碰撞——理論力學(xué)的盲區(qū)

余同希

(香港科技大學(xué)，中國(guó)香港)

1 碰撞研究簡(jiǎn)史

碰撞事件在自然界、人們的生活、運(yùn)動(dòng)和工程中經(jīng)常發(fā)生，例如隕石撞擊地球、物體跌落地面、車輛碰撞事故、球拍擊球、跑步時(shí)腳底撞擊地面，等等。對(duì)碰撞的科學(xué)研究可以追溯到笛卡爾，他在1644年出版的《哲學(xué)原理》中討論碰撞問題時(shí)引進(jìn)了動(dòng)量的概念，用以度量運(yùn)動(dòng)，但他對(duì)碰撞提出的7個(gè)論斷均不正確。

鑒于對(duì)碰撞問題眾說紛紜，1660年成立的英國(guó)皇家學(xué)會(huì)于1668年征集對(duì)碰撞問題的研究。于是當(dāng)時(shí)西歐的3位大科學(xué)家雷恩，沃利斯和惠更斯于1668—1669年先后提交了報(bào)告。雷恩和惠更斯均研究了完全彈性碰撞的情形，這時(shí)動(dòng)量和動(dòng)能均守恒；而沃利斯研究了完全非彈性碰撞的情形，這時(shí)動(dòng)量（當(dāng)時(shí)被萊布尼茲稱為“死力”）守恒，但能量（被萊布尼茲稱為“活力”）不守恒。

當(dāng)英國(guó)皇家學(xué)會(huì)1669年討論這些報(bào)告時(shí)，胡克（1635—1703）問道，在完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞這兩種情形之間怎么辦？是不是應(yīng)該考慮阻尼和變形？但他沒提出關(guān)于碰撞的報(bào)告（他在1678年提出了胡克定律，但這是后話）。為什么這次大討論中沒見到牛頓（1643—1727）的身影呢？因?yàn)楫?dāng)時(shí)他還太年輕，1665年他從就讀的劍橋大學(xué)回老家躲瘟疫，直到1669年拿到劍橋大學(xué)盧卡斯數(shù)學(xué)教授的位置。

眾所周知，1687年牛頓發(fā)表的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》奠定了牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)。他提出動(dòng)力學(xué)的三大定律是基于前人100年來的研究成果。牛頓第一定律是基于伽利略和笛卡爾對(duì)慣性運(yùn)動(dòng)的研究；牛頓第二定律發(fā)展了伽利略對(duì)落體運(yùn)動(dòng)的研究，給出了進(jìn)而經(jīng)過牛頓第三定律把物體的相互作用力同動(dòng)量的改變聯(lián)系起來了。所以，惠更斯和雷恩等人研究碰撞時(shí)得出的動(dòng)量守恒原理相當(dāng)于牛頓第三定律的積分形式。

沒有碰撞就沒有動(dòng)量交換，因而現(xiàn)在我們看到，在任何一本理論力學(xué)課本中為了闡述動(dòng)量守恒定律，就一定要講碰撞，通常只需要講對(duì)心正碰撞。但是，講碰撞就遇到一個(gè)繞不過的麻煩：即使是兩個(gè)沒有大小的物體（質(zhì)點(diǎn)）的對(duì)心碰撞，也有兩個(gè)未知數(shù)（即碰撞之后兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度），卻只有一個(gè)方程（動(dòng)量守恒）。

圖1是兩個(gè)物體對(duì)心正碰撞的最簡(jiǎn)單情況?，F(xiàn)在假定碰撞前物體B1和B2沿著同一條直線，分別以初始速度v10和v20運(yùn)動(dòng)。為使碰撞發(fā)生，假定v10＞v20。令F為碰撞過程中兩個(gè)物體間相互作用力的量值。進(jìn)一步假定兩個(gè)物體接觸面的取向，使得力F平行于它們運(yùn)動(dòng)的直線，并朝向它們的質(zhì)心。這些條件意味著碰撞后兩個(gè)物體將繼續(xù)沿著同一條直線運(yùn)動(dòng)。

圖1 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的對(duì)心正碰撞的過程

因?yàn)榕鲎渤掷m(xù)時(shí)間通常是非常短暫的，體積力(例如重力)或者其他作用在這兩個(gè)物體上的外力在這期間提供的沖量可以忽略不計(jì)。于是，由這兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)沿著它們運(yùn)動(dòng)直線的動(dòng)量應(yīng)當(dāng)守恒，即

這里v1f和v2f分別表示物體B1和B2碰撞后的速度。顯然，這兩個(gè)未知的速度無法由單一的動(dòng)量守恒方程求出。

對(duì)于這個(gè)數(shù)學(xué)方程欠缺的問題，牛頓是怎樣解決的呢？從圖1不難發(fā)現(xiàn)碰撞過程包含兩相：壓縮相（compression phase）和恢復(fù)相（restitution phase）。按照牛頓的思路，力是沖量的變化率，而在恢復(fù)相期間兩個(gè)物體間傳遞的沖量Pr通常要小于在壓縮相期間相互傳遞的沖量Pc。這兩個(gè)沖量之比稱為動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)（kinetic coefficient of restitution），它的意義可以用圖2表征，

圖2 壓縮相和恢復(fù)相中的力和沖量的變化

如果只關(guān)注運(yùn)動(dòng)學(xué)量的變化，可以把恢復(fù)系數(shù)e定義為（據(jù)說也是牛頓最先采用的）

這樣定義的e被稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)(kine-matic coefficient of restitution)。可以證明，對(duì)于對(duì)心正碰撞，排除兩物體構(gòu)形偏心或者在碰撞中發(fā)生滑動(dòng)的情形，式（3）和式（2）所定義的恢復(fù)系數(shù)是完全等價(jià)的，參見文獻(xiàn)[1]。

顯然，如果e已知，可以聯(lián)立式（1）和式（3），求出兩個(gè)物體碰撞后的最終速度v1f和v2f，問題就得到封閉解了。這也正是目前大多數(shù)理論力學(xué)課本教給學(xué)生解決碰撞問題的辦法。

2 恢復(fù)系數(shù)是材料常數(shù)嗎？

按照上面的解題思路，遺留的事情就是怎樣針對(duì)具體的問題確定恢復(fù)系數(shù)e；但無論哪種定義的恢復(fù)系數(shù)都需要從實(shí)驗(yàn)測(cè)定或借助其他力學(xué)/物理關(guān)系來確定。牛頓本人設(shè)計(jì)了如圖3所示的撞擊裝置，用一個(gè)3.048 m長(zhǎng)的大擺進(jìn)行不同材質(zhì)的小球碰撞，測(cè)量得到鋼球撞擊前后的速度比幾乎為1，軟木球略小于1，玻璃球?yàn)?5/16，而密實(shí)羊毛球只有5/9。參照這些數(shù)據(jù)，不少后繼者相信恢復(fù)系數(shù)是僅由材料決定的常數(shù)。在我國(guó)目前采用的理論力學(xué)教材中，有些列表就說明恢復(fù)系數(shù)直接同材料關(guān)聯(lián)，而且不少仍然采用300多年前牛頓的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，例如列明玻璃與玻璃之間撞擊時(shí)e= 15/16。

圖3 牛頓的撞擊擺

事實(shí)上，更多的實(shí)驗(yàn)表明，恢復(fù)系數(shù)并不是材料常數(shù)，它同撞擊雙方的形狀、尺寸有關(guān)，還同撞擊速度密切相關(guān)。用 “恢復(fù)系數(shù)是材料常數(shù)”來教學(xué)生是一種誤導(dǎo)。

如果從能量的角度來考察碰撞，可以證明碰撞的恢復(fù)相釋放的彈性能與壓縮相所貯存的變形能之比就等于恢復(fù)系數(shù)e的平方；而且這樣定義得到的能量恢復(fù)系數(shù)(energetic coefficient of restitution)在正常情況下也與式（2）和式（3）定義的恢復(fù)系數(shù)等價(jià)[1]。前面已經(jīng)提到，只有在完全彈性碰撞時(shí)才有e=1 ；除此之外，碰撞都會(huì)帶來動(dòng)能的損失。這一點(diǎn)在后面將要進(jìn)一步分析。

3 完全彈性碰撞情形下的撞擊脈沖與峰值力

為了避免繁復(fù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，下面集中考察一個(gè)簡(jiǎn)單的特殊情形：一個(gè)質(zhì)量為m，以初速度V0作平動(dòng)的均勻小球?qū)σ粋€(gè)靜止的、質(zhì)量無窮大的半空間發(fā)生正撞擊，也就是假定撞擊發(fā)生時(shí)球體的初速度沿著半空間的法向。由于半空間的質(zhì)量足夠大，撞擊后它不會(huì)發(fā)生整體剛體運(yùn)動(dòng)，按照運(yùn)動(dòng)學(xué)和能量定義的恢復(fù)系數(shù)就簡(jiǎn)化為

其中Vf和Kf分別是小球回彈后的速度和動(dòng)能。對(duì)撞擊過程應(yīng)用動(dòng)量–沖量定理，得到的是

其中t是時(shí)間，T是撞擊的持續(xù)時(shí)間，F(xiàn)（t）是撞擊力脈沖，即撞擊力隨時(shí)間變化的函數(shù)。對(duì)一個(gè)碰撞問題如果只知道m(xù)和V0，從單一的方程（5）試圖求出F（t），T和e這么多未知量顯然是不可完成的任務(wù)。

如果采用恢復(fù)系數(shù)的動(dòng)力學(xué)定義，式（2）雖然將恢復(fù)系數(shù)e同撞擊力F（t）聯(lián)系起來了，但是壓縮相到恢復(fù)相的轉(zhuǎn)換時(shí)刻tc以及兩個(gè)物體的分離時(shí)刻tf都無法在理論力學(xué)的框架內(nèi)確定，更不用說求出撞擊力F（t）隨時(shí)間的變化規(guī)律和峰值力了。對(duì)此，本文作者2018年在《燒腦之問：撞擊力有多大？》一文[2]中已有闡述。

從以上討論中得知，即使假定碰撞是完全彈性的（e= 1），理論力學(xué)也并不能得出包含撞擊力變化的完全解。因此，求解碰撞問題的出路只能是求助于固體力學(xué)，即變形體力學(xué)。首先可以嘗試的是應(yīng)用彈性體動(dòng)力學(xué)和彈性接觸理論這些成熟的理論工具，看看能不能得出有意義的結(jié)果。

作為最簡(jiǎn)單的情形，考慮一個(gè)質(zhì)量為m的剛性塊以初速度V撞擊一個(gè)Winkler地基，地基的彈性響應(yīng)用一個(gè)彈性系數(shù)為k的線性彈簧來模擬（圖4）。這時(shí)運(yùn)動(dòng)方程為其解為因而撞擊力是一個(gè)半正弦脈沖

圖4 剛性塊對(duì)彈性地基的撞擊

為了考察撞擊雙方的局部彈性變形對(duì)碰撞的影響，首先將兩個(gè)彈性球體接觸的Hertz理論用到彈性小球同彈性半空間相接觸的情形。假定二者楊氏模量相同，且泊松比為0.3，就可以得出接觸圓半徑a，最大應(yīng)力σ0和中心壓入深度δ隨壓力F變化的關(guān)系為[3-4]

其中E和R分別是小球的楊氏模量和半徑。式（7）中最值得注意的是力與位移的非線性關(guān)系

將上述接觸理論用于撞擊時(shí)，需要假定撞擊引起的變形是十分局部的，因此可以忽略局部動(dòng)態(tài)變形的慣性力，從而認(rèn)為式（8）給出的F就代表了撞擊力。于是，對(duì)滿足Hertz接觸的撞擊，運(yùn)動(dòng)方程可以寫成，相應(yīng)得到的最大壓入深度（位移） (δ*) 、撞擊力峰值(F*)和撞擊的持續(xù)時(shí)間 (T) 分別是

可見，撞擊速度越大時(shí)，撞擊力的峰值越大（同V6/5成正比），而撞擊的持續(xù)時(shí)間則略微減小。撞擊力和壓入深度隨時(shí)間的變化曲線（見文獻(xiàn)[2]中的圖4）都顯示了恢復(fù)相與壓縮相的對(duì)稱性，這正是完全彈性碰撞的特點(diǎn)。

4 恢復(fù)系數(shù)小于1的彈性碰撞

在碰撞過程中，盡管系統(tǒng)的各種能量加在一起的總能量應(yīng)該守恒，但度量系統(tǒng)作剛體平動(dòng)的整體動(dòng)能卻未必守恒。那么，能量跑到哪里去了呢？定性地說，能量的去向可能有：（1）彈性應(yīng)力波；（2）彈性振動(dòng)；（3） 塑性變形；（4） 斷裂；（5）黏性變形。后三者都可以導(dǎo)致機(jī)械能的耗散。

對(duì)于大多數(shù)碰撞，（4）和（5）是可以忽略的；如果假定兩個(gè)物體都十分接近剛體，屈服應(yīng)力很高，（3）也可以放到以后去討論，那么（1）和（2）是否重要呢？研究發(fā)現(xiàn)，即使兩個(gè)物體只發(fā)生很小的彈性變形，應(yīng)力波和振動(dòng)也會(huì)分走原本由剛體平動(dòng)攜帶的“整體”動(dòng)能。因此，即使碰撞雙方的物體（或結(jié)構(gòu)）都是完全彈性的，恢復(fù)系數(shù)通常也會(huì)小于1?？梢哉f，恢復(fù)系數(shù)表征了原先的系統(tǒng)剛體平動(dòng)攜帶的整體動(dòng)能因碰撞產(chǎn)生的能量重分配。這才是恢復(fù)系數(shù)的力學(xué)和物理本源。

對(duì)于應(yīng)力波帶走的能量，早在1956年，Hunter[5]就給出了一個(gè)經(jīng)典分析，指出小球撞擊彈性半空間后，所激發(fā)的彈性波雖然一去不復(fù)返，但帶走的能量大約只是撞擊能量的3%，通?？梢院雎圆挥?jì)。

系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能向振動(dòng)動(dòng)能的轉(zhuǎn)化又取決于哪些因素呢？文獻(xiàn)[6]采用一個(gè)雙質(zhì)量、雙彈簧的簡(jiǎn)單模型作出了演示。如圖5(a)所示，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1和m2以彈簧系數(shù)為k1的彈簧相連接，它們以共同的初速度V0撞到一個(gè)半空間上，撞擊區(qū)的局部剛度可以用接觸彈簧k2來代表。

文獻(xiàn)[6]的分析計(jì)算結(jié)果表明，恢復(fù)系數(shù)COR（coefficient of restitution，也就是e）與初速度V0無關(guān)，但它依賴于本模型的兩個(gè)無量綱參數(shù)：質(zhì)量比和彈簧系數(shù)比如圖5(b)所示。β=0 代表半空間表面非常剛硬的情形。這時(shí)如果α≈0.7 ，恢復(fù)系數(shù)展現(xiàn)它的最小值emin≈ 0.18。注意到能量“損失”與恢復(fù)系數(shù)呈平方關(guān)系，此時(shí)僅有大約3%的初始動(dòng)能保留為系統(tǒng)的整體動(dòng)能（以系統(tǒng)質(zhì)心的平動(dòng)速度表征），而大約97%的初始動(dòng)能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于系統(tǒng)的質(zhì)心的振動(dòng)所攜帶的能量。盡管這個(gè)系統(tǒng)完全是彈性的，仍然會(huì)出現(xiàn)超乎預(yù)料的非常小的恢復(fù)系數(shù)(0.18)，這個(gè)結(jié)果有力地說明了碰撞激發(fā)起了系統(tǒng)的彈性振動(dòng)，它攜帶的動(dòng)能極可能是產(chǎn)生e＜ 1的重要根源。

圖5

類似地，對(duì)于彈性系統(tǒng)的碰撞，Wang等[7]采用彈性振動(dòng)的模態(tài)疊加法研究了彈性梁對(duì)彈性支座的撞擊，也發(fā)現(xiàn)了恢復(fù)系數(shù)可能小于1，其數(shù)值同梁與支座間的柔度比相關(guān)。在這些例子中，e＜ 1的根源是碰撞之后梁的彈性振動(dòng)分擔(dān)了動(dòng)能，使得梁回彈后的整體平動(dòng)動(dòng)能減少。

5 彈塑性碰撞

前面介紹了應(yīng)用Hertz理論求解彈性小球撞擊彈性半空間的問題，得到完全彈性的e= 1，結(jié)果看來完美無瑕?？上У氖牵M(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)對(duì)于實(shí)際的金屬材料，這個(gè)完全彈性碰撞解的適用范圍極其有限。例如，文獻(xiàn)[1]表6.1列出了產(chǎn)生材料屈服的最小撞擊速度，對(duì)于軟鋼，其最小撞擊速度約為0.1 m/s甚至更低；這就是說，只要?jiǎng)傂孕∏驈? mm的高度墜落到大塊軟鋼的表面，在表面下方某處可能就已經(jīng)達(dá)到塑性屈服應(yīng)力了。當(dāng)然，由于這時(shí)的屈服區(qū)域很小并受到周圍彈性變形區(qū)的約束，并不能導(dǎo)致塑性流動(dòng)，但是從理論上講，前述完全彈性解也需要修正了。多年來已經(jīng)有很多文章研究球與半空間之間的彈塑性接觸和彈塑性撞擊，采用的理論模型各不相同，數(shù)學(xué)推演都相當(dāng)復(fù)雜。限于篇幅，本文就不作評(píng)述了。

當(dāng)一個(gè)彈塑性結(jié)構(gòu)物撞擊到一個(gè)固壁上時(shí)，它的大變形和回彈過程既與彈性振動(dòng)耦合，又可能涉及塑性區(qū)的萌生和演化，因而呈現(xiàn)出豐富的力學(xué)行為。例如，假定一個(gè)薄圓環(huán)撞擊固壁，且圓環(huán)面和撞擊速度都垂直于固壁，這時(shí)數(shù)值模擬[8]和實(shí)驗(yàn)研究[9]發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)的變形輪廓(deformation profile)和恢復(fù)系數(shù)均主要由撞擊速度決定，圓環(huán)壁厚與半徑之比只是次要因素。

圖6顯示了薄圓環(huán)對(duì)固壁撞擊后的恢復(fù)系數(shù)隨撞擊速度的變化，這里采用了屈服速度VY來對(duì)撞擊速度V0進(jìn)行無量綱化。屈服速度代表使彈塑性材料表面發(fā)生屈服的最小撞擊速度，其中Y,E和 ρ分別是材料的屈服應(yīng)力、楊氏模量和體積密度（參見文獻(xiàn)[10]）。

觀察圖6，有兩點(diǎn)特別值得注意：（1）即使撞擊速度非常低，恢復(fù)系數(shù)也并不接近1，而是e=0.78～0.80 ，這表明撞擊仍然不是完全彈性的；（2）恢復(fù)系數(shù)隨撞擊速度的增大持續(xù)下降，而在V/VY≈ 1附近出現(xiàn)一個(gè)斜率突變的拐點(diǎn)。

圖6 薄圓環(huán)對(duì)固壁撞擊后的恢復(fù)系數(shù)隨撞擊速度的變化 [8-9]

對(duì)于第（1）點(diǎn)，吳志鵬等[11]和Wang等[12]用不同方法作了分析研究，都證明了，對(duì)固壁作速度很低的撞擊仍然可以激發(fā)圓環(huán)產(chǎn)生顯著的彈性振動(dòng)，而且基本振動(dòng)模態(tài)可以分享36%～40%的系統(tǒng)總動(dòng)能，從而導(dǎo)致e= 0.78～0.80。這是圓環(huán)對(duì)固壁撞擊必然呈現(xiàn)非完全彈性的內(nèi)因，也是它與薄壁圓球?qū)瘫谧矒簦ㄋ俣群艿蜁r(shí)恢復(fù)系數(shù)為1，見文獻(xiàn)[13]）截然不同的地方。

上面觀察到的第（2）點(diǎn)，反映出撞擊速度達(dá)到屈服速度左右時(shí)，圓環(huán)塑性動(dòng)態(tài)大變形的模態(tài)會(huì)發(fā)生急劇變化，因而塑性耗散能量的變化率也隨之改變?？傊?，圓環(huán)對(duì)固壁的撞擊為理解撞擊引起的能量重分配提供了豐富的信息，值得深入探討。

6 結(jié)語

對(duì)于碰撞這樣一個(gè)廣泛存在的力學(xué)現(xiàn)象，理論力學(xué)的動(dòng)力學(xué)部分提供給我們的理論工具僅僅是動(dòng)量守恒和動(dòng)量–沖量定理，它對(duì)撞擊力、撞擊脈沖和能量損失這些重要的力學(xué)量均不能給出任何信息。這是由于理論力學(xué)固守質(zhì)點(diǎn)和剛體的假定、過于理想化的結(jié)果。假設(shè)恢復(fù)系數(shù)是一個(gè)材料常數(shù)更是一種誤導(dǎo)。因此，碰撞是理論力學(xué)一個(gè)很大的盲區(qū)。

必須看到，力學(xué)專業(yè)的學(xué)生，以至整個(gè)工科專業(yè)的學(xué)生和研究生在他們的學(xué)習(xí)生涯中認(rèn)識(shí)撞擊的唯一機(jī)會(huì)是理論力學(xué)。課程設(shè)計(jì)上的這一局限使很多學(xué)生不知道怎樣運(yùn)用力學(xué)去正確地分析和解決撞擊的問題。在實(shí)際工作中遇到撞擊工況時(shí)，絕大部分研究和設(shè)計(jì)人員不知道怎樣確定恢復(fù)系數(shù)，只能完全依賴于有限元數(shù)值模擬，但不明白應(yīng)該怎樣去劃分單元，怎樣去設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)和接觸條件等等，也缺乏必要的知識(shí)去判斷數(shù)值模擬的結(jié)果（例如撞擊力的大小，是否有回彈等）是否合理。

在沖擊和碰撞這個(gè)專題上我們對(duì)學(xué)生的力學(xué)培養(yǎng)是嚴(yán)重缺位的。在力學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)改革中如何彌補(bǔ)這一塊知識(shí)、樹立正確的概念，是一個(gè)值得認(rèn)真研討的問題。

此外，需要說明，由于碰撞過程的復(fù)雜性，本文中的分析僅限于物體之間的正碰撞，未涉及物體的斜碰撞。斜碰撞也是生活和工程中經(jīng)常發(fā)生的現(xiàn)象，例如前面提到的球拍擊球、跑步時(shí)腳底撞擊地面都是斜碰撞。存在摩擦的斜碰撞是機(jī)理尚未完全明了的更復(fù)雜的力學(xué)問題。如果能在已有研究基礎(chǔ)上作進(jìn)一步探索，則將對(duì)碰撞的力學(xué)原理有更全面、更透徹的理解。