冪律Hamilton方程及其在非線性動力學(xué)中的應(yīng)用*

李媛媛 張紹成 花巍 劉暢 劉世興? 郭永新

（1.遼寧大學(xué)物理學(xué)院，沈陽 110036）（2.遼寧大學(xué)空間科學(xué)與技術(shù)研究院，沈陽 110036）（3.遼寧大學(xué)信息化中心，沈陽 110036）（4.沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，沈陽 110036）

引言

非標(biāo)準(zhǔn)動力學(xué)理論有兩個(gè)分支：非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange動力學(xué)和非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton動力學(xué).非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange量（NSL）或非自然Lagrange量在Arnold的經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法[1]中首次被提到，非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange量與以動能和勢能項(xiàng)為特征的經(jīng)典Lagrange量不同.所以應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，近期El-Nabulsi[2]通過非標(biāo)準(zhǔn) Lagrange 函數(shù)在等離子體和太陽物理學(xué)中的一些應(yīng)用，探索得到了磁流體動力學(xué)等離子體模型的一些特征.非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton動力學(xué)的工作起源于Dyson對Feynman所做工作的報(bào)道，他指出Poisson括號關(guān)系對物理系統(tǒng)中允許的力的類型有很強(qiáng)的約束[3].Hojman 和 Shepley 將Feynman的工作思想進(jìn)行推廣拓展[4].并且能夠表明一組交換坐標(biāo)的一致量化可以導(dǎo)致這些坐標(biāo)中的Lagrange量，并為一階運(yùn)動方程建立了Hamilton理論[4-6].非標(biāo)準(zhǔn)動力系統(tǒng)在描述非線性演化方程、變系數(shù)耗散動力系統(tǒng)、Friedmann?Robertson?Walker模式、經(jīng)典相對論量子化問題等方面得到了越來越多的關(guān)注和廣泛的應(yīng)用[8-16]，等等.

理學(xué)和力學(xué)中的一個(gè)基本原理，可以推導(dǎo)出物理學(xué)、力學(xué)和工程中的運(yùn)動微分方程，Hamilton原理也可表示為的形式；其中是標(biāo)準(zhǔn) Lagrange 量和標(biāo)準(zhǔn) Hamilton 量，qi是廣義坐標(biāo)，是與廣義坐標(biāo)所對應(yīng)的廣義速度和廣義動量，但是非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton量不同于標(biāo)準(zhǔn)Hamilton量，非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton量通常不表示為動能與勢能和的形式.在基于非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton量的非線性動力學(xué)[17]中，介紹了指數(shù)形式的Hamilton量，并利用等時(shí)變分的方法得到了非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton運(yùn)動方程，并研究了其在非線性動力學(xué)中的應(yīng)用.之后在非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton運(yùn)動方程的基礎(chǔ)上，有學(xué)者對非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton函數(shù)動力學(xué)系統(tǒng)的Norther對稱性進(jìn)行了討論，并建立了非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton函數(shù)動力學(xué)系統(tǒng)的Norther定理[18].El?Nabulsi[19]利用對數(shù)Lagrange函數(shù)以及對數(shù)Hamilton函數(shù)得出相應(yīng)的運(yùn)動方程和修正的Boltzmann方程，討論了它們在恒星動力學(xué)中的應(yīng)用，也就是說非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)以及非標(biāo)準(zhǔn)形式的Hamilton函數(shù)可以應(yīng)用到天文學(xué)領(lǐng)域中.在本文中，將選擇一個(gè)冪律Hamilton作用量，討論運(yùn)動方程及其在非線性動力學(xué)和控制理論中的應(yīng)用.

本文結(jié)構(gòu)如下：在第1節(jié)中，利用等時(shí)變分的方法得到冪律Hamilton量的運(yùn)動方程.在第2節(jié)中，給出了非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton方程在非線性動力系統(tǒng)和控制問題中的應(yīng)用，結(jié)論在第3節(jié)中給出.

1 冪律Hamilton方程

2 冪律Hamilton方程的應(yīng)用

2.1 顯含時(shí)間的Hamilton函數(shù)

如果假設(shè)初值條件為q(0)=1，p(0)=1，圖1給出了方程（13）的解隨時(shí)間的變化，圖2給出了根據(jù)不同的γ取值處在q-p平面上時(shí)方程的解（12）的運(yùn)動軌跡.在圖2中，可以看出對于不同的γ取值，物體在q-p平面上具有不同的運(yùn)動軌跡.它展現(xiàn)了參數(shù)γ控制這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動.

圖1 當(dāng)γ=0方程（13）的解隨時(shí)間的變化Fig.1 Variations of the solution of equation（13）with time when γ=0

圖2 根據(jù)γ的取值方程的解（12）在平q-p面上的軌跡Fig.2 Behavior of solutions（12）on the plane q-p with different γ-value.

假設(shè)初始條件為q(1)=1，p(1)=1，圖3給出了當(dāng)γ=2時(shí)方程（15）的解隨時(shí)間的變化，圖4給出了不同的γ取值處在q-p平面上時(shí)方程解（16）的運(yùn)動軌跡.

圖3 當(dāng)γ=2時(shí)方程（15）的解隨時(shí)間的變化Fig.3 Variations of the solution of equations（15）with time whenγ=2

圖4 根據(jù)γ的取值方程的解（16）在q-p平面上的軌跡Fig.4 Behavior of solutions（16）on the planeq-pwith differentγ-value

取初始條件為q(0)=1，p(0)=0，圖5給出了當(dāng)γ=2時(shí)方程（17）的解隨時(shí)間的變化，圖6給出了不同的γ取值處在q-p平面上時(shí)方程解（18）的運(yùn)動軌跡.

圖5 當(dāng)γ=1時(shí)方程（17）的解隨時(shí)間的變化Fig.5 Variations of the solution of equations（17）with time whenγ=1

圖6 根據(jù)γ的取值方程的解（18）在q-p平面上的軌跡Fig.6 Behavior of solutions（18）on the planeq-pwith differentγ-value

2.2 不顯含時(shí)間的Hamilton函數(shù)

例4取非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton函數(shù)H(p，q)=pq+q，利用方程（7），得到Hamilton方程為

方程（19）的解析解為，

圖7 當(dāng)γ=2時(shí)方程（19）的解隨時(shí)間的變化Fig.7 Variations of the solution of equation（19）with time when γ =2

圖8 根據(jù)γ的取值方程的解（20）在q-p平面上的軌跡Fig.8 Behavior of solutions（20）on the planeq-p with differentγ-value

圖9 當(dāng)γ=0和γ≠0時(shí)Hamilton函數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.9 Variations ofHwith time whenγ=0andγ≠0

2.3 不顯含q的Hamilton函數(shù)

通過表達(dá)式（23），可以發(fā)現(xiàn)盡管Hamilton函數(shù)H不顯含q，p也不是一個(gè)守恒量.假設(shè)初始條件為q(0)=-1，p(0)=1，圖10給出了當(dāng)γ=0.2 時(shí)方程（22）的解隨時(shí)間的變化，圖11給出了不同的γ取值處在q-p平面上時(shí)方程解（23）的運(yùn)動軌跡.

圖10 當(dāng)γ=0.2時(shí)方程（22）的解隨時(shí)間的變化Fig.10 Variations of the solution of equation（22）with time when γ=0.2

圖11 根據(jù)γ的取值方程的解（23）在q-p平面上的軌跡Fig.11 Behavior of solutions（23）on the planeq-p with differentγ-value

3 結(jié)論

在本文中，通過使用等時(shí)變分的方法，成功得到了用于描述一種以冪律Hamilton函數(shù)為特征的特殊動力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動方程，稱之為冪律Hamilton方程.在新的方程中，有一個(gè)可調(diào)參數(shù)γ稱為控制參數(shù)，可以通過調(diào)整γ來改變物體運(yùn)動或動力學(xué)系統(tǒng)軌跡.冪律Hamilton方程在本質(zhì)上完全不同于標(biāo)準(zhǔn)Hamilton方程，但是在某些特定條件下該方程可以簡化為標(biāo)準(zhǔn)Hamilton方程.特別是對于耗散動力系統(tǒng)、非線性演化方程、控制問題等，非標(biāo)準(zhǔn)Hamilton方程顯然可以將其簡化，以簡單的方法來解決復(fù)雜的動力學(xué)問題和可控問題.