保守系統(tǒng)中非線性耦合振子間的能量傳遞*

王錦濤 謝勇

（西安交通大學(xué)機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，陜西省無損檢測與結(jié)構(gòu)完整性評價工程技術(shù)研究中心，西安 710049）

引言

靶能量傳遞（Targeted energy transfer，TET）是Kopidakis等[1]發(fā)現(xiàn)的一種能量由主振子向NES傳遞的現(xiàn)象，能量傳遞的過程非常短暫且不可逆，每次傳遞的能量比較精確.非線性能量阱（Nonlinear energy sink，NES）[2]可以實現(xiàn)靶能量傳遞使振動能量單向傳遞至NES并被其耗散掉.

非線性能量阱的動力學(xué)特性非常復(fù)雜，甚至對于兩自由度非線性能量阱（2-DOF NES）現(xiàn)在還難以得到完全精確的解析分析，由于NES可實現(xiàn)高效減振，因此對NES進行理論研究仍然具有重要價值.國內(nèi)外學(xué)者對NES的復(fù)雜非線性動力學(xué)進行了大量研究.Gendelman等[2]最早對非線性能量阱的靶能量傳遞進行了研究.文獻[3]研究了線性振子耦合小質(zhì)量非線性振子的力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)了兩種可引發(fā)靶能量傳遞的條件，一種是1：1振動俘獲，另一種是非諧振條件下非線性振子的高頻振動.文獻[4]中在系統(tǒng)無阻尼情況下用非平穩(wěn)變換的方法得到了周期解，然后通過頻率－能量圖揭示了該系統(tǒng)的分岔結(jié)構(gòu)，基于復(fù)變量－平均法對引發(fā)靶能量傳遞的分諧振，1：1內(nèi)共振及非線性拍（nonlinear beat）現(xiàn)象作了分析.文獻[5]詳細分析了三種引發(fā)靶能量傳遞的情況.文獻[6]研究了系統(tǒng)輸入不同大小脈沖激勵下的周期軌道和準周期軌道.文獻[7]用簡化的動力學(xué)方程說明當(dāng)初始條件在一定范圍時NES的效率較高.該研究可作為對文獻[8]中不變流形研究的補充.文獻[9]通過優(yōu)化NES的參數(shù)實現(xiàn)了最優(yōu)靶能量傳遞，并對NES的吸振效率進行了試驗驗證.文獻[10]研究了一個二自由度非線性振動系統(tǒng)，給出了其頻能圖以及內(nèi)共振情形的局部化非線性模態(tài)流形.提出了勢能曲面上模態(tài)跡線的概念，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)產(chǎn)生內(nèi)共振的標(biāo)志之一是兩條模態(tài)跡線存在交點.發(fā)現(xiàn)能量傳遞現(xiàn)象與兩種機制有關(guān)：非線性模態(tài)局部化以及局部化模態(tài)之間的內(nèi)共振；參與內(nèi)共振的各個模態(tài)在跡線交叉點處實現(xiàn)了能量交換.另外，對NES的研究也做了一些實驗驗證[11-13]，證實了很多理論研究的成果.

靶能量傳遞主要通過共振俘獲實現(xiàn)[4]，是NES抑制結(jié)構(gòu)自由振動的主要原理.在研究NES抑制結(jié)構(gòu)自由振動時，Sapsis等[14]把NES中取得最大能量耗散比的情況定義為最優(yōu)靶能量傳遞，并證明了當(dāng)實現(xiàn)最優(yōu)靶能量傳遞時，主振子的振動能量會在半個慢變周期（super-slow half cycle）內(nèi)達到零，這便是目前最直觀判斷是否為最優(yōu)靶能量傳遞的方法.雖然單自由度NES通過最優(yōu)靶能量傳遞可以達到很高的振動抑制效率，但要使靶能量在非線性耦合振子間能夠完全傳遞需要兩個條件：第一、主振子的初始振動能量必須等于某一定值.若主振子的初始振動能量過小，則靶能量的傳遞就無法實現(xiàn)，這時NES對系統(tǒng)的振動抑制幾乎不起作用，如果初始能量過大，會在一定程度上降低NES的振動抑制效果[14，15]；第二、實現(xiàn)最優(yōu)靶能量傳遞需要 NES 具有一定的質(zhì)量、以上兩點僅為實現(xiàn)最優(yōu)靶能量傳遞的定性結(jié)論，無法根據(jù)NES質(zhì)量和主振子的初始振動能量設(shè)計NES.目前雖然有方法計算出了實現(xiàn)最優(yōu)靶能量傳遞的NES的最小質(zhì)量以及所需的初始能量大小，但是對能量傳遞過程中一些問題的揭示還不夠完整[16-18].

本研究對實現(xiàn)最優(yōu)靶能量傳遞的NES質(zhì)量和初始能量條件進行了定量分析.通過建立1：1內(nèi)共振條件下系統(tǒng)的慢變方程，對保守系統(tǒng)中振動能量可以完全由線性振子傳遞至NES所需的最小質(zhì)量和初始能量進行了理論推導(dǎo)和數(shù)值驗證.根據(jù)研究結(jié)果可以設(shè)計NES的質(zhì)量和初始能量，使NES實現(xiàn)最優(yōu)靶能量傳遞.對原系統(tǒng)的數(shù)值仿真表明NES的質(zhì)量會影響能量傳遞的暫態(tài)和能量交換時間，另外，靶能量的傳遞與初始能量的形式也有關(guān).

1 非線性耦合振子系統(tǒng)的力學(xué)模型

1.1 原系統(tǒng)模型

在圖1中，非線性耦合振子系統(tǒng)由一個線性主振子和立方剛度NES構(gòu)成，系統(tǒng)方程如下：

圖1 非線性耦合振子系統(tǒng)模型Fig.1 Nonlinear coupled oscillator system model

1.2 慢變力學(xué)模型

2 保守系統(tǒng)中能量在兩振子間的完全傳遞

2.1 慢變系統(tǒng)的兩個首次積分

2.2 推導(dǎo)能量完全傳遞時的NES質(zhì)量條件

2.3 推導(dǎo)能量完全傳遞時的初始能量條件

3 數(shù)值驗證和分析討論

3.1 慢變系統(tǒng)能量完全傳遞條件的驗證和分析

由于在推導(dǎo)能量完全傳遞條件的過程中進行了多次變量替換，導(dǎo)致參數(shù)的量綱失去了明確的物理意義，所以數(shù)值仿真的參數(shù)沒有標(biāo)明單位.選取參數(shù)分析哈密頓系統(tǒng)（21）的θ-δ相軌跡.對NES和主振子的質(zhì)量比選取ε>ε21、ε=ε21、ε<ε21三種情況（其中兩振子的臨界質(zhì)量比ε21=0.0557）來驗證前面推導(dǎo)的臨界質(zhì)量比是否正確.每種情況中不同的剛度比值k21分別對應(yīng)弱非線性和強非線性系統(tǒng).圖2-圖3和圖4中每條相軌跡表示不同的n值，黑色虛線代表n=n0的相軌跡.

圖2 θ—δ相平面圖，ε=0.1Fig.2 Phase-plane portrait，ε =0.1

圖3 θ—δ相平面圖，ε=0.0557Fig.3 Phase-plane portrait，ε =0.0557

圖4 θ—δ相平面圖，ε=0.04Fig.4 Phase-plane portrait，ε =0.04

在圖2中非線性振子NES與線性主振子的質(zhì)量比ε>0.0557.從圖2可以看出，盡管k21取值不同，但只要n=n0，θ的值都可以從0連續(xù)變化到π/2.由（17）式、（18）式和（19）式及前面的分析可知，該過程就是線性主振子能量完全傳遞至NES的過程.當(dāng)n≠n0時，θ的最大值均沒有達到π/2，從（17）式可以看出，此時線性主振子的振動能量最小值E1min>0.由式（18）可知，此時只有部分振動能量從線性主振子傳遞到了非線性振子NES，傳遞率沒有達到100%，且n值偏離n0越大，傳遞到NES的能量就越少，能量傳遞效率也越低.圖2的仿真結(jié)果驗證了前面的分析結(jié)論：要使哈密頓系統(tǒng)（21）中θ能夠由0連續(xù)變化到π/2，必須滿足n=n0這個條件，且當(dāng)θ=π/2時，δ=π/2，這也正和前面的研究結(jié)果（32）式相吻合.

在圖3中，NES與主振子的質(zhì)量比ε=0.0557.從圖3可以看出，系統(tǒng)剛度不論強弱，只要n=n0，θ都可以從0連續(xù)變化到π/2.和圖2不同的是，變化過程中δ恰好達到了邊界值π.當(dāng)n取其它值時，θ的最大值均小于π/2，能量都沒有完全傳遞至NES.

從圖4可以看出，如果繼續(xù)減小非線性振子NES的質(zhì)量，當(dāng)n=n0時，θ的最大值只有0.48左右.δ在能量傳遞過程中雖然可以達到最大值π，但是δ的變化已經(jīng)超出了（0≤δ≤π）的范圍，相軌跡在δ=π處被切斷，θ只能在0和最大值之間循環(huán)，系統(tǒng)無法實現(xiàn)完全能量傳遞.圖5中每條曲線代表在n=n0下，在NES質(zhì)量不同時系統(tǒng)的能量傳遞過程，其中黑色虛線表示n=n0，ε=0.0557時系統(tǒng)的能量傳遞過程.

圖5 θ-δ相平面圖，n=n0Fig.5 Phase-plane portrait，n=n0

圖2-圖4驗證了只要n≠n0，主振子能量就不可能完全傳遞至NES.圖5中黑色虛線的左邊區(qū)域表示都能夠?qū)崿F(xiàn)能量完全傳遞，從圖5中可以看出，系統(tǒng)要實現(xiàn)能量完全傳遞還須滿足NES的質(zhì)量比大于某一值，而且證明了該值確實為0.0557，從而驗證了臨界質(zhì)量比的正確性的.綜合圖2-圖5可以得出如下結(jié)論：只有在n=n0，ε≥0.0557的情況下，系統(tǒng)才能實現(xiàn)能量完全傳遞.至此，完成了對慢變系統(tǒng)中能量完全傳遞條件的驗證.

3.2 能量完全傳遞條件在原系統(tǒng)中的驗證和分析

觀察由（41）式、（42）式和（43）式計算得到的初始條件能否使振動能量在保守系統(tǒng)（5）中的兩振子間完全傳遞.兩振子的能量分別按以下兩式計算：

E1、E2分別為線性主振子和NES振子的能量.初始條件按（41）式選?。?/p>

從圖6和圖7可以看出，NES與主振子的質(zhì)量之比ε≥0.0557，此時無論系統(tǒng)的非線性剛度強弱，主振子能量都降到了零，也就是說振動能量在兩振子之間都實現(xiàn)了完全傳遞，這與圖2-圖3以及前面的結(jié)論正好吻合.

圖6 兩振子間的能量傳遞Fig.6 Energy transfer between two oscillators

圖7 兩振子間的能量傳遞Fig.7 Energy transfer between two oscillators

從圖6-圖9可以看出NES的質(zhì)量越大，系統(tǒng)能量交換的周期越短，而剛度對能量交換的周期基本沒有影響，但是對暫態(tài)和振子能量的變化率有影響.圖8是在n=n0，ε<0.0557下系統(tǒng)的能量傳遞過程，經(jīng)過觀察分析圖6-圖9，可以得出下面結(jié)論：第一、系統(tǒng)兩振子進入能量傳遞前的暫態(tài)時間與振子的質(zhì)量有關(guān)；第二、系統(tǒng)經(jīng)過暫態(tài)后，兩振子能量交換的時間與振子的質(zhì)量有關(guān).從圖6-圖7可以看出系統(tǒng)實現(xiàn)了完全能量傳遞，這與圖2和圖3一致.圖9中系統(tǒng)在n=n0，ε=0.04情況下基本實現(xiàn)了完全能量傳遞，然而在圖4中能量傳遞效率最高卻只有0.48左右，說明由近似慢變系統(tǒng)推導(dǎo)出的臨界質(zhì)量比確實有偏差.

圖8 兩振子間的能量傳遞Fig.8 Energy transfer between two oscillators

圖9 兩振子間的能量傳遞Fig.9 Energy transfer between two oscillators

圖10的初始位移按圖9的1.25倍選取，對比圖9和圖10可以看出：第一、圖9實現(xiàn)了完全能量傳遞而圖10沒有；第二、圖9引發(fā)能量傳遞的暫態(tài)時間比圖10長得多，能量交換時間也比圖10長，這驗證了系統(tǒng)要實現(xiàn)能量完全傳遞初始能量必須等于某一定值，說明初始條件會影響能量傳遞.從圖10可以看出此時能量傳遞率比較高，事實上這和前面得出的結(jié)論并不矛盾，從圖4可以看出，雖然在n=n0處θ的最大值很小，能量的傳遞效率不高，但n>n0時，虛線左邊的曲線仍然可以達到較大的θ值，即NES可以實現(xiàn)較高的能量傳遞效率，當(dāng)n=1.1245時，系統(tǒng)的能量傳遞率高達96%，按照前面對慢變模型的分析，這時的能量傳遞效率確實沒有達到百分之百，圖4和圖10也互相印證了這一點.

圖10 兩振子間的能量傳遞，xten10=1.25xnine10Fig.10 Energy transfer between two oscillators，xten10=1.25xnine10

初始條件按（42）式選取：圖11按照（42）式選取初始速度，圖6和圖7按照（41）式選取初始位移，系統(tǒng)初始能量相同，其它參數(shù)一致，得到的結(jié)果卻不同；圖6和圖7系統(tǒng)實現(xiàn)了完全傳遞，圖11（a）系統(tǒng)的振動能量雖然在兩振子間高效傳遞，但沒有達到完全傳遞，另外它的能量交換持續(xù)時間比圖6更長.圖11（b）在質(zhì)量比取0.0557時，振動能量便無法向NES傳遞了，這說明非線性能量阱的能量傳遞與初始能量的形式有關(guān)，而且預(yù)測的臨界質(zhì)量比也有偏差，這種偏差是由平均法、多尺度法以及龍格庫塔法造成的.按照（42）式可以預(yù)測實現(xiàn)完全能量傳遞時所需的初始速度，如圖12，在質(zhì)量比ε<0.0557時，系統(tǒng)已無法實現(xiàn)靶能量的完全傳遞.

圖11 兩振子間的能量傳遞Fig.11 Energy transfer between two oscillators

圖12 兩振子間的能量傳遞，b10=1.5a10Fig.12 Energy transfer between two oscillators，b10=1.5a10

在圖12中質(zhì)量比ε取0.04，初始速度按式（42）的1.5倍選取，可見能量的傳遞效率較高.這表明即使NES的質(zhì)量小于臨界值，若提高線性振子的初始能量，也可以取得較好的能量傳遞效果.需要說明，這種現(xiàn)象與前面的推導(dǎo)并不矛盾，從圖4可以看出，雖然在n=n0處能量的傳遞效率不高（θ的最大值很?。?，但在n>n0時，虛線左邊的曲線仍然可以達到較大的θ值，即NES可以實現(xiàn)較高的能量傳遞效率，按照前面對慢變模型的分析，這時的能量傳遞效率無法達到百分之百.另外從圖7和圖9、圖11和圖12可以看出在相同條件下，勢能形式的能量比動能更容易實現(xiàn)系統(tǒng)的能量傳遞.

初始條件按（43）式選取：圖13的初始條件按（43）式計算，雖然系統(tǒng)能量都實現(xiàn)了高效傳遞，但都無法實現(xiàn)完全傳遞.圖6和圖7實現(xiàn)了完全能量傳遞，圖13（a）雖然質(zhì)量比滿足條件，但初始能量并沒有滿足，說明系統(tǒng)的完全能量傳遞和系統(tǒng)的初始條件有關(guān)，也驗證了系統(tǒng)的初始條件必須為（41）式或（42）式才能實現(xiàn)完全能量傳遞.圖13（b）中NES與主振子的質(zhì)量比ε<0.0557，可以看出振動能量在兩振子之間實現(xiàn)了高效傳遞，但沒有達到完全傳遞，這是因為質(zhì)量比和初始條件都沒有滿足完全能量傳遞的條件，圖4和圖13（b）互相印證了這一點.

圖13 兩振子間的能量傳遞Fig.13 Energy transfer between two oscillators

暫態(tài)transient：系統(tǒng)開始振動至兩振子開始發(fā)生能量換的時間.能量交換時間exchange：主振子能量傳遞給NES達到最大，然后NES又返還給主振子的能量達到最大時的時間.

圖14 暫態(tài)及能量交換時間Fig.14 Transient and exchange time

能量傳遞率η：主振子傳遞給NES的最大能量與系統(tǒng)初始能量的比例.

圖15 不同參數(shù)條件下的能量傳遞率Fig.15 Energy transfer efficiency with different parameters

4 結(jié)論

（1）兩自由度非線性耦合振子的保守系統(tǒng)中，實現(xiàn)主振子與非線性振子NES之間的能量完全傳遞必須滿足兩個條件：第一、NES具有一定的質(zhì)量，且主振子和NES振子的質(zhì)量比必須大于等于0.0557；第二，主振子的初始振動能量必須等于某一定值，而且該值可按（41）式和（42）式給出.

（2）系統(tǒng)兩振子進入能量傳遞前的暫態(tài)時間與振子的質(zhì)量有關(guān).NES質(zhì)量越小，兩振子能量交換的時間越長，當(dāng)質(zhì)量比大于等于0.0557時，兩振子可不經(jīng)過暫態(tài)而直接進行能量交換，當(dāng)NES質(zhì)量過小時，適當(dāng)提高非線性耦合振子的初始能量可實現(xiàn)能量高效傳遞.

（3）非線性耦合振子系統(tǒng)的剛度會影響能量傳遞的暫態(tài)時間，但對能量交換的時間影響不大.

（4）非線性耦合振子初始能量的形式會影響系統(tǒng)的能量傳遞，在系統(tǒng)參數(shù)相同，初始能量一樣多的情況下，勢能比動能更容易引發(fā)系統(tǒng)能量傳遞.