基于ANSYS的銣燈壽命預(yù)估與選型數(shù)值模擬分析

姚 力， 汪 舟， 王曉麗， 葛久志， 譚理成， 朱 希， 陶海征

(1. 武漢理工大學(xué) 汽車工程學(xué)院，湖北 武漢 430070； 2. 武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070； 3. 湖北省計量測試技術(shù)研究院，湖北 武漢 430223；4. 武漢理工大學(xué) 硅酸鹽建筑材料國家重點實驗室， 湖北 武漢 430070)

1 引 言

銣原子鐘因其體積小、質(zhì)量輕、功耗低、短期穩(wěn)定性強等優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星的導(dǎo)航定位[1]?？臻g應(yīng)用的需求對銣鐘的工作壽命提出了很高的要求。銣光譜燈是銣鐘的核心部件之一，研究表明銣燈燈泡中銣原子的損耗是導(dǎo)致銣鐘壽命終結(jié)的主要原因[2]。因此選用耐堿性玻璃作為銣燈材料，在銣燈內(nèi)充入足量的銣，是延長銣燈工作壽命的主要思路。但是充銣量過多會導(dǎo)致液態(tài)金屬銣在銣燈內(nèi)表面流動，使銣燈輸出的光強不穩(wěn)定，對銣鐘整機的頻率穩(wěn)定度產(chǎn)生不利影響[3]。因此，能夠準(zhǔn)確預(yù)測銣光譜燈銣量在不同的服役過程中的消耗速率，根據(jù)銣燈中銣消耗特性確定適宜的充銣量，是銣鐘壽命設(shè)計考慮的核心問題。

對于銣光譜燈壽命的研究，Volk等通過對不同廠家生產(chǎn)的Corning 1720、Schott 8437以及Schott 8436共4款玻璃進行了銣消耗實驗研究，驗證了銣燈壽命的主要限制因素為銣原子向玻璃外部擴散，并通過實驗證明了銣原子擴散到玻璃中的速度取決于銣燈的條件，包括燈的尺寸、玻璃的類型、燈的溫度和射頻驅(qū)動功率等。Cook等人通過進一步實驗修正了銣消耗經(jīng)驗公式，針對銣的化學(xué)消耗，引入了κ作為化學(xué)反應(yīng)的時間常數(shù)，得到了精度更高的銣消耗模型公式[4]。

國內(nèi)許多的科研機構(gòu)，如蘭州空間技術(shù)物理研究所[5～7]和武漢物理與數(shù)學(xué)研究所[8,9]，近二十年內(nèi)針對銣燈壽命預(yù)測和提高銣燈壽命措施方面進行了一系列研究。何勝國等利用一種新的燈泡趕銣方法，顯著提高了差分掃描量熱計測量燈泡銣量的精度[10]。通過對長達7年銣量測試數(shù)據(jù)的理論擬合，得到了誤差值小于10 μg的銣量消耗模型公式。

對于目前銣燈內(nèi)金屬銣消耗的研究方法，主要是通過長時間的實驗獲取相關(guān)參數(shù)然后通過數(shù)據(jù)擬合得到經(jīng)驗公式，需要耗費大量的時間和資金成本。隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)字仿真技術(shù)在工業(yè)界的各個領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用與發(fā)展[11～15]，而有限元方法與其他數(shù)值仿真方法如離散元和邊界元等相比，無論是在理論完善和商業(yè)軟件開發(fā)方面，近20年來都有著長足的發(fā)展，因此在學(xué)術(shù)界和工業(yè)界逐漸成為仿真分析的首選方法。本文基于瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程和非穩(wěn)態(tài)質(zhì)量擴散方程在數(shù)學(xué)形式具有相似性這一特點，使用有限元數(shù)值模擬方法研究銣原子在銣燈材料中擴散行為規(guī)律，同時利用所建立的有限元模型，分析了不同體積銣燈、銣燈外輪廓線曲率對銣消耗量的影響，為進一步預(yù)測銣燈的銣量消耗、預(yù)估銣燈的工作壽命和銣燈的選型提供有價值參考。

2 銣物理消耗的數(shù)學(xué)模型

2.1 銣擴散過程原理分析

在銣燈泡服役過程中，當(dāng)銣吸附在玻璃泡殼內(nèi)表面后，一般認為銣通過擴散、滲透以及毛細作用等方式侵入玻璃內(nèi)部，且在大多數(shù)情況下均以濃度的擴散為主要方式[16,17]。銣原子在濃度梯度的作用下從濃度高的區(qū)域向濃度低的區(qū)域進行遷移，在玻璃中只要存在銣濃度差，銣燈內(nèi)部的銣原子擴散作用就會發(fā)生，系統(tǒng)內(nèi)部銣原子的總量并沒有發(fā)生改變。銣光譜燈工作時銣量耗散的過程，實質(zhì)就是銣原子質(zhì)量轉(zhuǎn)移的過程，因此該過程遵循質(zhì)量守恒定律和Fick定律[18]。

銣在玻璃中擴散的過程為非穩(wěn)態(tài)擴散，介質(zhì)內(nèi)部銣原子的濃度隨時間不斷發(fā)生變化，針對非穩(wěn)態(tài)情況下的擴散特征，F(xiàn)ick第二定律用以描述物質(zhì)擴散規(guī)律的。它指出在非穩(wěn)態(tài)擴散過程中，在距離x處，濃度隨時間的變化率等于該處擴散通量隨距離變化的負值，即:

(1)

式中:C為擴散物質(zhì)的質(zhì)量濃度,kg·m-3;D為擴散系數(shù),m2·s-1;t為擴散時間,s;x為距離,m。且銣在玻璃中的擴散系數(shù)僅與溫度和玻璃材料有關(guān)，則式(1)可更改為:

(2)

2.2 熱傳導(dǎo)與銣擴散分析對比

熱傳導(dǎo)實質(zhì)是由物質(zhì)中大量的分子熱運動互相撞擊，而使能量從物體的高溫部分傳至低溫部分，或由高溫物體傳給低溫物體的過程[19]。固體中熱的傳導(dǎo)，就是能量的遷移，因此熱傳導(dǎo)過程同時遵循能量守恒原理和Fourier定律。

Fourier定律表明單位時間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率和截面面積，且熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。自然界和工程上的許多導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)，物體的溫度隨著時間不斷變化，需要考慮熱平衡方程進行求解。根據(jù)能量守恒定律進行推導(dǎo)得到瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程為:

(3)

式中:λ為導(dǎo)熱系數(shù),W·m-1·℃-1，是反映物質(zhì)導(dǎo)熱能力的量度;θ為溫度,℃;ρ為密度,kg·m-3;c為比熱容,J·kg-1·℃-1。

表1是銣原子擴散方程與熱傳導(dǎo)方程對比分析詳細情況，表中羅列了2個控制方程在非穩(wěn)態(tài)情況下的形式、所涉及的物理量以及相關(guān)單位的對比情況。從表1的控制方程以及物理量對比情況可得知，熱傳導(dǎo)方程僅在等式左邊比銣原子擴散方程多了密度和比熱容2個物理量，故在運用ANSYS中的熱傳導(dǎo)模塊來分析銣的擴散規(guī)律時，只需要在數(shù)值上令濃度=溫度(C=θ)；擴散系數(shù)=導(dǎo)熱系數(shù)(D=λ)；并取密度ρ=1，比熱容c=1，即可使擴散方程與熱傳導(dǎo)方程在控制方程形式上獲得統(tǒng)一，從而便可用ANSYS仿真軟件中的熱傳導(dǎo)模塊來分析銣原子在玻璃中擴散過程。

表1 擴散方程與熱傳導(dǎo)方程對比分析

3 銣物理消耗有限元模型

3.1 實驗參數(shù)

由于仿真模型銣量消耗對比的實驗值來自中國科學(xué)院頻標(biāo)重點實驗室何勝國等人測試結(jié)果，因此銣物理消耗有限元模型加載和約束條件與文獻[10]銣量消耗測試實驗過程一致。在該實驗中選取3個銣燈泡進行了長期的剩余銣量測試，所用的銣光譜燈泡為圓柱形，內(nèi)表面積約為300 mm2，銣燈材料為Schott 8436玻璃。銣光譜燈工作溫度為130 ℃，激勵電路總功率為1.8 W，射頻頻率為110 MHz。詳細的銣光譜燈銣量測試實驗參數(shù)如表2所示。

表2 銣光譜燈銣量測試實驗參數(shù)

3.2 有限元模型建立

圓柱形銣燈泡的剖面圖如圖1(a)所示。圓柱形氣室半徑為4 mm，根據(jù)文獻[10]中實驗銣燈內(nèi)表面積計算得到銣燈高為9.94 mm，整體壁厚為 0.5 mm?？紤]銣燈泡結(jié)構(gòu)的軸對稱性，為了簡化計算，有限元仿真中采用二維旋轉(zhuǎn)軸對稱模型，利用Workbench前處理模塊建立銣燈泡的二維平面模型，后續(xù)將建立好的有限元模型導(dǎo)入Mechanical APDL。單元采用熱分析模塊2D單元PLANE 55，單元劃分時，尺寸為0.1 mm×0.1 mm，整個模型的單元劃分圖如圖1(b)所示，共有725個單元，876個節(jié)點。

圖1 銣燈泡

3.3 材料參數(shù)與邊界條件

根據(jù)表1和表2，熱傳導(dǎo)模塊計算的導(dǎo)熱系數(shù)用玻璃的擴散系數(shù)替代，比熱容和密度分別設(shè)置為1。初始時刻銣燈模型內(nèi)表面節(jié)點邊界條件為初始銣原子濃度，取實驗中3個銣燈充銣量的平均值258 μg，銣燈體積為499.64 mm3，計算得到內(nèi)表面銣原子濃度為0.516 kg·m-3，其余節(jié)點設(shè)置為0 kg·m-3。具體的載荷和邊界條件如圖2所示。設(shè)置分析類型為瞬態(tài)熱分析，計算時長設(shè)為50年，最后在Post 26后處理模塊統(tǒng)計各個時刻模型內(nèi)表面的銣擴散通量的數(shù)據(jù)。

圖2 銣燈銣量耗散模型邊界條件圖

4 結(jié)果與分析

4.1 仿真結(jié)果與實驗比較

圖3為銣燈內(nèi)銣原子擴散過程中濃度場云圖，觀察可發(fā)現(xiàn)銣原子在玻璃中的擴散并不全是一維單方向的擴散，對于圓柱形銣燈，上表面與側(cè)面的交線處，銣原子均向x方向與y方向擴散，導(dǎo)致此處的銣的擴散通量值最大。因此在計算銣消耗量時需要分區(qū)域討論銣的擴散狀況。觀察圖4上各處的銣擴散通量值可以發(fā)現(xiàn)，無論是上表面還是側(cè)面，在偏離交線處一個壁厚(0.5 mm)的距離后，銣擴散通量值幾乎不再衰減。為了精確計算得到銣燈工作過程中的銣量耗散，將銣在玻璃中的擴散區(qū)域分為4份，如圖5所示。對于A區(qū)域和C區(qū)域，區(qū)域內(nèi)各節(jié)點的銣擴散通量值基本無變化，因此選擇圖2中的a點與c點作為該區(qū)域的代表點計算銣量消耗；對于B區(qū)域和D區(qū)域，區(qū)域內(nèi)各節(jié)點的銣擴散通量值按照遠離交線處的方向依次遞減，因此選擇該區(qū)域的中心點，圖2中的b點與d點作為該區(qū)域的代表點計算銣量消耗。最后累加4個區(qū)域的銣消耗量，得到整個銣燈的銣消耗量。

圖3 銣擴散過程中濃度場云圖

圖4 銣燈泡的銣擴散通量

圖5 銣燈內(nèi)擴散區(qū)域劃分圖

圖6及圖7給出了工作溫度(130 ℃)下銣燈泡模型內(nèi)側(cè)4個區(qū)域的銣濃度梯度和銣擴散通量隨時間變化趨勢圖。從圖6可以觀察到，在銣燈工作初期，由于擴散時間較短，銣燈內(nèi)表面銣原子較多，侵入玻璃內(nèi)部的銣原子較少，銣燈內(nèi)表面4個區(qū)域與耐堿玻璃材料之間的銣原子濃度差異都較大，最大可達到5.227 μg·mm-4。較大的濃度梯度造成銣原子大量侵蝕耐堿玻璃材料間隙，導(dǎo)致銣的快速消耗。但隨著銣燈使用年限的增長，玻璃內(nèi)部的銣原子濃度逐漸增大，銣燈內(nèi)表面與玻璃之間的銣原子濃度梯度逐漸降低。如圖6所示，經(jīng)過2×108s(大約6.34年)后，銣濃度梯度下降了初期時的49.2%。隨著銣燈內(nèi)表面與玻璃之間銣原子濃度梯度的降低，銣燈內(nèi)部4個區(qū)域之間的差異逐漸顯現(xiàn)出來，由于交線附近同時受到上表面與側(cè)面的同時侵蝕，相較于側(cè)面與上表面中心處，有著更大的濃度梯度，所以觀察后期的銣擴散通量圖可以發(fā)現(xiàn)B、D區(qū)域相較于A、C區(qū)域有著更大的銣擴散通量值。具體以B區(qū)域各項值為參考，擴散時間為50年，對于銣濃度梯度，D區(qū)域為B區(qū)域的96.9%，A區(qū)域為B區(qū)域的85.3%，C區(qū)域為B區(qū)域的80.8%；對于銣擴散通量，D區(qū)域為B區(qū)域的96.0%，A區(qū)域為B區(qū)域的91.4%，C區(qū)域為B區(qū)域的86.5%。

圖6 工作溫度下銣燈泡內(nèi)表面4個區(qū)域銣濃度梯度隨時間變化趨勢

圖7 工作溫度下銣燈泡內(nèi)表面4個區(qū)域銣擴散通量隨時間變化趨勢

對銣擴散通量圖進行定積分可以得到任意時間段內(nèi)單位面積上擴散所消耗的銣量，即可以獲得銣光譜燈物理消耗的銣量數(shù)據(jù)，進而能夠評估銣燈泡的使用壽命。如表3所示，計算得到了在工作溫度(130 ℃)下50年擴散所消耗的銣量。

表3 工作溫度下50年擴散消耗的銣量

如圖8所示，將有限元計算結(jié)果與文獻[10]中的實驗擬合值進行對比發(fā)現(xiàn)，有限元計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果趨勢一致，最大誤差出現(xiàn)在75 009 600 s(2.378年)，且最大誤差值僅為3.92 μg。根據(jù)表4對銣燈工作過程有限元計算結(jié)果與實驗擬合結(jié)果的相對誤差分析可以看出，在銣燈工作初期，銣燈內(nèi)銣量的消耗主要為化學(xué)消耗，物理擴散消耗量較少，所以相對誤差值較大；待銣燈內(nèi)雜質(zhì)與銣原子反應(yīng)消耗殆盡后，物理擴散消耗為主要消耗，相對誤差逐漸減小，有限元計算結(jié)果更加精確，即證明使用有限元方法能夠正確的模擬銣光譜燈內(nèi)銣原子的物理擴散消耗，且該方法非常適用于長期工作銣燈的壽命預(yù)估。

表4 有限元計算與實驗擬合值相對誤差分析

圖8 實驗擬合與有限元數(shù)值分析對比圖

銣燈在工作過程中，工作溫度、耐堿玻璃材料、充銣量以及銣燈的造型都會在不同程度上影響銣原子的消耗。其中工作溫度和耐堿玻璃材料的改變會導(dǎo)致銣擴散系數(shù)的改變，充銣量的多少會影響銣燈內(nèi)質(zhì)量濃度的大小，銣燈造型則會影響銣原子擴散過程中的擴散通量。

4.2 不同體積銣燈對銣消耗量的影響

在獲得能夠準(zhǔn)確預(yù)測擴散所消耗的銣量的有限元模型后，為了分析不同體積銣燈對銣消耗量的影響規(guī)律，本文在保證銣光譜燈充銣量、內(nèi)表面積、耐堿玻璃材料及形狀相同的情況下，分別選取直徑d為6、7、8、9、10 mm，壁厚為0.5 mm的圓柱形銣燈進行銣燈老化實驗?zāi)M。為保證圓柱形銣燈內(nèi)表面擴散面積300 mm2不變，各直徑銣燈的高分別為14.42、11.9、9.94、8.36、7.05 mm。計算得到的50年銣消耗量如圖9所示。

圖9 不同直徑的銣燈對銣消耗量的影響

觀察圖9可知，在確保相同擴散面積的前提下，圓柱形的銣燈直徑越小，最終消耗的銣量越多。整個仿真過程使用的是同類型耐堿玻璃材料，這消除了擴散系數(shù)不同所可能帶來的影響。當(dāng)圓柱形銣燈的直徑從6 mm增加至10 mm時，其體積也從407.72 mm3增大至553.71 mm3，最終的銣消耗量也從39.49 μg增長至54.36 μg，增長率為37.7%。其主要原因為5個不同直徑的銣燈有著相同的充銣量，這導(dǎo)致體積越小的銣燈內(nèi)表面的初始銣原子濃度越大，擴散過程中的銣擴散通量至也隨之增大，最終導(dǎo)致在相同時間下的銣燈老化實驗中有著更多銣消耗量。

4.3 外輪廓線曲率對銣消耗量的影響

由于在滿足實際服役過程中的銣燈形狀各有不同，不僅有圓柱形，還有梨形，如圖10所示。相較于圓柱形銣燈，當(dāng)梨形銣燈工作時，燈泡內(nèi)的惰性氣體對流時可以使銣燈內(nèi)的雜質(zhì)沉積在燈泡的底部，減輕雜質(zhì)對燈泡壁的污染。本文在保證梨形銣燈充銣量、耐堿玻璃材料及體積相同的情況下，分別選取外輪廓線曲率半r徑為5.5、6.5、7.5、10.5、20.5 mm，壁厚為0.5 mm的梨形銣燈進行銣燈老化實驗?zāi)M。進一步為了對比相同服役條件下圓柱形銣燈與梨形銣燈的銣量消耗，底座統(tǒng)一為半徑4 mm，高 1.5 mm，壁厚為0.5 mm的圓柱，計算得到的50年銣消耗量如圖11所示。

圖10 梨形銣燈泡

圖11 不同曲率半徑的銣燈對銣消耗量的影響

曲率半徑越大的銣燈，它的外輪廓線越“直”，所以梨形銣燈的不完整球面處發(fā)生一維單向擴散的概率就越高，即導(dǎo)致該區(qū)域的銣原子濃度梯度相對較低，銣擴散通量值相較于曲率半徑小的區(qū)域則較小，具體的參數(shù)值如圖12所示。但觀察圖11可知，梨形銣燈外輪廓線曲率半徑的變化對最終的銣量消耗值影響較小，曲率半徑增長率為272.7%時，銣量消耗下降率僅為4.3%。但當(dāng)曲率半徑增至無窮大時，即外輪廓線變?yōu)橹本€，梨形銣燈改變?yōu)閳A柱形銣燈時，相同的工作溫度、耐堿玻璃材料、充銣量及銣燈體積條件下，最終的銣量消耗增長了10.4%。其主要原因為，雖然梨形銣燈的不完整球內(nèi)表面相較于圓柱形銣燈有著更大的銣擴散通量值，但相同體積和底部直徑條件下，圓柱形銣燈的內(nèi)表面積為300 mm2，梨形銣燈的內(nèi)表面積僅為271 mm2，這導(dǎo)致了圓柱形銣燈耗散了更多的銣原子。

圖12 不同曲率半徑銣燈的不完整球面銣擴散通量隨時間變化趨勢

5 結(jié) 論

本文以Schott 8436玻璃銣光譜燈為研究對象，通過有限元軟件ANSYS建立銣擴散模型，計算得到銣燈工作過程中各時刻的銣消耗量，為預(yù)測銣燈的使用壽命提供一種新的方法，并研究了銣燈參數(shù)對銣消耗量的影響。結(jié)論如下：

(1) 根據(jù)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程與非穩(wěn)態(tài)擴散方程的相似性，利用有限元數(shù)值分析方法，對銣光譜燈的銣量消耗能夠進行精確的模擬計算。本文計算了50年的銣消耗量，最大誤差值為3.92 μg，最大相對誤差為14.9%，均出現(xiàn)在銣燈工作初期。且在15年之后，有限元模型計算結(jié)果的最大誤差值小于2 μg，相對誤差小于5%，即證明了使用有限元方法能夠準(zhǔn)確地計算銣燈的銣消耗量，且該方法更適用于長期工作銣燈的壽命預(yù)估。

(2) 對于圓柱形銣燈，保證充銣量與擴散面積相同的情況下，體積最小參數(shù)方案的銣燈銣消耗量最大。本文所選取的直徑6～10 mm的圓柱形銣燈的銣消耗量最大差值為14.87 μg，最大偏差率可達37.7%。

(3) 對于梨形銣燈，保證充銣量與體積相同的情況下，外輪廓線曲率最大參數(shù)方案的銣燈銣消耗量相對較大，當(dāng)曲率半徑增長率為272.7%時，銣消耗量變化率僅為4.3%，即外輪廓線曲率變化對銣燈的銣量消耗影響較小。但當(dāng)曲率增至無限大即變?yōu)閳A柱形銣燈時，銣消耗量增加了10.4%，故可認為相同工作條件下，梨形銣燈的銣消耗量更少。