基于彈性弦模型的弛張篩面運(yùn)動(dòng)規(guī)律研究

李進(jìn)武，王新文，王政浩，陳 歡，王 喆，耿潤(rùn)輝

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083)

細(xì)粒粘濕物料的深度篩分是如今篩分行業(yè)的熱點(diǎn)問題，而弛張篩是有效解決細(xì)粒粘濕物料堵孔問題的設(shè)備之一[1-3]。弛張篩面在主浮篩框橫梁帶動(dòng)下作一張一弛的周期性撓曲運(yùn)動(dòng)并和物料接觸作用，是物料實(shí)現(xiàn)松散—分層—分級(jí)的最直接原因。分析弛張篩面的振動(dòng)規(guī)律，對(duì)于指導(dǎo)物料的高效篩分有著重要的意義。

現(xiàn)有對(duì)弛張篩面運(yùn)動(dòng)的研究方法包括幾何模型、彈性桿件模型和彈性弦模型，幾何模型主要有三段圓弧模型和懸鏈線模型，彈性桿件模型主要包括彈性壓桿模型、彎曲梁模型和細(xì)長(zhǎng)壓桿模型。其中，劉初升、趙躍民等將弛張篩面等效為兩端可以移動(dòng)的彈性壓桿，建立了篩面動(dòng)力學(xué)模型，得到了篩面上任意一點(diǎn)的位移、速度和加速度的解析表達(dá)式[4-6]；彭利平等將弛張篩面等效為失穩(wěn)狀態(tài)下的細(xì)長(zhǎng)壓桿，推導(dǎo)了篩面變形量隨篩面長(zhǎng)度變化的表達(dá)式[7]；翟宏新等比較了三段圓弧、彈性壓桿和彎曲梁三種模型，得出三種模型在描述篩面位移、速度、加速度上具有一致性的結(jié)論[8]；董海林采用ANSYS有限元分析軟件對(duì)篩面進(jìn)行非線性瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，通過改變篩面寬度，分析了寬度對(duì)篩面運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的影響，通過改變位移載荷，探究了張緊量對(duì)篩面運(yùn)動(dòng)學(xué)的影響[9]；寧小波將弛張篩篩面視為兩端可以自由移動(dòng)的簡(jiǎn)支梁，得到了篩面中點(diǎn)的位移、速度、加速度表達(dá)式，據(jù)此研究了不同轉(zhuǎn)速下，篩面張緊量對(duì)篩面速度和加速度的影響[10]；熊曉燕、顧成祥等人認(rèn)為香蕉型弛張篩篩面有一定的傾角，篩面兩端不對(duì)稱，已有的模型并不能很好的描述其運(yùn)動(dòng)學(xué)行為，采用懸鏈線模型來描述篩面的非線性變形，并由此計(jì)算了香蕉型篩面在豎直方向上的位移、速度、加速度[11，12]。陳寶興等基于弦振動(dòng)模型和哈密頓原理，建立了任意張緊量下篩面的振動(dòng)方程，并分析了空載下篩面的縱向和橫向運(yùn)動(dòng)[13]。

在實(shí)際生產(chǎn)中，弛張篩面的運(yùn)動(dòng)會(huì)受到物料的影響，因此分析重載下篩面的運(yùn)動(dòng)更有意義。本文將物料作用力簡(jiǎn)化為篩面上的恒定載荷，并利用彈性弦模型建立了重載下篩面的橫向振動(dòng)微分方程，通過仿真模擬和數(shù)值計(jì)算對(duì)比，驗(yàn)證了該模型的可行性和準(zhǔn)確性。

1 物料對(duì)篩面的作用

在物料篩分過程中，物料和篩面直接接觸，因此獲得動(dòng)能。反之，在接觸過程中，物料也會(huì)給篩面一定的反作用力，所以在分析篩面運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮到物料對(duì)篩面的作用。姜澤輝等發(fā)現(xiàn)[14，15]，顆粒群作用在振動(dòng)平臺(tái)上的力隨著振動(dòng)強(qiáng)度的增加會(huì)出現(xiàn)倍周期分叉，在時(shí)間歷程上具有周期性。徐寧寧[16]等人通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，顆粒群對(duì)給料機(jī)槽底的壓力為周期信號(hào)。

本文通過EDEM離散元法探究物料群對(duì)振動(dòng)床面的作用。設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)易的圓筒形振動(dòng)臺(tái)，如圖1所示，振動(dòng)臺(tái)底面半徑為200mm，材料設(shè)置為鋼，在振動(dòng)臺(tái)內(nèi)生成20mm直徑的顆粒，總質(zhì)量為5kg，材料設(shè)置為煤，其余參數(shù)設(shè)置見表1。給予振動(dòng)臺(tái)正弦位移，觀察不同振動(dòng)強(qiáng)度k下顆粒群對(duì)底面的壓力。

振動(dòng)強(qiáng)度分別為1.6和4.8時(shí)的壓力時(shí)程時(shí)程曲線如圖2所示?？梢钥闯?，在不同振動(dòng)強(qiáng)度下，顆粒群對(duì)篩面的作用力以周期的非諧和形式呈現(xiàn)，這與文獻(xiàn)[14，15]實(shí)驗(yàn)和文獻(xiàn)[16]模擬結(jié)果保持一致。對(duì)于任意的非諧和周期力F(t)可以通過傅里葉級(jí)數(shù)展開：

(1)

圖1 振動(dòng)臺(tái)

表1 EDEM中材料參數(shù)

圖2 不同振動(dòng)強(qiáng)度下的壓力時(shí)程時(shí)程曲線

將物料對(duì)篩面的反作用力按式(1)展開，如果只考慮常數(shù)部分，則可以認(rèn)為常數(shù)部分為作用在篩面上的恒定載荷。在下文中模型分析時(shí)，理想的認(rèn)為恒定載荷均布在篩面上，通過增大篩面密度的方式，將恒定載荷轉(zhuǎn)換為篩面所受的重力來分析篩面運(yùn)動(dòng)。

2 彈性弦模型的建立

實(shí)際弛張篩面兩端受正弦激勵(lì)并具有一定傾角，現(xiàn)將其簡(jiǎn)化為兩端在同一高度的水平篩面，且左端固定，右端作正弦運(yùn)動(dòng)：

U=Asinωt

(2)

式中，U為篩面右端位移；A為篩面右端位移激勵(lì)幅值；ω為激勵(lì)圓頻率；t為時(shí)間。

忽略篩面運(yùn)動(dòng)在寬度方向的差異，建立圖3所示的彈性弦模型。沿篩面長(zhǎng)度方向建立X軸，垂直于篩面方向建立Z軸。初始時(shí)刻，篩面在物料壓力及自身重力下處于靜平衡狀態(tài)。靜平衡下的實(shí)際撓度曲線為懸鏈線，但當(dāng)中點(diǎn)撓度與左右端點(diǎn)距離之比小于0.125時(shí)，拋物線和懸鏈線之間的差異很小。實(shí)際生產(chǎn)中，靜平衡下的弛張篩面中點(diǎn)撓度與左右端點(diǎn)距離之比遠(yuǎn)小于此值。假設(shè)：篩面的靜平衡撓度曲線為拋物線且靜態(tài)張力沿X方向的分力處處相等[17]；篩面在運(yùn)動(dòng)過程不具有抗彎剛度，且拉伸過程中應(yīng)力和應(yīng)變服從胡克定律。

圖3 篩面的彈性弦模型

對(duì)微元段進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可得水平篩面橫向振動(dòng)微分方程[18]

(3)

其中，X方向靜態(tài)張力：

(4)

X方向動(dòng)態(tài)張力：

(5)

式中，m為線密度；w(x，t)為t時(shí)刻弦上x點(diǎn)處在Z方向上離靜平衡位置的距離；c為粘性阻尼系數(shù)；z0為靜平衡時(shí)篩面中點(diǎn)的撓度；L為篩面左右端點(diǎn)之間的距離；g為重力加速度；E為篩面彈性模量；B為篩面橫截面積。

式(3)為二階偏微分方程，可使用分離變量法求解，但其解析解較為復(fù)雜，本文使用龍格庫(kù)塔法求解第一階模態(tài)下振動(dòng)的數(shù)值解。

3 模型的驗(yàn)證

有限元分析軟件ABAQUS可以對(duì)柔性體非線性變形進(jìn)行高精度仿真。弛張篩面材料為聚氨酯，屬于超彈性材料，有限元軟件通常采用Mooney-Rivlin模型描述這類材料的特性，網(wǎng)格單元一般選擇雜交單元C3D8H[19]，本文中選用二參數(shù)Mooney-Rivlin模型。對(duì)于聚氨酯材料，Mooney-Rivlin模型中參數(shù)存在關(guān)系[20]。

C10=4C01

(6)

E=6(C10+C01)

(7)

D1=0

(8)

式中，C10、C01、D1為表征超彈性材料的材料常數(shù)。

現(xiàn)有研究方法大多先通過測(cè)量篩面硬度Hs，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式確定彈性模量E，進(jìn)而通過式(6)和式(7)確定Mooney-Rivlin模型中參數(shù)C10和C01的值。武繼達(dá)[21]分別基于幾種常用的經(jīng)驗(yàn)公式的結(jié)果確定了參數(shù)的基本范圍，然后通過仿真參數(shù)反演的方法確定了較為準(zhǔn)確的經(jīng)驗(yàn)公式：

(9)

本文利用式(9)計(jì)算參數(shù)C10和C01。使用邵氏硬度計(jì)對(duì)篩面進(jìn)行硬度測(cè)試，實(shí)際測(cè)試所得篩面的硬度為87.9HA，代入公式可得彈性模量E=21MPa，C10=2.8MPa，C01=0.7MPa。D1取值為0，表示篩面為不可壓縮材料[22]。在部件模塊中建立篩面盲板，尺寸為325mm×500mm×4mm，如圖4所示。兩端距離為L(zhǎng)=323mm，篩面自身質(zhì)量0.741kg，均布于篩面的物料質(zhì)量分別取3kg和4kg，并將作用在篩面上的均布載荷換算為篩面密度所受的重力，即篩面總密度=(物料質(zhì)量+篩面質(zhì)量)/篩面體積。于其他模塊中賦予材料屬性，劃分網(wǎng)格，添加分析步。

圖4 篩面三維模型

在篩長(zhǎng)方向布置五個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，通過對(duì)比各個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的模擬和計(jì)算的位移時(shí)程曲線來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。選擇位移為輸出變量，為保證計(jì)算速度，采樣頻率設(shè)置為100Hz。ABAQUS仿真過程只能對(duì)結(jié)點(diǎn)處的變量進(jìn)行輸出，故檢測(cè)點(diǎn)必須布置在節(jié)點(diǎn)上，具體位置如圖5所示。

圖5 檢測(cè)點(diǎn)布置

載荷模塊中將篩面一端固定，一端給予正弦位移激勵(lì)，并添加重力加速度為9.81m/s2。模擬中未添加粘性阻尼，相對(duì)應(yīng)的數(shù)值計(jì)算中取阻尼系數(shù)c=0，其他參數(shù)設(shè)置見表2。完成各參數(shù)設(shè)置后提交作業(yè)，從結(jié)果文件中輸出各個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的位移，取振動(dòng)穩(wěn)定后十個(gè)周期內(nèi)的模擬數(shù)據(jù)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖6所示。

表2 ABAQUS中參數(shù)設(shè)置

圖6 位移時(shí)程曲線

圖6(a)和圖6(b)為物料質(zhì)量分別為3kg和4kg時(shí)檢測(cè)點(diǎn)3的位移時(shí)程曲線。檢測(cè)點(diǎn)3距離固定端163.50mm，距篩面中點(diǎn)2.00mm，故檢測(cè)點(diǎn)3可以近似視為篩面中點(diǎn)。由圖6(a)可以看出，當(dāng)物料質(zhì)量為3kg時(shí)，模擬振動(dòng)周期為0.10030s，計(jì)算振動(dòng)周期為0.10031s，相對(duì)誤差為0.001%；由圖6(b)可以看出，加載物料質(zhì)量為4kg時(shí)，模擬振動(dòng)周期為0.09955s，計(jì)算振動(dòng)周期為0.09940s，相對(duì)誤差為0.2%。取十個(gè)周期的振幅，此處取振幅=(上振幅+下振幅)/2，對(duì)模擬和計(jì)算結(jié)果求平均值進(jìn)行對(duì)比，數(shù)據(jù)見表3。由數(shù)據(jù)可以看出，加載物料質(zhì)量為3kg時(shí)，模擬平均振幅為26.56mm，計(jì)算平均振幅為28.85mm，相對(duì)誤差為7.9%；加載物料質(zhì)量為4kg時(shí)模擬平均振幅為28.04mm，計(jì)算平均振幅為31.62mm，相對(duì)誤差為12.8%。

表3 十個(gè)周期內(nèi)的振幅

圖6(c)和圖6(d)分別為物料質(zhì)量為4kg時(shí)檢測(cè)點(diǎn)2和檢測(cè)點(diǎn)4的位移時(shí)程曲線。其中檢測(cè)點(diǎn)2距離篩面中點(diǎn)50.10mm，檢測(cè)點(diǎn)4距離篩面中點(diǎn)62.00mm，檢測(cè)點(diǎn)2距篩面中點(diǎn)比檢測(cè)點(diǎn)4更近。可以看出，檢測(cè)點(diǎn)2振幅比檢測(cè)點(diǎn)4大。故在以激勵(lì)頻率為主振動(dòng)的篩面上，距離篩面中點(diǎn)越近，振幅越大，且篩面中點(diǎn)的振幅最大。

圖6(e)和圖6(f)為篩面物料質(zhì)量為4kg時(shí)檢測(cè)點(diǎn)1和檢測(cè)點(diǎn)5的位移時(shí)程曲線。二者距離固定端的長(zhǎng)度分別為55.60mm和297.20mm，離篩面中點(diǎn)的距離較遠(yuǎn)，振幅最大都不超過20.00mm。從圖6(c)、圖6(d)、圖6(e)和圖6(f)可以看到，檢測(cè)點(diǎn)1、檢測(cè)點(diǎn)2、檢測(cè)點(diǎn)4、檢測(cè)點(diǎn)5模擬所得的位移時(shí)程曲線并不平滑。對(duì)檢測(cè)點(diǎn)1和檢測(cè)點(diǎn)5的模擬位移進(jìn)行功率譜分析，結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?，檢測(cè)點(diǎn)1和檢測(cè)點(diǎn)5的位移不僅在基頻10Hz處有峰值，在二倍頻20Hz處也有一定的峰值。這說明篩面在以10Hz為主振動(dòng)的同時(shí)，還疊加有更高頻率的振動(dòng)，所以之后可以考慮求解包含二階或更高階模態(tài)振型的振動(dòng)方程用以更加精確的分析篩面的運(yùn)動(dòng)。另外從圖6可以看出，各個(gè)檢測(cè)點(diǎn)振動(dòng)周期都約為0.1s，和激勵(lì)周期一致。

圖7 檢測(cè)點(diǎn)1、5位移的功率譜密度

4 結(jié) 論

1)將重載下篩面的靜平衡撓度曲線簡(jiǎn)化為拋物線，建立了一端固定，一端受軸向正弦激勵(lì)的水平弛張篩篩面的彈性弦模型，推導(dǎo)了考慮粘性阻尼的篩面橫向振動(dòng)微分方程。

2)在篩面上布置五個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，通過有限元軟件ABAQUS模擬和計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)各個(gè)檢測(cè)點(diǎn)模擬和計(jì)算的位移時(shí)程曲線之間相對(duì)誤差較?。粡暮Y面中點(diǎn)處的位移時(shí)程曲線來看，模擬和計(jì)算的振動(dòng)周期相對(duì)誤差不超過0.2%，平均橫向振幅相對(duì)誤差不超過12.8%，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

3)對(duì)比不同垂度下的篩面振幅可知，在相同位移激勵(lì)下，保留一定的篩面松弛度，可以增大篩面的振幅。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，篩面在以激勵(lì)頻率為基頻振動(dòng)的同時(shí)，還疊加有二倍頻的高頻振動(dòng)。