理論和傅里葉光學(xué)，都可以用數(shù)值方法加以求解［1］。針對(duì)理論的光學(xué)公式在數(shù)值計(jì)算過程和實(shí)際研究中的實(shí)現(xiàn)技巧及應(yīng)用等有許多成果，例如在超分辨率時(shí)光場(chǎng)經(jīng)過結(jié)構(gòu)后的高精度聚焦情況研究［2］；在激光諧振腔的設(shè)計(jì)工作中腔內(nèi)光束經(jīng)過多次反射后的光場(chǎng)分布研究［3］；角譜衍射公式及快速傅里葉變換在數(shù)字全息波面重建中的研究［4］；在菲涅爾衍射計(jì)算中引入虛擬光波場(chǎng)以提高空間分辨率的研究［5］；以及通過矩陣法改進(jìn)光場(chǎng)傳輸算法以提高計(jì)算效率的研究等［6］。

基于波動(dòng)光學(xué)衍射原理所設(shè)計(jì)的衍射光學(xué)元件在諸多領(lǐng)域中同樣有著廣泛的應(yīng)用，如實(shí)現(xiàn)光束的整形［7］，實(shí)現(xiàn)光束聚焦［8-9］，產(chǎn)生衍射圖樣等［10-11］。光柵作為一種應(yīng)用非常廣泛的光學(xué)元件，在衍射光學(xué)尺度下的設(shè)計(jì)及制造需要較高的精度，其衍射場(chǎng)分布規(guī)律也隨光柵幾何的復(fù)雜程度增加而增加，因此光柵衍射場(chǎng)的仿真研究對(duì)于實(shí)際的光柵設(shè)計(jì)及加工具有深刻的指導(dǎo)意義。

本文從周期結(jié)構(gòu)的相位光柵仿真分析出發(fā)，以菲涅爾衍射公式作為出射光柵之后光場(chǎng)傳播的主要計(jì)算工具，輔以光柵區(qū)域的有限時(shí)域差分計(jì)算仿真，研究了一種系統(tǒng)的光柵仿真方法。在光的波長(zhǎng)尺度內(nèi)，有限時(shí)域差分算法的網(wǎng)格尺寸不能大于波長(zhǎng)的，否則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度的缺失，而在面對(duì)光柵尺寸較大或者需要計(jì)算的傳播距離較遠(yuǎn)時(shí)，單獨(dú)應(yīng)用有限時(shí)域差分法會(huì)產(chǎn)生極大的計(jì)算量，也需要花費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間。因此在菲涅爾衍射的近場(chǎng)區(qū)，采取將有限時(shí)域差分計(jì)算得到的光場(chǎng)數(shù)據(jù)導(dǎo)出，用菲涅爾衍射公式來解決光場(chǎng)在后續(xù)介質(zhì)中的傳播問題，大大減小了計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間。結(jié)果顯示，光線在經(jīng)過相位光柵后，在接收屏處產(chǎn)生了三個(gè)強(qiáng)度較高及對(duì)比度較高的衍射峰，即產(chǎn)生了可供后續(xù)處理及測(cè)量的光信號(hào)。同樣的，在周期結(jié)構(gòu)的光柵基礎(chǔ)上，對(duì)于幾何分布不規(guī)則的非等距光柵和有加工誤差的光柵，也可以通過有限時(shí)域差分計(jì)算求解光柵區(qū)域內(nèi)的光場(chǎng)分布，之后通過菲涅爾衍射解決光場(chǎng)在近場(chǎng)內(nèi)的傳播問題。

1 算法分析

根據(jù)惠更斯-菲涅爾公式在近似條件下得到的二維菲涅爾衍射公式解析形式的表達(dá)式為：

式中，定義光場(chǎng)出射面所在z坐標(biāo)為0；光場(chǎng)經(jīng)過傳播后到達(dá)的接收屏位置所在z坐標(biāo)為d，即為兩屏之間距離；?為復(fù)數(shù)形式表達(dá)的光場(chǎng)分布信息；為出射面處的幾何坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)位置的光場(chǎng)信息；為光場(chǎng)經(jīng)過z=d距離傳播后的接收屏位置處的幾何坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的光場(chǎng)信息，即為所要求的經(jīng)過傳播后的光場(chǎng)信息；λ 為入射光線的波長(zhǎng)；k=2π /λ 為對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)光線的波數(shù)。解析形式的菲涅爾衍射公式針對(duì)接收屏處的各個(gè)位置，通過對(duì)出射面處的二維光場(chǎng)進(jìn)行x和y方向的積分來得到整個(gè)出射面的光場(chǎng)對(duì)接收屏處各個(gè)位置的疊加效果。公式（1）中的積分上下限為-∞～+∞，當(dāng)出射面處的通光孔徑幾何確定后，積分上下限即為實(shí)際的幾何空間。整個(gè)模型的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 菲涅爾衍射模型分布示意圖

將上面的解析形式的菲涅爾衍射公式進(jìn)行離散化處理，得到：

式中，M、N為將幾何x、y方向離散化的單元數(shù)。

當(dāng)所研究的問題為一維問題時(shí)，則上述的解析形式和離散形式的菲涅爾衍射公式化為如下的形式：

2 光柵仿真

常見的光柵類型包括幅值光柵和相位光柵。本文以相位光柵為例，首先運(yùn)用有限時(shí)域差分方法計(jì)算光柵及光線入射區(qū)域的光場(chǎng)分布，之后在光柵出射面處導(dǎo)出光場(chǎng)分布數(shù)據(jù)，然后運(yùn)用菲涅爾衍射公式對(duì)相位光柵進(jìn)行仿真模擬。整個(gè)計(jì)算的流程如圖2所示。

圖2 光柵仿真流程示意圖

這里的相位光柵設(shè)計(jì)為周期性結(jié)構(gòu)，每個(gè)周期具有相同的柵距及占空比，光柵尺寸及相關(guān)材料屬性如表1所示，幾何模型如圖3所示。

表1 相位光柵相關(guān)參數(shù)

圖3 相位光柵幾何模型及相關(guān)參數(shù)

菲涅爾衍射公式所應(yīng)用的條件為需要給出出射面的光場(chǎng)分布數(shù)據(jù)，無法直接應(yīng)用于從空氣入射到光柵即介質(zhì)材料發(fā)生變化時(shí)光柵對(duì)光場(chǎng)的作用效果，而有限時(shí)域差分方法則可以處理介質(zhì)變化區(qū)域的計(jì)算問題，因此結(jié)合波動(dòng)光學(xué)的有限時(shí)域差分來計(jì)算光柵附近區(qū)域內(nèi)的光場(chǎng)分布情況。之后通過導(dǎo)出光柵出射面處的光場(chǎng)分布數(shù)據(jù)作為后續(xù)步驟的原始數(shù)據(jù)，再利用菲涅爾衍射算法計(jì)算光場(chǎng)經(jīng)過一定距離傳播之后的分布情況，來仿真整個(gè)過程中光線經(jīng)過光柵的作用之后在近場(chǎng)菲涅爾衍射距離下的分布結(jié)果。

首先進(jìn)行有限時(shí)域差分部分的光柵仿真，模型如圖4所示，這里面內(nèi)方向?yàn)閤、y坐標(biāo)，面外方向?yàn)閦坐標(biāo)。通過設(shè)置兩邊的邊界為重復(fù)性的周期邊界條件，可以通過計(jì)算五個(gè)光柵周期來實(shí)現(xiàn)無限長(zhǎng)的周期性結(jié)構(gòu)的光柵衍射效果。在空氣的邊界處設(shè)置入射邊界條件，入射光波的設(shè)置條件列于表2中。

圖4 光柵有限時(shí)域差分計(jì)算模型

表2 有限時(shí)域差分入射光波設(shè)置

五個(gè)周期的光柵結(jié)構(gòu)計(jì)算區(qū)域內(nèi)的光場(chǎng)模的分布如圖5所示，出射邊界處的電場(chǎng)z方向分布圖像如圖6所示。

圖5 光柵區(qū)域有限時(shí)域差分計(jì)算光場(chǎng)模結(jié)果圖

圖6 光柵出射面處光場(chǎng)z方向分布結(jié)果圖

將出射邊界處的電場(chǎng)z分量數(shù)據(jù)導(dǎo)出，后續(xù)研究即為光線射出光柵之后在空氣中傳播的過程中的衍射和干涉效應(yīng)在接收屏處產(chǎn)生的光斑分布情況。

在實(shí)際制造及應(yīng)用的光柵中，光柵都具有一定的寬度，通常有數(shù)百個(gè)周期，因此在上述有限時(shí)域差分計(jì)算得到的五個(gè)周期的出射光場(chǎng)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，需要根據(jù)光柵的周期結(jié)構(gòu)特性將五個(gè)周期數(shù)據(jù)通過復(fù)制擴(kuò)展至200個(gè)周期來模擬實(shí)際尺寸下的光柵結(jié)構(gòu)。

根據(jù)菲涅爾衍射的條件，在算法計(jì)算中設(shè)置接收屏距出射面的距離為50 mm，接收屏上的觀察寬度設(shè)置為-15～15 mm，圖7為經(jīng)過菲涅爾衍射算法計(jì)算得到的接收屏處的光場(chǎng)模的平方的圖像，即為光強(qiáng)分布的圖像，也對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)上的光斑亮度。由計(jì)算結(jié)果圖像可見，最終在接收屏上的光強(qiáng)分布主要集中在五個(gè)區(qū)域，其中0級(jí)衍射級(jí)和±1級(jí)衍射級(jí)強(qiáng)度最高，對(duì)比度較高，光斑亮度也最高，這三級(jí)即可作為光線經(jīng)過光柵作用后產(chǎn)生的信號(hào)，通過后續(xù)的元件作用和信號(hào)采集即可進(jìn)行設(shè)計(jì)和應(yīng)用。

圖7 接收屏處光場(chǎng)模的平方結(jié)果圖像

3 結(jié)論

本文主要是基于菲涅爾衍射公式和電磁場(chǎng)的有限時(shí)域差分算法進(jìn)行光柵仿真的分析。有限時(shí)域差分算法通過直接求解麥克斯韋方程組來解得光場(chǎng)的精確分布形式，但是缺點(diǎn)是對(duì)于網(wǎng)格尺寸的要求很高，通常要小于入射光波長(zhǎng)的，因此當(dāng)光柵所需要的計(jì)算區(qū)域較大或者需要計(jì)算的傳播距離較遠(yuǎn)時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致劃分的網(wǎng)格數(shù)量極大，進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)有限時(shí)域差分的計(jì)算過程花費(fèi)時(shí)間過長(zhǎng)。因此采用菲涅爾衍射與有限時(shí)域差分計(jì)算相結(jié)合的方式，首先通過有限時(shí)域差分方法構(gòu)建模型求解得到介質(zhì)過渡區(qū)域的光場(chǎng)分布，然后將計(jì)算得到的光柵出射面的數(shù)據(jù)導(dǎo)出，利用菲涅爾衍射公式編程計(jì)算得到光場(chǎng)在近場(chǎng)距離內(nèi)也就是菲涅爾衍射區(qū)內(nèi)的傳播之后的分布情況，有效地解決了傳播距離較遠(yuǎn)時(shí)有限時(shí)域差分計(jì)算量過大的問題和介質(zhì)過渡區(qū)域的計(jì)算方法問題。基于以上研究步驟，本文構(gòu)建了周期結(jié)構(gòu)的相位光柵，通過設(shè)置有限時(shí)域差分模型的初始邊界條件及將其數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行擴(kuò)展，使其與實(shí)際的光柵結(jié)構(gòu)相匹配，之后將光場(chǎng)數(shù)據(jù)用于菲涅爾衍射計(jì)算。最終結(jié)果顯示光線經(jīng)過相位光柵的作用后在接收屏處共形成了五個(gè)衍射峰，其中0級(jí)和±1級(jí)衍射峰較強(qiáng)，對(duì)比度較高，可作為光信號(hào)供后續(xù)元件和設(shè)備的處理和采集。而且基于有限時(shí)域差分算法的通用性，對(duì)于幾何結(jié)構(gòu)不規(guī)律的非等距光柵和有制造誤差的光柵，以上仿真方法同樣適用，具有普適性。