借數(shù)學(xué)分析理解世界

文/馬小琴（西安交通大學(xué)）

在大學(xué)的這幾年里，數(shù)學(xué)分析為我打開了理解世界的新大門，我開始從不同角度看待問題、理解問題，并且在遇到困惑的時(shí)候，會(huì)嘗試采用數(shù)學(xué)理性而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，去幫助自己走出困境，成長為心智更健全的年輕人。這或許正是我們學(xué)習(xí)的意義所在。

數(shù)學(xué)對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說是高考最重要的科目之一，秉持著學(xué)好數(shù)學(xué)就可以在分?jǐn)?shù)上占據(jù)一定優(yōu)勢(shì)的理念，我們努力理解數(shù)學(xué)概念或者干脆刷題來獲取相應(yīng)的高分。但需要指出的是，這樣被動(dòng)的接收在一定程度上抹去了數(shù)學(xué)原本的魅力。比如，一個(gè)數(shù)學(xué)概念的提出，背后是一位位數(shù)學(xué)家日積月累的思索與完善，這個(gè)探索過程中的一些誤解，甚至錯(cuò)誤，有時(shí)候更值得我們關(guān)注。因?yàn)?，它往往是從別的角度來考察這個(gè)概念或者定理，當(dāng)我們從不同角度了解一個(gè)概念背后的故事后，可能對(duì)它的理解會(huì)更加自然和深刻。起初，我對(duì)數(shù)學(xué)的理解是非常幼稚的，直到上大學(xué)選擇了數(shù)學(xué)專業(yè)，才開始對(duì)這個(gè)古老的學(xué)科有了一些深入了解。

定義無理數(shù)

大一數(shù)學(xué)分析課上，老師推薦的常庚哲、史濟(jì)懷所著《數(shù)學(xué)分析教程》是陪伴我最久的數(shù)學(xué)類讀物。這本書是數(shù)學(xué)系的基礎(chǔ)課教材，是其他科目的基石，作者深入淺出地講解讓我受益匪淺。

猶記得《數(shù)學(xué)分析教程》開篇第一章——實(shí)數(shù)和數(shù)列極限，從小接收的知識(shí)告訴我們實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的集合，我們很自然地接受了Π、e等無理數(shù)的存在，但事實(shí)上人們接受無理數(shù)這一概念的歷程是曲折坎坷的。

在遙遠(yuǎn)的古代，人們由于打獵計(jì)數(shù)以及財(cái)物分割等緣故，很早就認(rèn)識(shí)了有理數(shù)。有理數(shù)均可表示成兩個(gè)整數(shù)之比，所以古希臘數(shù)學(xué)家將其稱為可公度比，并將比值是有理數(shù)的兩個(gè)量稱為可公度的，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派甚至將“任意兩個(gè)量均可公度”作為他們的信條。

然而在公元前5世紀(jì)，該學(xué)派的門徒Hippasus發(fā)現(xiàn)正五邊形的對(duì)角線與邊長是不可公度的，也就是說，他發(fā)現(xiàn)了（ +1）/2不是有理數(shù)，由此掀開了人類研究無理數(shù)的篇章。但在久遠(yuǎn)的古代，固有思維的推翻，有時(shí)候是要付出慘重代價(jià)的。據(jù)說，Hippasus被同門拋入海中處死，可見無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)理念造成了極大打擊。

隨著時(shí)間的流逝，人們逐漸接受了無理數(shù)的概念，并且為了完善微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在不到2 5 年的時(shí)間里，K.Weierstrass、R.Dedekind、G.Cantor分別給出了從有理數(shù)出發(fā)定義實(shí)數(shù)的理論。我所了解的是R.Dedekind的方法，其大致思想是從有理數(shù)集出發(fā)去構(gòu)造實(shí)數(shù)集，以彌補(bǔ)有理數(shù)集不完備的缺點(diǎn)。最終將每一個(gè)分割稱為一個(gè)實(shí)數(shù)，把有理分割與有理數(shù)等同看待，并將不是有理分割的分割視為無理數(shù)。至此，到19世紀(jì)人們才開始給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義。

從定義無理數(shù)的歷程來看，數(shù)學(xué)上每一個(gè)基本概念的提出，都是值得反復(fù)品讀的，越是基礎(chǔ)的概念越是難以定義。我時(shí)常被類似概念的發(fā)展史所感動(dòng)，從這個(gè)過程中我們往往能夠汲取到某些頗具指導(dǎo)意義的養(yǎng)分，來引領(lǐng)我們更好地處理學(xué)習(xí)，甚至人生中的煩惱與困難。

從數(shù)學(xué)中汲取養(yǎng)分

我們的成長如同數(shù)學(xué)一樣，都是從嬰兒開始，從一片空白開始，經(jīng)過不斷地試錯(cuò)、成長、總結(jié)、修補(bǔ)才長大成人，并且仍具有較大的提升空間。在我們成長的過程中也難免陷入某種局部最優(yōu)解，仿佛此刻的結(jié)論就是最佳，且不可撼動(dòng)的，驕傲地宣揚(yáng)著不成熟的見解，就如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派固執(zhí)地否認(rèn)無理數(shù)的存在，最終被真理打敗。所以，我們汲取一定知識(shí)后，對(duì)世界有了更為深刻的認(rèn)知是非常合理的。

數(shù)學(xué)或者世界的基本原理是簡(jiǎn)潔而美妙的，但它也不易捕獲，我們要不斷地抽絲剝繭，找到更完善、更準(zhǔn)確的答案。換個(gè)角度考察問題也好，同類型問題對(duì)比、分析也罷，我們總能獲取一點(diǎn)點(diǎn)思索價(jià)值。我在考研期間就時(shí)常遇到低谷時(shí)刻，我常常焦躁不安，感覺無所適從。但是，翻翻課本后總能有所平靜，我不斷提醒自己，我目前就是處于完善的階段，某些知識(shí)點(diǎn)我沒有完全掌握導(dǎo)致做題總是出錯(cuò)。我開始反思是不是一開始就理解錯(cuò)了某個(gè)概念，導(dǎo)致后面全盤皆輸，正如Abel評(píng)價(jià)發(fā)散級(jí)數(shù)那樣：“發(fā)散級(jí)數(shù)是魔鬼的發(fā)明，把不管什么樣的證明都建立在發(fā)散級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上是一種恥辱。利用發(fā)散級(jí)數(shù)人們想要什么結(jié)論就可以得到什么結(jié)論，這也是為什么發(fā)散級(jí)數(shù)已經(jīng)產(chǎn)生如此多的謬論和悖論的原因。”每每讀到這段話，我都感覺醍醐灌頂，于是仔細(xì)研讀知識(shí)點(diǎn)的每一處細(xì)節(jié)，力求找到困擾我的魔鬼所在。

逼近終點(diǎn)

極限理論應(yīng)該是數(shù)學(xué)分析最基本且最重要的思想之一了，不僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)里很多基礎(chǔ)理論都建立在極限思想之上，比如微積分學(xué)、泛函分析等，而且更多的是因?yàn)樗鳛槲覀儗W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)接觸到的第一個(gè)新的抽象概念，是對(duì)之前所學(xué)知識(shí)的一種銜接和完善，其思想更是貫穿數(shù)學(xué)分析始終。

記得我大一時(shí)修過一門選修課，叫《西方哲學(xué)的智慧》，給我留下深刻印象的就是第一堂課上老師給我們介紹的芝諾悖論。其大致內(nèi)容是記兩點(diǎn)間的距離為1，某人從其中一點(diǎn)出發(fā)，每次走一半路程，第一次走1/2，第二次走1/4，第三次走1/8……以此類推，會(huì)發(fā)現(xiàn)永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，這與總路程1矛盾。事實(shí)上，1/2+1/4+……+1/2n+……是無窮項(xiàng)求和，將其視作公比為1/2的n項(xiàng)等比數(shù)列求和，再對(duì)n取極限，就會(huì)得到總路程1。所以，極限的思想是重要且偉大的，它在一定程度上解決了人們的一些困惑。

在學(xué)習(xí)極限理論的時(shí)候，我就一直在想取極限的作用在哪里，后來慢慢體會(huì)到所謂極限就是一個(gè)逼近的過程，比如連續(xù)的結(jié)果不容易得到，就可以用離散取極限來逼近，只要達(dá)到特定的條件要求。這就好比我們的征程，可能路途遙遠(yuǎn)而步履維艱，但是只要一步一步向前邁進(jìn)，總能逼近那個(gè)向往的終點(diǎn)。

有人說數(shù)學(xué)有點(diǎn)像哲學(xué)，抽象而晦澀。我想可能是因?yàn)檫@兩門學(xué)科都是在探討不依賴于它們本身的統(tǒng)一的客觀世界，都具有邏輯的嚴(yán)密性、高度的抽象性以及應(yīng)用的廣泛性。在大學(xué)的這幾年里，數(shù)學(xué)分析為我打開了理解世界的新大門，我開始從不同角度看待問題、理解問題，并且在遇到困惑的時(shí)候，會(huì)嘗試采用數(shù)學(xué)理性而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，去幫助自己走出困境，成長為心智更健全的年輕人。這或許正是我們學(xué)習(xí)的意義所在。