“特斯拉剎車失靈”事件的車輛運(yùn)動(dòng)模型與分析1)

王宇帆 陳盟靖 周呂文

(寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院智能材料與先進(jìn)結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室，浙江寧波 315211)

之前，“特斯拉剎車失靈”事件引發(fā)社會(huì)熱議。根據(jù)車主介紹，事發(fā)前她與家人駕駛特斯拉Model 3出門，駕駛者遠(yuǎn)觀到紅綠燈后，很自然地把腳從電門上抬了起來(lái)，但是汽車并沒(méi)有降速，反而以很快的速度追尾了前方多個(gè)車輛，最后撞在路邊的水泥防護(hù)欄才強(qiáng)行停止。

事后，特斯拉公開(kāi)了該起交通事故發(fā)生前一分鐘的行車數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)包括車速、方向盤轉(zhuǎn)向角、制動(dòng)主缸壓力等信息。同時(shí)，特斯拉還為該數(shù)據(jù)作出了一份文字說(shuō)明：在駕駛員最后一次踩下制動(dòng)踏板時(shí)，數(shù)據(jù)顯示，車輛時(shí)速為118.5 km/h。在駕駛員踩下制動(dòng)踏板后的2.7 s內(nèi)，最大制動(dòng)主缸壓力僅為4.59 MPa，之后駕駛員加大踩下制動(dòng)踏板的幅度，制動(dòng)主缸壓力達(dá)到了9.27 MPa，緊接著前撞預(yù)警及自動(dòng)緊急制動(dòng)功能啟動(dòng)（最大制動(dòng)主缸壓力達(dá)到了14.07 MPa）并發(fā)揮了作用，減輕了碰撞的幅度，制動(dòng)防抱死系統(tǒng)（anti-lock braking system，ABS，是一種具有防滑、防鎖死等優(yōu)點(diǎn)的汽車安全控制系統(tǒng)）作用之后的1.8 s，系統(tǒng)記錄了碰撞的發(fā)生。駕駛員踩下制動(dòng)踏板后，車速持續(xù)降低，發(fā)生碰撞前，車速降至48.5 km/h。根據(jù)數(shù)據(jù)和特斯拉提供的說(shuō)明，可以將制動(dòng)過(guò)程分為開(kāi)始制動(dòng)、ABS工作和自動(dòng)緊急制動(dòng)（autonomous emergency braking，AEB）三個(gè)階段，具體如圖1所示。

圖1 制動(dòng)過(guò)程的分階段圖Fig.1 Phased diagram of the braking process

此外，特斯拉表示事故發(fā)生前30 min內(nèi)，剎車記錄超過(guò)40 次，同時(shí)車速有多次超過(guò)100 km/h的記錄和多次剎停的情況發(fā)生。張女士認(rèn)為這些數(shù)據(jù)并不是她所要求的車輛原始數(shù)據(jù)，并且否認(rèn)了事故當(dāng)天存在超速駕駛的行為。

很多網(wǎng)友認(rèn)為特斯拉有修改數(shù)據(jù)的嫌疑。事故發(fā)生于兩個(gè)相距500 m的紅綠燈之間，紅綠燈監(jiān)控?cái)z像頭沒(méi)有啟用。事發(fā)時(shí)天色較暗，國(guó)道兩側(cè)沒(méi)有路燈，也沒(méi)有監(jiān)控?cái)z像頭。所以特斯拉單方面提供的數(shù)據(jù)并沒(méi)有得到印證。如果假定特斯拉提供的數(shù)據(jù)是可信的，那么能否根據(jù)該數(shù)據(jù)還原出事故發(fā)生前的行車狀態(tài)和軌跡呢？本文將建立車輛運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)車輛前輪轉(zhuǎn)向和車速，確定出車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡。在此基礎(chǔ)上對(duì)事故的原因進(jìn)行分析。

1 原理和模型

1.1 車輛轉(zhuǎn)向原理

為了能夠根據(jù)車速和方向盤轉(zhuǎn)向角隨時(shí)間的變化還原出事故中車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要研究車輛運(yùn)動(dòng)與車速和前輪轉(zhuǎn)向角之間的關(guān)系。現(xiàn)代汽車使用了一種叫阿克曼轉(zhuǎn)向的技術(shù)（圖2）[1-2]。在該技術(shù)出現(xiàn)前，車輛（如馬車）轉(zhuǎn)向主要使用單鉸鏈轉(zhuǎn)向技術(shù)，單鉸鏈轉(zhuǎn)向也能使內(nèi)外轉(zhuǎn)向路徑指向同一個(gè)圓心，但存在很多缺點(diǎn)。阿克曼轉(zhuǎn)向技術(shù)能有效避免單鉸鏈轉(zhuǎn)向的缺點(diǎn)。車輛轉(zhuǎn)向時(shí)讓內(nèi)側(cè)輪胎轉(zhuǎn)彎半徑小于外側(cè)輪胎。使四個(gè)車輪路徑的圓心大致上交會(huì)于后軸延長(zhǎng)線上的瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)順暢地轉(zhuǎn)向。

圖2 車輛運(yùn)動(dòng)模型示意圖Fig.2 Schematic of vehicle motion model

為了說(shuō)明圖2 所示的阿克曼轉(zhuǎn)向幾何原理并得到阿克曼轉(zhuǎn)向公式，令軸距（前軸中點(diǎn)到后軸中點(diǎn)的距離）為L(zhǎng)，軸長(zhǎng)為W，內(nèi)外側(cè)前輪轉(zhuǎn)向角分別為φi和φo，車輛中心線到瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心的距離為R。則有

其中φ為假想位于前軸中點(diǎn)的車輪應(yīng)有的轉(zhuǎn)向角，將式（1）中的 t a nφi和 t a nφo取倒數(shù)并作差，便可得到阿克曼轉(zhuǎn)向公式

1.2 車輛運(yùn)動(dòng)模型

如圖2所示，車輛的狀態(tài)可以由(x,y,θ,φ)來(lái)描述。其中(x, y)表示車輛后軸中點(diǎn)位置，θ表示車身朝向，φ表示前輪轉(zhuǎn)向角。要根據(jù)前輪轉(zhuǎn)向φ和車速（后軸中點(diǎn)的速度）v獲取車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，實(shí)際上就是確定一組微分方程

在圖2 所示的瞬間，后軸中點(diǎn)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)方向是垂直于到瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心方向的，因此

接下來(lái)確定車輛朝向的轉(zhuǎn)動(dòng)速度 dθ/dt，用s表示車輛行駛的距離（速度對(duì)時(shí)間的積分），則有 ds=Rdθ。根據(jù)阿克曼轉(zhuǎn)向幾何原理可知R=L/tanφ，因此有

由此，本文得到了描述車輛運(yùn)動(dòng)的三個(gè)微分方程

其中v為車速，L為軸距，φ為前輪轉(zhuǎn)向角。

2 驗(yàn)證和模擬

上文建立的車輛運(yùn)動(dòng)方程表明，只要給出車輛控制參數(shù)（前輪轉(zhuǎn)向角和車速）關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，就能通過(guò)數(shù)值積分還原出車輛的行駛狀態(tài)和軌跡。隨時(shí)間變化的控制參數(shù)是由駕駛員控制的：前輪轉(zhuǎn)向角由方向盤控制，車速由油門和剎車控制。在還原特斯拉事故的行車軌跡之前，本文先將模型應(yīng)用到泊車情況，并以此對(duì)模型進(jìn)行測(cè)試。

2.1 泊車驗(yàn)證

圖3是人為設(shè)置的一個(gè)泊車場(chǎng)景，駕駛員需要通過(guò)控制車輛前輪轉(zhuǎn)向角和車速，將車從左下角位置移動(dòng)到右邊的停車位中，并且使車頭朝外。

圖3 泊車測(cè)試車輛軌跡圖Fig.3 Vehicle trajectory of parking simulation test

使用如圖4的控制參數(shù)（前輪轉(zhuǎn)向角和車速），代入運(yùn)動(dòng)方程就可以以圖3中的軌跡完成泊車。通過(guò)圖3中車輛中心（紅）和后軸中點(diǎn)（藍(lán)）的軌跡，可以發(fā)現(xiàn)：車輪在轉(zhuǎn)彎時(shí)，兩點(diǎn)的軌跡并不重合，紅點(diǎn)軌跡的曲率半徑總是略大于藍(lán)點(diǎn)。這與阿克曼轉(zhuǎn)向幾何原理是一致的，同時(shí)也驗(yàn)證了模型的可靠性。

圖4 泊車測(cè)試對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)Fig.4 Control parameters of parking simulation test

2.2 特斯拉行車軌跡模擬與事故還原

要應(yīng)用上述車輛運(yùn)動(dòng)方程來(lái)還原事故發(fā)生時(shí)的車輛行駛狀態(tài)和軌跡，首先需要知道車輛和道路的信息。涉事車輛為特斯拉Model 3，其尺寸參數(shù)為[3]：軸距L=2.87 m，車長(zhǎng)4.7 m，車寬W=1.85m。方向盤與前輪轉(zhuǎn)向角的傳動(dòng)比為10:1，即方向盤每轉(zhuǎn)動(dòng)10°，前輪轉(zhuǎn)動(dòng) 1°[4]。圖5是事發(fā)路段和位置，事故發(fā)生在膠海線與鐵東路交叉的紅綠燈路口前，事發(fā)路段幾乎是一條筆直的公路，公路寬約10 m，該路段與東西方向的夾角約為5.4°。因此車輛的初始朝向可假設(shè)為θ0= 5.4° 。

圖5 特斯拉事故事發(fā)路段和位置Fig.5 Location and road section of the Tesla accident

此外，還需要知道事發(fā)時(shí)間段內(nèi)的控制參數(shù)信息（車速和方向盤轉(zhuǎn)向角）。由于特斯拉給出的數(shù)據(jù)采集頻率較低，本文對(duì)碰撞前6.3 s內(nèi)的方向盤轉(zhuǎn)向角和車速數(shù)據(jù)進(jìn)行了添加和插值（其中方向盤轉(zhuǎn)向角的人為添加數(shù)據(jù)點(diǎn)由原始數(shù)據(jù)的延伸線相交得到），從而得到了方向盤轉(zhuǎn)向角fφ(t)和車速fv(t) ，結(jié)果如圖6所示。

圖6 對(duì)特斯拉公布的數(shù)據(jù)插值結(jié)果Fig.6 Interpolation results of data provided by Tesla

圖7是通過(guò)模型還原出來(lái)的事發(fā)前的行車狀態(tài)和軌跡。簡(jiǎn)單分析可以看出：事發(fā)前，車輛沿右側(cè)車道行駛，當(dāng)司機(jī)看到遠(yuǎn)處紅綠燈后，開(kāi)始剎車減速。但由于制動(dòng)效果未能達(dá)到司機(jī)的期望，隨后司機(jī)為避讓前方障礙而猛打方向盤撞在了路邊的水泥防護(hù)欄上。

圖7 由特斯拉公布數(shù)據(jù)還原的車輛軌跡Fig.7 Vehicle trajectory restored by data provided by Tesla

3 事故分析

根據(jù)特斯拉提供的數(shù)據(jù)還原出的車輛行駛狀態(tài)和軌跡，與車主張女士對(duì)事故的定性描述并不矛盾，因此本文認(rèn)為特斯拉提供的數(shù)據(jù)基本可信。車主張女士和廣大網(wǎng)友對(duì)特斯拉的質(zhì)疑主要有：對(duì)特斯拉車速數(shù)據(jù)的質(zhì)疑、對(duì)是否可能超速行駛的質(zhì)疑、對(duì)制動(dòng)系統(tǒng)能力的質(zhì)疑。下面分析一下這三點(diǎn)（注意：以下分析主要參考和引述了文獻(xiàn)[5]中的分析）。

3.1 車速數(shù)據(jù)的真實(shí)性

作為現(xiàn)代智能汽車，特斯拉的每個(gè)車輪都配有獨(dú)立的輪速傳感器，輪速傳感器技術(shù)已相當(dāng)成熟，失效率很低。為防止整車控制器因輪速傳感器失效而獲取到錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)，四個(gè)輪速傳感器采集的車速會(huì)進(jìn)行交叉核驗(yàn)，以確保數(shù)據(jù)的真實(shí)性。四個(gè)輪速傳感器同時(shí)失效的可能性幾乎為零。因此，除非特斯拉惡意地篡改數(shù)據(jù)，否則數(shù)據(jù)的真實(shí)性不太可能有問(wèn)題。但是這也不代表特斯拉提供的數(shù)據(jù)完全沒(méi)有問(wèn)題，從公布的數(shù)據(jù)看，數(shù)據(jù)的采樣頻率確實(shí)較低，這也是本文不得不對(duì)方向盤轉(zhuǎn)向角和速度做插值的原因。

3.2 是否可能超速行駛

在事故當(dāng)天是否超速這一問(wèn)題上，車主表示：路段兩個(gè)紅綠燈僅僅相隔500 m，不會(huì)開(kāi)到118 km/h。那么在不到500 m的距離里，車輛能否從0加速到118 km/h 呢？針對(duì)車主的這一質(zhì)疑，我們計(jì)算特斯拉從v0=0 km/h加速到vt=118km/h需要的距離。特斯拉百公里加速時(shí)間約為3.5 s，假設(shè)加速過(guò)程中加速度恒定為a=100/3.5=102.860km/h2，則有

因此，以最大加速度加速的話，可以在70 m內(nèi)加速至118 km/h。此外，根據(jù)式（7）也可以看出，即使以最大加速度的一半加速，也可以在135 m的距離內(nèi)加速至118 km/h。

3.3 制動(dòng)系統(tǒng)是否正常

有網(wǎng)友質(zhì)疑：按特斯拉提供的數(shù)據(jù)，22.36 s為最高時(shí)速118.5 km/h，此時(shí)應(yīng)該松開(kāi)了電門，車輛在動(dòng)能回收作用下減速，隨后踩剎車，在23.38 s時(shí)速降至116 km/h。在動(dòng)能回收和剎車的共同作用下，車輛一秒多鐘只降速2.5 km/h。這種降速，剎車是否起到了作用。

為解決此疑問(wèn)，本文需要分析車輛1秒降速2.5 km/h 的合理性。一輛轎車以120 km/h 勻速行駛所需的功率一般在15～20 kW之間，考慮到特斯拉Model 3滾阻和風(fēng)阻較低，取功率P=15kW來(lái)計(jì)算，即車輛需要15 kW的輸入功率才能克服阻力以維持車速。也就是說(shuō)，在相同的速度下，阻力的功率也是15 kW。特斯拉空車重為1 614 kg，考慮到車上坐了一家人，本文以M= 2 000 kg作為車重。如果動(dòng)能回收和機(jī)械制動(dòng)完全不起作用，單純松開(kāi)踏板，假設(shè)在時(shí)間dt內(nèi)，車輛前進(jìn)了 ds，則阻力的功率可表示為[6]

其中F為阻力，a為減速度。因此，減速度可表示為

代入數(shù)據(jù)可得a= 0.23m/s2，這樣的減速度可以讓車輛在1 s 減速0.81 km/h。而實(shí)際情況是1 s減速2.5 km/h，說(shuō)明動(dòng)能回收或機(jī)械制動(dòng)是起作用的。

既然回收或機(jī)械制動(dòng)是起作用的，那最大制動(dòng)作用是否足夠？根據(jù)汽車之家[7]的測(cè)試顯示，性能正常的特斯拉Model 3的百公里剎車距離約為38 m，因此完美的情況下減速度約為

其中，g=9.8m/s2，表示重力加速度。注意：百公里剎車距離的測(cè)試是一開(kāi)始就將剎車踩到底。那本次事故中的實(shí)際減速效果如何？可以通過(guò)26.43 s到27.45 s之間的車速計(jì)算出車輛的平均減速度

考慮到路面狀況、溫度、胎壓等實(shí)際因素，實(shí)際減速表現(xiàn)與汽車之家的測(cè)試距離有一定的差距，但是這屬于正常偏差。

4 結(jié)論

本文在阿克曼轉(zhuǎn)向技術(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了技術(shù)分析、模型構(gòu)建、泊車驗(yàn)證、真實(shí)事件模擬與分析。根據(jù)特斯拉提供的數(shù)據(jù)，本文還原了事發(fā)時(shí)車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)軌跡。模擬結(jié)果顯示：事發(fā)前，涉事車輛沿右側(cè)車道行駛，當(dāng)司機(jī)看到遠(yuǎn)處紅綠燈后，開(kāi)始剎車減速。但由于制動(dòng)效果未能達(dá)到司機(jī)的期望，隨后司機(jī)為避讓前方障礙而猛打方向盤撞在了路邊的水泥防護(hù)欄上。模型結(jié)果與車主對(duì)事故的定性描述基本一致，特斯拉提供的數(shù)據(jù)與車主對(duì)事故的定性描述并不矛盾，因此可見(jiàn)數(shù)據(jù)沒(méi)有明顯虛假的地方。

在此基礎(chǔ)上，本文針對(duì)車主和網(wǎng)友的三方面質(zhì)疑（車速數(shù)據(jù)是否真實(shí)、是否可能超速行駛、以及制動(dòng)系統(tǒng)是否正常）進(jìn)行了討論。結(jié)果表明特斯拉車速數(shù)據(jù)基本是可信的，超速行駛的可能是存在的，特斯拉提供的數(shù)據(jù)表明制動(dòng)系統(tǒng)是正常工作的。因此，如果特斯拉沒(méi)有惡意篡改數(shù)據(jù)，那事故的主要原因可能是車輛超速行駛。

隨著中國(guó)汽車保有量的增加，交通事故發(fā)生的次數(shù)也隨之上升。而在交通事故的處理中，分析車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡可以提供很大的幫助。但是由于現(xiàn)實(shí)環(huán)境的種種限制，很難單純地依靠監(jiān)控等圖像設(shè)備所提供的影像判斷，需要借助于車輛上的各種傳感器記錄的各種數(shù)據(jù)來(lái)輔助分析。車輛運(yùn)動(dòng)方程可以應(yīng)用車輛傳感器收集的信息，對(duì)交通事故的真實(shí)情況進(jìn)行模擬，對(duì)事故發(fā)生場(chǎng)地影像缺失的事故分析起到一定的幫助作用。