基于動(dòng)態(tài)混沌映射的跨平面彩色圖像加密算法

葛 斌，代高樂

隨著信息傳輸技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)字圖像作為一種直觀、高效的傳輸媒介，常常被人們作為傳遞信息的工具. 若圖像信息被不法分子竊取，就會(huì)對(duì)個(gè)人、企業(yè)甚至國家造成不必要的損失［1］. 傳統(tǒng)的加密算法DES、RSA 和IDEA 等主要針對(duì)文本加密，圖像加密的效果并不理想，因此，急需設(shè)計(jì)一種高效快捷的圖像加密算法進(jìn)行圖像加密［2］.

混沌因具有內(nèi)在隨機(jī)性、不可預(yù)測性及對(duì)初始值的高度敏感性，被廣泛運(yùn)用于圖像加密算法中. 混沌映射包括：低維映射與高維映射. 其中，低維映射的形式簡單、運(yùn)算效率高，但安全性低［3］；高維映射的參數(shù)多、安全性高，但效率低下且存在資源浪費(fèi)［4］. 因此，一些學(xué)者采用二維映射［5-8］，在保證運(yùn)算效率的同時(shí)提高混沌映射的安全性.

而針對(duì)彩色圖像的加密算法而言，僅依賴混沌映射的復(fù)雜度，不足以保證其安全性，置亂和擴(kuò)散也是算法的重要組成部分. 采用bit 位的置亂方法增大了算法的計(jì)算量，加密效率較低［9-10］；三通道采用同一種方法進(jìn)行加密，使得攻擊者在破解單一通道的內(nèi)容即可得到整張圖像的信息，加密算法的安全性較低［11］.AHMAD 等人［12］提出運(yùn)用混沌序列排序?qū)D像進(jìn)行跨平面置亂，提高了彩色圖像整體的加密效果，但擴(kuò)散部分簡單.

鑒于已經(jīng)研究存在的不足，本文提出一種有較大混沌區(qū)間的2D HCLM 混沌映射，利用SHA-512 使密鑰與明文相關(guān)，采用跨平面置亂的方法降低彩色圖像三平面像素的相關(guān)性，正反兩輪的擴(kuò)散使像素點(diǎn)分布均勻. 仿真結(jié)果表明，2D HCLM 映射產(chǎn)生的混沌序列更具有隨機(jī)性，所設(shè)計(jì)的跨平面彩色圖像加密算法可抵御常用的攻擊手段，具有較高的安全性.

1 動(dòng)態(tài)混沌映射的設(shè)計(jì)與性能評(píng)估

1.1 2D HCLM 映射的設(shè)計(jì)

Henon 映射作為經(jīng)典的二維混沌映射，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中：a、b為控制參 數(shù)，xi和yi表示混沌序列迭代i次后的結(jié)果. 當(dāng)a∈［1.07，1.4］時(shí)，Henon映射處于混沌狀態(tài).

文獻(xiàn)［8］提出改進(jìn)的Henon 混沌映射，將Henon 映射與Iterative 映射復(fù)合，增大了混沌映射的映射范圍，增強(qiáng)了混沌映射的混沌性.當(dāng)控制參數(shù)a∈［0.8，1.5］，b=0.3，r=0.1 時(shí)，該映射處于混沌狀態(tài)，其定義如下：

上述映射雖然在合適的參數(shù)下具有一定的混沌性，但由于其混沌區(qū)間小，混沌行為簡單導(dǎo)致加密效果不理想. 為此，本文設(shè)計(jì)了一種動(dòng)態(tài)2D HCLM 混沌映射. 通過引入余弦映射公式將混沌區(qū)間擴(kuò)展到0 附近，并嵌入動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)參數(shù)w使得混沌行為更為復(fù)雜.2D HCLM混沌映射的定義如公式（3）所示.

其中：控制參數(shù)a∈［0，1.4］，b∈［0，0.3］，abs為取絕對(duì)值.

1.2 性能評(píng)估

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)2D HCLM 映射性能，主要考慮以下指標(biāo)：分岔圖、李雅普諾夫指數(shù)、樣本熵和NIST 測試. 所有性能評(píng)估都是居于公式（3）中，令b=0.3，u=3.99 所得出的結(jié)果.

分岔圖可以反映出非線性系統(tǒng)的行為、描繪出系統(tǒng)從周期到混沌的運(yùn)動(dòng)軌跡. 混沌映射的分岔圖達(dá)到滿映射的狀態(tài)時(shí)，說明其混沌區(qū)間連續(xù)、混沌行為復(fù)雜、混沌性好. 圖1展示了混沌映射的分岔圖，其中圖1（a）為傳統(tǒng)Henon 映射、圖1（b）為文獻(xiàn)［8］提出的改進(jìn)的Henon 映射、圖1（c）為2D HCLM 映射的分岔圖. 從圖1 中可以看出，2D HCLM 映射在控制參數(shù)a取值范圍相同的情況下混沌區(qū)間更廣，混沌行為更為復(fù)雜.

圖1 Henon、改進(jìn)Henon 和2D HCLM 分岔圖

李雅普諾夫指數(shù)（LE）描述了相空間中兩條相鄰軌跡之間的平均指數(shù)收斂或發(fā)散速率. 當(dāng)LE 曲線在0 的上方時(shí)，混沌映射處于混沌狀態(tài). 且李雅普諾夫指數(shù)越大，混沌映射的混沌性能越好. 圖2 展示了混沌映射的LE 曲線圖. 圖2（a）為傳統(tǒng)Henon 映射，圖2（b）為改進(jìn)的Henon 映射，圖2（c）為2D HCLM 映射. 從圖中可以看出2D HCLM 映射與前兩者相比李雅普諾夫指數(shù)更大，具有更復(fù)雜的混沌行為.

圖2 Henon、改進(jìn)Henon 和2D HCLM 李雅普諾夫指數(shù)圖

樣本熵（Sample Entropy）通過度量信號(hào)中產(chǎn)生新模式的概率大小來衡量時(shí)間序列復(fù)雜性，新模式產(chǎn)生的概率越大，序列的復(fù)雜性就越大.2D HCLM 混沌映射與改進(jìn)的Henon 樣本熵對(duì)比如圖3 所示，從圖中可以看出2D HCLM混沌映射的樣本熵均大于1.5，效率更高且具有更好的混沌性.

圖3 樣本熵對(duì)比圖

隨機(jī)性檢驗(yàn)套件NIST SP 800-22 Test Suite是用于測試序列的隨機(jī)性，為滿足NIST 測試要求，首先對(duì)16 000 000 個(gè)混沌序列值進(jìn)行二值化處理，然后對(duì)取得的128 000 000 位二進(jìn)制序列進(jìn)行NIST 檢驗(yàn). 對(duì)于隨機(jī)性檢驗(yàn)，每一項(xiàng)都會(huì)產(chǎn)生［0，1］的P值，當(dāng)P值大于顯著性水平（α=0.01）時(shí)，則表示二進(jìn)制序列通過測試且滿足隨機(jī)性特點(diǎn)，從表1 結(jié)果可以看出2D HCLM 的兩組混沌序列測試結(jié)果均大于0.01，說明2D HCLM 映射具有良好的隨機(jī)性.

表1 NIST 測試

2 加密算法

本文提出一種基于2D HCLM 映射具有自適應(yīng)的跨平面彩色圖像加密算法. 該算法利用2D HCLM 映射產(chǎn)生的混沌序列對(duì)圖像進(jìn)行加密，加密過程可分為兩輪置亂、兩輪擴(kuò)散操作，算法流程圖如圖4 所示.2D HCLM 映射使用SHA-512 產(chǎn)生的密鑰作為混沌映射的初始值，并隨機(jī)選取控制參數(shù)值，生成的混沌序列用于行列置亂和非序列擴(kuò)散. 在擴(kuò)散操作時(shí)，結(jié)合三通道像素點(diǎn)迭代，增強(qiáng)了密文的擴(kuò)散性. 本文通過上述方式提高了算法的安全性，密文圖像可有效抵抗常見的攻擊手段.

圖4 加密算法流程圖

2.1 生成初始值密鑰

將與明文相關(guān)的密鑰作為混沌映射的初始值，以達(dá)到一次一密的效果，可有效抵抗密文攻擊提高算法安全性. 具體操作步驟如下：

步驟1：對(duì)明文圖像I 進(jìn)行SHA-512 操作，得到長度為128 位16 進(jìn)制的密鑰key.

步驟2：將16 進(jìn)制的密鑰key 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制字符串，獲得一個(gè)長512 位的key1.

步驟3：對(duì)key1 執(zhí)行每兩位異或操作，獲得長度減半的256 位字符串key2.

步驟4：根據(jù)公式（4）對(duì)key2 進(jìn)行處理，得到4 個(gè)長度為64 位的子密鑰，分別為K1、K2、K3和K4.l表示起始位，h表示中止位.

步驟5：根據(jù)公式（5）和公式（6）生成2D HCLM 混沌映射所需的初始值x0、x1、y0 和y1.

2.2 生成混沌序列

通過上述操作，可得到2D HCLM 映射兩組初始值x0、y0、x1 和y1，置亂和擴(kuò)散所需的混沌序列生成步驟如下：

步驟1：輸入隨機(jī)選取的初始值x∈［0，1］和參數(shù)u=3.99，并代入公式（1）中迭代（v+M×N）次，舍棄前v=1 000 個(gè)數(shù)，再利用公式（7）對(duì)混沌序列處理得到偽隨機(jī)序列X.

其 中：xm為 舍棄v個(gè)數(shù) 后 的混沌 序列，mod為模運(yùn)算.

步驟2：將X重新組合成一個(gè)大小為M×N的矩陣L，用于像素點(diǎn)的跨平面置亂.

步驟3：隨機(jī)選取系統(tǒng)控制參數(shù)a0、b0 和u，以及通過公式（6）得到的初始值x0 和y0 代入公式（3），經(jīng)過（v+max（M，N×3））次迭代，并舍去前v個(gè)數(shù)使混沌序列達(dá)到更為混沌的狀態(tài)，生成兩組偽隨機(jī)序列X0、Y0. 再運(yùn)用公式（8）、公式（9）得到混沌序列A0、B0，A0、B0分別用于數(shù)字圖像矩陣的行、列置亂.

其中：abs表示為取絕對(duì)值；max 表示為取最大值；ceil表示為向上取整.

步驟4：設(shè)置隨機(jī)控制參數(shù)a1、b1 和u，初始值x1 和y1，代入公式（3）中迭代（v+M×N× 3）次，前v個(gè)數(shù)作為無用的迭代結(jié)果，并代入公式（8）、公式（9）得到兩組混沌序列A1、B1，用于兩輪擴(kuò)散. 此時(shí)，已經(jīng)產(chǎn)生了五組所需的混沌序列.

2.3 加密過程

步驟1：輸入大小為M×N的彩色圖像I，并將其拆分為R、G、B 三個(gè)通道，分別對(duì)應(yīng)矩陣Ir、Ig、Ib.

步驟2：根據(jù)表2 中的規(guī)則和矩陣L中對(duì)應(yīng)的數(shù)字，對(duì)矩陣Ir、Ig、Ib進(jìn)行像素點(diǎn)的跨平面置亂并將三平面組合為矩陣P（M×N× 3），具體操作如圖5 所示.

表2 像素點(diǎn)排列規(guī)則

圖5 跨平面置亂

步驟3：對(duì)矩陣P進(jìn)行擴(kuò)展Z字形置亂操作，得到置亂后的矩陣P'，如圖6 所示.

圖6 擴(kuò)展Z 字形掃描

步驟4：對(duì)混沌序列A0、B0 進(jìn)行排序，如圖7 所示. 利用A0 所得到的索引序列對(duì)矩陣P' 進(jìn)行列排序，利用B0 所得到的索引序列對(duì)矩陣P' 進(jìn)行行排序，最終得到行列排序后的矩陣Q（M×N× 3），矩陣索引排序如圖8 所示.

圖7 混沌序列排序

圖8 矩陣按索引排序置亂

步驟5：利用混沌序列A1 構(gòu)造矩陣T，根據(jù)公式（10）對(duì)矩陣Q進(jìn)行正向非序列擴(kuò)散得到矩陣D. 其中T（i，j）為 偽 隨 機(jī) 矩 陣的像素值；Q（i，j）為置亂后矩陣的像素值；D（i，j）為正向擴(kuò)散后矩陣的像素值.

步驟6：利用混沌序列B1 構(gòu)造矩陣S，根據(jù)公式（11）對(duì)矩陣D進(jìn)行反向非序列擴(kuò)散得到 矩陣E. 其中S（i，j）為偽 隨機(jī)矩 陣的像 素值；D（i，j）為正向擴(kuò)散后矩陣的像素值；E（i，j）為反向擴(kuò)散后矩陣的像素值.

步驟7：利用公式（12）將矩陣E組合成密文圖像C.

2.4 解密過程

解密過程為加密過程的逆過程. 首先，將密鑰和控制參數(shù)代入2D HCLM 映射中產(chǎn)生所需要的偽隨機(jī)序列；接著，進(jìn)行正反兩輪逆擴(kuò)散和逆行列置亂；然后，實(shí)施反向Z 字形置亂和跨平面重組，得到解密后的明文圖像.

3 仿真實(shí)驗(yàn)與安全性分析

為證明所設(shè)計(jì)彩色圖像加密方案的有效性，實(shí)驗(yàn)選取圖像處理標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集中多組不同的彩色圖像作為測試對(duì)象，在MAT‐LABR2017a 的仿真環(huán)境中進(jìn)行測試.

3.1 密鑰空間

加密算法的密鑰空間至少大于2100即128位才能滿足對(duì)抗暴力攻擊加密的條件. 在本文設(shè)計(jì)的加密算法中采用SHA-512 所產(chǎn)生的密鑰有2D HCLM 中的控制參數(shù)a0、a1、b和u，以及初始值x、x0、x1、y0、y1. 本文設(shè)計(jì)算法的密鑰空間為2512遠(yuǎn)大于2100. 因此，該加密算法可有效抵抗暴力攻擊.

3.2 密鑰敏感度分析

高度敏感的密鑰是一個(gè)加密算法的必要條件，密鑰值細(xì)微改變而加密圖像有明顯變化，說明密鑰敏感性強(qiáng).

為了測試密鑰的敏感性，以圖9 為例. 圖9 中（a）為原始圖像；（b）為用K1 加密的圖像；（c）為用K2 加密的圖像；（d）為用K1 正確解密的圖像；（e）為用K3 錯(cuò)誤解密的圖像. 實(shí)驗(yàn)獲取一個(gè)密鑰值K1，并兩次隨機(jī)改變K1 小數(shù)點(diǎn)后的某一位數(shù)得到K2 和K3. 用2D HCLM 映射的初始值K1=0.5 和K2=K1+10-14進(jìn)行兩次加密后圖像像素點(diǎn)均勻分布看不出任何明文信息，但兩次加密后的效果明顯不同. 圖中展示了用K1=0.5 和K3=K1-10-14兩個(gè)不同的密鑰解密的結(jié)果，從兩個(gè)解密的圖像中可以看出即使對(duì)密鑰值進(jìn)行細(xì)微的改動(dòng)也會(huì)得到兩種不同的結(jié)果. 兩個(gè)實(shí)驗(yàn)表明，采用2D HCLM的加密算法對(duì)密鑰和初始值極其敏感.

圖9 密鑰敏感性測試

3.3 信息熵分析

信息熵是分析圖像信息的隨機(jī)性指標(biāo)，加密后的圖像信息熵越高，表示像素隨機(jī)性越好，圖像加密效果越好. 本文算法通過兩輪置亂和兩輪擴(kuò)散充分隱藏了原圖像的內(nèi)容，進(jìn)而增大了密文圖像的信息熵. 信息熵的計(jì)算方法如公式（13）所示.

其中：a表示為灰度值隨機(jī)變量，N代表圖像的灰度，P（ai）表示灰度值出現(xiàn)的概率. 變量不確定性越大，信息熵也就越大，所以獲得圖像內(nèi)容的信息量也就越少，加密圖像的理想信息熵為8［10］.

表3 展示了幾種算法對(duì)彩色Lena（256×256）圖片進(jìn)行加密后信息熵的對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的算法具有良好的加密效果.

表3 不同算法Lena 的信息熵

3.4 直方圖分析

圖像的直方圖反應(yīng)了圖像像素的分布密度，加密圖像的像素點(diǎn)分布越均勻，攻擊者越難從像素值的數(shù)量預(yù)測明文信息，加密效果越好. 本文算法采用非序列擴(kuò)散方法修改置亂圖像的像素值，使像素值分布均勻以抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊.

實(shí)驗(yàn)選取Baboon 作為測試圖像，圖片加密前后直方圖對(duì)比如圖10 所示，展示了不同圖像在加密前后R、G、B 三個(gè)通道的直方圖對(duì)比. 從圖10 中的直方圖對(duì)比可以看出加密前后的直方圖具有明顯差異.

圖10 加密前后圖像直方圖

3.5 相鄰像素相關(guān)性分析

加密算法對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行加密后若不能夠降低水平方向、垂直方向和對(duì)角線方向上的相關(guān)性，則加密后的圖像更容易受到統(tǒng)計(jì)攻擊. 本文算法采用跨平面置亂與Z 字形置亂相結(jié)合的方式進(jìn)行一輪置亂，再根據(jù)混沌序列進(jìn)行二輪行列置亂有效降低了相鄰像素間的相關(guān)性.

實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選取3 000 對(duì)像素點(diǎn)做100 組測試其相關(guān)性，用加密后Lena 的像素相關(guān)性與有關(guān)的算法實(shí)驗(yàn)作對(duì)比如表4 所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，加密后的像素點(diǎn)相關(guān)性趨近于0，表明本文提出的加密算法可以有效去除相鄰像素間的相關(guān)性.

表4 不同算法中Lena 的像素相關(guān)性

3.6 差分攻擊

差分攻擊是另一種安全攻擊方式，具體是使用相同的加密算法對(duì)兩個(gè)差異較小的明文圖像分別進(jìn)行加密，通過不同密文間的差別建立起明文與密文之間的關(guān)系，從而破解密文. 本算法利用SHA-512 生成與明文相關(guān)的密鑰值，達(dá)到一次一密的效果，提高了加密算法的安全性. 因此，即使對(duì)明文圖像進(jìn)行微小的改變，也會(huì)導(dǎo)致兩次加密的密文圖像有顯著區(qū)別.

為了檢驗(yàn)圖像是否具有良好地抵抗差分攻擊，本實(shí)驗(yàn)用NPCR（像素?cái)?shù)變換率）和UACI（像素平均變化強(qiáng)度）來檢測本文提出的加密算法的性能，NPCR 和UACI 的計(jì)算方法如下：

其 中：M×N是 一 個(gè) 色 平 面 的 大 小，E1 和E2表示只有一個(gè)像素點(diǎn)不同的色平面加密后的密文圖像，D（i，j）表示兩個(gè)密文像素不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Q表示最大允許的像素值.

理論上NPCR 的值應(yīng)大于99.609 4%，且數(shù)值越大越好；UACI 的理論值為33.463 5%，數(shù)值越接近加密效果越好. 隨機(jī)改變?cè)瓐D像的一個(gè)像素點(diǎn)進(jìn)行二次加密，并與第一次加密結(jié)果作對(duì)比，計(jì)算兩次加密圖像的NPCR 和UACI 的數(shù)值，以Lena 為代表測試加密圖像并與先前提出的幾種算法進(jìn)行對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5 所示.

表5 不同加密算法Lena 的NPCR 和UACI

4 結(jié)語

結(jié)合已有的混沌映射和圖像加密算法的優(yōu)缺點(diǎn)，本文提出了一種自適應(yīng)圖片大小、安全可靠的彩色圖像加密算法. 主要是利用2D HCLM 映射生成混沌序列，基于這種安全的混沌序列，設(shè)計(jì)跨平面Z 字形置亂和非序列擴(kuò)散，快速、高效地增強(qiáng)了圖像加密算法安全性和可靠性.

在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)需要對(duì)高分辨率圖像進(jìn)行加密處理. 為了避免資源浪費(fèi)，提高加密效率，在下一步的研究中，將運(yùn)用分塊與置亂擴(kuò)散并行執(zhí)行的方法提高加密速度，節(jié)省資源開銷.