基于LM算法的直流電機數(shù)學(xué)模型辨識

鴉 婧，俞竹青，蘇 娜

（常州大學(xué) 機械與軌道交通學(xué)院，常州 213100）

直流電機在某一特定負(fù)載下，通過改變電樞供電電壓以調(diào)節(jié)電機的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速[1]。 因其轉(zhuǎn)速可以平滑無極調(diào)節(jié)（在額定轉(zhuǎn)速以下調(diào)節(jié)），調(diào)速方便，過載能力大等優(yōu)良的調(diào)速特性， 被廣泛應(yīng)用于輕工、機械制造和冶金等多種現(xiàn)代工業(yè)部門。 直流電機速度的調(diào)節(jié)可以通過改變電壓來實現(xiàn)，但是在電壓不變的情況下，電機速度會受到負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化的影響。目前，直流電機的數(shù)學(xué)模型大多采用傳統(tǒng)公式進行理論建模，根據(jù)直流電機電氣方程和機械特性方程通過查用工廠或手冊的典型數(shù)據(jù)推導(dǎo)計算，或不得已采樣簡化模型。 由于數(shù)據(jù)不全面，影響了計算的準(zhǔn)確度和可信度，往往計算結(jié)果與實際模型相比有一定的誤差。

在需要精確控制的領(lǐng)域，一般會將被控對象描述為具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，數(shù)學(xué)表達(dá)式能夠很好地體現(xiàn)出輸入與輸出之間的關(guān)系。 在運用計算機仿真整個系統(tǒng)的運動狀態(tài)時，也需要確立每個模塊的特征和各模塊之間相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)關(guān)系。 所以如何建立準(zhǔn)確的直流電機的變化量與其控制量的關(guān)系曲線和數(shù)學(xué)表達(dá)式是實現(xiàn)其精確控制的重要前提。

目前，已經(jīng)有許多文獻(xiàn)就直流電機數(shù)學(xué)模型的建立提出了辨識方法。 以提高智能車的控制性能為前提，通過實驗獲得參數(shù)建立直流電機電樞電壓與轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)的方法， 能夠應(yīng)用于電機的選型、仿真平臺的搭建以及作為輔助調(diào)試手段等方面[2]。但是該方法的傳遞函數(shù)以傳統(tǒng)公式計算為基礎(chǔ)而建立，且傳遞函數(shù)的正確性依賴于獲取的參數(shù)是否準(zhǔn)確；通過測量出多組輸人電壓、輸出電壓、反饋電壓、輸出轉(zhuǎn)速的數(shù)值，利用Matlab 軟件將數(shù)據(jù)擬合成曲線，進而得到它們之間的函數(shù)表達(dá)式，最后通過在單片機中進行函數(shù)表達(dá)式的運算來實現(xiàn)電機的無級調(diào)速的方法[3]，能夠提高BLDCM 驅(qū)動器調(diào)速精度；通過實驗和理論分析研究了電機端電壓平均值與電機轉(zhuǎn)速之間的非線性關(guān)系，運用Matlab 分別對端電壓平均值與轉(zhuǎn)速進行一次和二次線性擬合，得到兩者關(guān)系曲線和拋物線關(guān)系式這一方法可以實現(xiàn)PWM 精準(zhǔn)調(diào)速[4]。 文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[4]雖通過實驗給出了直流電機控制電壓與轉(zhuǎn)速之間的函數(shù)關(guān)系，但兩者的擬合數(shù)據(jù)都是在電機空載情況下獲得的，未能考慮到負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化對電機速度的影響。

針對在PWM 調(diào)速系統(tǒng)中電機速度的變化會受到負(fù)載轉(zhuǎn)矩與電壓兩者的影響問題，提出一種基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的直流電機扭矩電壓與轉(zhuǎn)速數(shù)學(xué)模型辨識新方法，根據(jù)電機在不同的負(fù)載轉(zhuǎn)矩情況下電壓與轉(zhuǎn)速樣本數(shù)據(jù)， 經(jīng)LM 算法訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)模型能夠辨識出直流電機的數(shù)學(xué)模型。

1 基于LM 算法的直流電機網(wǎng)絡(luò)模型建立

1.1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

誤差反向傳播（back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種采用監(jiān)督學(xué)習(xí)規(guī)則的多層前饋人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 BP 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1 所示，通常由1 個輸入層，1個輸出層和若干個隱含層構(gòu)成，每層又由若干個神經(jīng)元組成，同層神經(jīng)元之間無關(guān)聯(lián)，每一個神經(jīng)元的輸出值由輸入值、激活函數(shù)、閾值所決定[5]。 實際上，研究表明只需1 個隱含層（激活函數(shù)為sigmoid）的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就具有能夠逼近任意非線性函數(shù)的能力[6]。

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程可分為前向網(wǎng)絡(luò)計算和誤差反向傳播，這兩個過程是相繼連續(xù)反復(fù)進行的。 前向網(wǎng)絡(luò)計算是指輸入層樣本信號一層一層向前傳播，每層神經(jīng)元的輸出由前一層神經(jīng)元經(jīng)相應(yīng)的加權(quán)和計算而得到。 前向計算的過程既是網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的一部分，也是網(wǎng)絡(luò)模型建立完成后應(yīng)用其工作的過程[7]。 誤差反向傳播過程主要是對各層權(quán)值和閾值進行修改，修改條件為網(wǎng)絡(luò)實際輸出與給定的樣本期望輸出之間的誤差未能達(dá)到要求的性能指標(biāo)。

以圖1 所示的BP 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)M-Q-L 為例，其中M，Q，L 分別為輸入層、隱含層、輸出層的神經(jīng)元個數(shù)。

圖1 BP 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 BP network structure diagram

隱含層的第i 個神經(jīng)元輸入neti、輸出oi為

式中：ωij為權(quán)值；xj為第j 個輸入神經(jīng)元；bi為閾值；g（·）為隱含層激活函數(shù)。

輸出層第k 個神經(jīng)元的輸入netk、輸出ok為

式中：f（·）為輸出層激活函數(shù)。

以上是前向計算過程，若在前向傳播后的輸出層未能達(dá)到所期望的效果則會進入誤差反向傳播過程，對權(quán)值和閾值進行修正，即從輸出層開始向前計算各權(quán)值和閾值對總誤差的影響（梯度）。

為了對權(quán)值和閾值進行調(diào)整，對每個樣本引入均方誤差性能函數(shù)：

式中：ok為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出；tk為輸出樣本。

為了使得網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程中朝著逐漸減小的方向，即應(yīng)該按照誤差性能函數(shù)的負(fù)梯度方向調(diào)整，從而使模型收斂。

輸出層的權(quán)值修正公式為

式中：η 為學(xué)習(xí)率。

隱含層的權(quán)值修正公式為

1.2 LM 算法

傳統(tǒng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用最速下降法來修正權(quán)值和閾值，但是網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢，易于陷入局部極小，訓(xùn)練過程常常發(fā)生振蕩等缺陷[8]。 而LM 算法以數(shù)值優(yōu)化為背景，經(jīng)過經(jīng)典牛頓算法發(fā)展而來。 牛頓法是一種基于二階泰勒級數(shù)的快速優(yōu)化算法，其基本方法是：

式中：W（k）為第k 次迭代各層之間的權(quán)值矩陣或閾值矩陣；A（k）為誤差性能函數(shù)在當(dāng)前權(quán)值和閾值下的Hessian 矩陣（二階導(dǎo)數(shù)）；g（k）=為第k 次迭代的網(wǎng)絡(luò)輸出誤差對各權(quán)值或閾值的梯度矩陣，負(fù)號表示梯度的最速下降方向。

牛頓法雖然收斂速度很快，但是因其需要計算Hessian 矩陣，所以對于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說牛頓法具有計算復(fù)雜、工作量大等缺陷。而LM 算法的提出就是為了在以近似二階訓(xùn)練速率進行修正時避免計算Hessian 矩陣，將Hessian 矩陣近似表示為

梯度表達(dá)式為

類似于牛頓法，LM 算法的權(quán)值或閾值修正表達(dá)式為

式中：I 為單位矩陣；J 為雅克比矩陣。

式（13）可以看出，若μ＝0 時，則為牛頓法；若μ取值很大時，LM 算法則變?yōu)椴介L較小的梯度下降法。 實驗研究表明[9]，通常對于包含數(shù)百個權(quán)值的函數(shù)逼近網(wǎng)絡(luò)，LM 算法的收斂速度最快，網(wǎng)絡(luò)誤差最小，不易陷入局部極小點，具有很強的容錯能力。

2 基于Matlab 建立直流電機模型

2.1 樣本數(shù)據(jù)及預(yù)處理

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直流電機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立的過程如圖2 所示，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練前首先就需要獲得輸入、輸出樣本數(shù)據(jù)。 因為在PWM 調(diào)速系統(tǒng)中直流電機的轉(zhuǎn)速與控制電壓是非線性的，并且電機實際工作時需帶負(fù)載運轉(zhuǎn)，電機速度的變化會受到負(fù)載轉(zhuǎn)矩與控制電壓兩者的影響，所以將負(fù)載轉(zhuǎn)矩和控制電壓作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，電機轉(zhuǎn)速作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。 樣本數(shù)據(jù)的選取對網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練的準(zhǔn)確性非常重要，樣本數(shù)據(jù)量過多會使計算量大，內(nèi)存資源浪費，模型訓(xùn)練效率降低；樣本數(shù)量過少會導(dǎo)致不能獲得有效的模型。 本文選取了適當(dāng)?shù)臉颖緮?shù)量（5組不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩下電壓與電機轉(zhuǎn)速）以表明方法可行性，樣本數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn)[4]測試方法獲得，每組數(shù)據(jù)測試3 次以保證準(zhǔn)確性，具體數(shù)據(jù)截取部分如表1 所示。

圖2 直流電機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立流程Fig.2 Flow chart of neural network model establishment of DC motor

表1 訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)Tab.1 Training sample data

數(shù)據(jù)的預(yù)處理對網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練效率有很大的影響， 所以需要在訓(xùn)練前將數(shù)據(jù)進行歸一化處理。 歸一化不改變數(shù)據(jù)的相對大小和排列順序，而只是將其按比例縮放，使之變換于某個區(qū)間內(nèi)[10]。因為本文的樣本數(shù)據(jù)不可能為負(fù)值，所以利用最大值和最小值方法將數(shù)據(jù)按式歸一化至區(qū)間［0-1］。

式中：x′為歸一化后樣本數(shù)據(jù)；x 為歸一化前樣本數(shù)據(jù)；xmax為樣本數(shù)據(jù)中最大值；xmin為樣本數(shù)據(jù)中最小值。

2.2 直流電機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練過程

本文利用Matlab 仿真軟件中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱對直流電機在不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩情況下控制電壓與轉(zhuǎn)速非線性模型進行訓(xùn)練，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程如下所示。

（1）確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 輸入層節(jié)點數(shù)M=2，設(shè)置1 個隱含層節(jié)點數(shù)且激活函數(shù)為logsig， 輸出層節(jié)點數(shù)，激活函數(shù)為purelin，并對各層之間的權(quán)值閾值隨機初始化。 設(shè)置性能函數(shù)為均方誤差函數(shù)Ep且其指標(biāo)為默認(rèn)值0，表明盡最大努力建立最佳網(wǎng)絡(luò)。

（2）開始網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，計算網(wǎng)絡(luò)正向傳播誤差Ep。

（3）若Ep＞0，則進入誤差反向傳播過程，利用LM 算法進行權(quán)值和閾值的修正。

（4）若Ep=0 或者迭代次數(shù)超過1000，則終止網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果及數(shù)學(xué)模型表達(dá)式

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練迭代1000 次的均方誤差如圖3 所示，隨著迭代次數(shù)的增加，均方誤差逐漸減少， 網(wǎng)絡(luò)在第1000 次訓(xùn)練迭代完成后模型誤差達(dá)到最佳為1.0932×10-3。

圖3 均方誤差圖Fig.3 Mean square error diagram

模型訓(xùn)練完成后利用Matlab 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱函數(shù)將各網(wǎng)絡(luò)層之間的連接權(quán)值與閾值提取出來建立直流電機模型數(shù)學(xué)表達(dá)式。

式中：simy 為電機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出；x 為電機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸入矩陣；net.iw｛1，1｝為輸入層到隱含層權(quán)值矩陣；net.lw｛2，1｝為隱含層到輸出層權(quán)值矩陣；net.b｛1｝為輸入層到隱含層閾值矩陣；net.b｛2｝為隱含層到輸出層閾值矩陣；logsig 為

訓(xùn)練結(jié)束得到的權(quán)值閾值結(jié)果為

2.4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型驗證

加載訓(xùn)練完成后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，給出在電機空載和負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0.14 N·m 運行情況下，直流電機電壓與轉(zhuǎn)速實際樣本數(shù)據(jù)作為輸入值，得到的模型預(yù)測輸出結(jié)果如圖4 所示。

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型擬合圖Fig.4 Fitting diagram of neural network model

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型擬合圖可以看出，訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出數(shù)據(jù)與樣本實際數(shù)據(jù)基本吻合，誤差較小且保持在一定的范圍內(nèi)。 與文獻(xiàn)[7]以二次函數(shù)擬合曲線相比， 基于BP-LM 算法直流電機負(fù)載轉(zhuǎn)矩、電壓與轉(zhuǎn)速的非線性函數(shù)擬合效果具有較大的優(yōu)勢。

3 結(jié)語

本文基于BP-LM 算法提出了一種直流電機在不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩情況下的控制電壓與轉(zhuǎn)速非線性數(shù)學(xué)模型表達(dá)的新方法。 首先，根據(jù)實驗獲得不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩工作情況下， 直流電機在PWM 調(diào)速系統(tǒng)中控制電壓、負(fù)載轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速的數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出；然后再利用Matlab 軟件的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，經(jīng)過LM 算法的優(yōu)化、訓(xùn)練得到直流電機負(fù)載轉(zhuǎn)矩電壓與轉(zhuǎn)速數(shù)學(xué)模型； 最后，訓(xùn)練結(jié)果證明基于BP-LM 算法構(gòu)建的直流電機數(shù)學(xué)模型能夠?qū)斎霚?zhǔn)確的映射輸出，模型預(yù)測誤差小，均方誤差最佳為。 模型驗證結(jié)果表明，本文提出的基于BP-LM 算法直流電機電壓轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速非線性數(shù)學(xué)模型建立方法是可行的。