柔性機械臂振動與能量最小的多目標(biāo)軌跡優(yōu)化

劉 勇，王 騰，杜 喆

（1.合肥工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué)宣城校區(qū)，安徽 宣城 242000）

1 引言

與傳統(tǒng)的剛性機械臂相比，柔性機械臂重量輕、載荷大、可操作性強。但由于柔性連桿的剛度低，柔性機械臂在運動過程中的振動會導(dǎo)致機械臂末端定位精度下降，不僅對機械臂操作精度產(chǎn)生負面影響，還會導(dǎo)致運行不穩(wěn)定甚至機械臂損壞。因此，需要對柔性機械臂進行振動抑制。

為抑制柔性臂的殘余振動，文獻［1］提出了采用粒子群算法優(yōu)化插值點位置增量和3次樣條插值擬合優(yōu)化后的軌跡函數(shù)以消除殘余振動的方法。文獻［2］設(shè)計了邊界控制策略以驅(qū)動機械臂遵循給點軌跡并同時消除振動。文獻［3］以驅(qū)動力矩為輸入，末端變形和轉(zhuǎn)角為輸出建立了柔性機械臂的控制模型，并采用線性二次型（LQR）算法進行振動抑制。文獻［4］提出了一種徑向基（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得存在輸入死區(qū)的柔性機械臂的振動得到抑制。然而，以上研究對象均是單連桿柔性臂。針對二自由度平面柔性機械臂，文獻［5］利用模糊邏輯控制器和神經(jīng)控制器來產(chǎn)生控制動作，主動抑制振動。文獻［6］通過機械臂關(guān)節(jié)角度的測量來進行軌跡跟蹤，然后利用自適應(yīng)控制神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使得反饋參數(shù)線性化以消除不確定性振動。文獻［7］設(shè)計了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以應(yīng)用于力矩控制，通過軌跡跟蹤實現(xiàn)振動的抑制。對于給定的操作任務(wù)，當(dāng)柔性機械臂運行軌跡不同時，其振動狀態(tài)和能量消耗相差較大。

然而上述文獻只是著眼于振動抑制，優(yōu)化指標(biāo)中只考慮到了柔性振動能量，而并未研究關(guān)節(jié)軌跡對機械臂振動狀態(tài)的影響。文獻［8］利用遺傳算法求解了柔性機械臂振動能量最優(yōu)軌跡，但是在處理運動過程中的彈性振動能量和殘余振動能量時，采用的是加權(quán)方法，實質(zhì)上考慮的仍是殘余振動優(yōu)化。為此，對柔性機械臂多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題進行研究，采用多目標(biāo)粒子群（MOPSO）算法進行多目標(biāo)優(yōu)化，同時利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對柔性機械臂逆動力學(xué)方程進行擬合［9］，以得到連續(xù)平滑的關(guān)節(jié)力矩，便于進一步施加機械臂振動抑制控制策略，提高柔性機械臂操作的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

2 柔性機械臂動力學(xué)建模

二自由度柔性機械臂，如圖1所示。兩根柔性臂桿均為歐拉梁，并忽略重力影響。由于關(guān)節(jié)質(zhì)量較大，因此第一根柔性臂桿采用了簡支梁模型，而第二根桿則采用懸臂梁模型。

采用拉格朗日動力學(xué)方程與假設(shè)模態(tài)法對柔性機械臂進行動力學(xué)建模，利用經(jīng)典的瑞利-里茨法描述物體上各點的變形向量，自由振動的表達式為：

分別取簡支梁和懸臂梁的前兩階模態(tài)，則前兩根臂桿的橫向位移可以表示為：

式中：a，b—只與時間有關(guān)的變量。

式中：q=[θ1，a1，a2，θ2，b1，b2]T—廣義坐標(biāo)。

U代表系統(tǒng)彈性勢能，對于二自由度柔性機械臂有：

將式（2）代入式（4），則有：

K∈?6×6，式中非零項為：

式中：M—質(zhì)量矩陣，其具體元素，如式（3）所示；

C—耦合矩陣，可根據(jù)動力學(xué)方程求得。

3 柔性機械臂多目標(biāo)軌跡優(yōu)化

3.1 采用MOPSO求解理想軌跡

以柔性機械臂運動過程中的振動與能量消耗作為優(yōu)化目標(biāo)，采用MOPSO算法對兩個優(yōu)化目標(biāo)同時進行優(yōu)化。

對于運動過程中的振動，可以用臂桿2末端最大撓度的絕對值來表征：

而能量的優(yōu)化函數(shù)為：

為了獲得連續(xù)光滑的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度，并且考慮關(guān)節(jié)機械限位問題，采用正弦七次多項式的方法對關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角度進行插值遍歷，以此求解理想關(guān)節(jié)軌跡。由此，可以建立二自由度等效剛性機械臂的關(guān)節(jié)角表達式：

式中：qi—關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)角；λ—多項式系數(shù)；t0，tf—初始和終止時刻。由初始和終止時刻的約束條件可知：

式中：qini，qend—起始和終止關(guān)節(jié)角。

將約束條件式（10）代入式（9）中，λi0，λi1，…，λi5可由λi6，λi7表示，則可定義決策向量λ =[λ16，λ17，λ26，λ27]。各關(guān)節(jié)的角度、角速度和角加速度均可由λ求得。

式中：V[k]，P[k]—粒子k的飛行速度和其在種群中的位置；

c1，c2—學(xué)習(xí)因子；

r1，r2—在[ 0，1]上均勻分布的隨機數(shù)；

R[h]—外部檔案中粒子的位置；

χ= 2∕( | 2 -φ-φ(φ- 4) |)—收斂因子；φ=c1+c2；

pbest—粒子自身經(jīng)歷過的最佳位置。

基于上述多目標(biāo)軌跡優(yōu)化得到理想關(guān)節(jié)軌跡后，利用傳統(tǒng)近似方法求解柔性參考軌跡：利用理想軌跡求得剛性力矩。再用剛性力矩求出對應(yīng)的柔性變量。再利用理想軌跡與柔性變量求解柔性參考力矩。最后，將柔性參考力矩代入柔性機械臂動力學(xué)方程，即可求得機械臂的柔性參考軌跡和實際柔性變量。

3.2 柔性機械臂最優(yōu)軌跡求解

用近似法求得的柔性參考力矩所造成的關(guān)節(jié)角度誤差較小。但是，關(guān)節(jié)力矩的震蕩明顯，不利于實際工程應(yīng)用，同時也會對進一步的機械臂振動抑制控制造成困難。針對上述問題，進一步采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對柔性機械臂逆動力學(xué)方程進行擬合，即輸入期望理想軌跡后，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接求得實際關(guān)節(jié)力矩［9］。

所采用的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。其中，Q1，Q2代表關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的期望理想軌跡，τ1，τ2代表關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的實際關(guān)節(jié)力矩。wij(j= 1，2)代表權(quán)重系數(shù)。是高斯類型函數(shù)，ci為第i個徑向基函數(shù)的中心，σ為徑向基函數(shù)的寬度。具體的算法流程，如圖3所示。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.2 Model of RBF Neural Network

圖3 柔性機械臂動力學(xué)算法流程Fig.3 Dynamic Algorithm Flow

4 仿真與結(jié)果分析

4.1 參數(shù)設(shè)置與仿真結(jié)果

利用MATLAB 對兩自由度柔性機械臂進行仿真實驗，機械臂兩個連桿均為柔性連桿，機械臂相關(guān)的材料、質(zhì)量和幾何特性參數(shù)，如表1所示。

表1 二自由度柔性機械臂參數(shù)Tab.1 Parameters of 2-DOF Flexible Manipulator

機械臂的初始關(guān)節(jié)角為qini=[ 20°，0°]，終止關(guān)節(jié)角為qend=[10°，10°]，規(guī) 劃總 時 間tf= 1.5s。 MOPSO 算法 參 數(shù)設(shè) 置為：nλ= 4，[λmin，λmax]=[ -0.1，0.1]，種群規(guī)模nP= 250，外部檔案粒子數(shù)nR= 100，最大迭代次數(shù)Imax= 150以及c1=c2= 2.05。

4.2 仿真結(jié)果比較與分析

利用MOPSO求解多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題，得到的Pareto前沿，如圖4所示。振動指標(biāo)最小和能量最小的極端解分別記為非支配解A和非支配解B。

圖4 Pareto前沿Fig.4 Pareto Front

非支配解A和非支配解B的代價函數(shù)值以及對應(yīng)的決策向量，如表2所示。其中，梯形規(guī)劃的參數(shù)設(shè)置為：加速時間和減速時間為0.2s，總時間同樣為1.5s。

表2 目標(biāo)函數(shù)極端解Tab.2 Extreme Solution of Cost Functions

將兩種非支配解A和B的臂桿2末端撓度變化與傳統(tǒng)梯形規(guī)劃的撓度變化進行對比。根據(jù)圖5可知，利用MOPSO算法所得到的兩個極端解的臂桿振動均小于梯形規(guī)劃。且梯形規(guī)劃軌跡消耗能量= 499.50遠遠大于兩個非支配解。非支配解A的最大振幅f1A約比非支配解B的振幅f2B大9.63%，但是能量消耗f2A卻比f2B減小了677.36%。可見在振幅相似的情況下，改變多項式的系數(shù)會對能量消耗產(chǎn)生很大的影響。

圖5 三種軌跡末端撓度變化對比曲線Fig.5 Comparison of Tip Deflection

利用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中的newrb函數(shù)訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，SPREAD值設(shè)置為1。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練前后關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的力矩，如圖6所示?？梢园l(fā)現(xiàn)訓(xùn)練前的力矩變化抖動劇烈，可能會導(dǎo)致關(guān)節(jié)運行不平穩(wěn)。然而，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對柔性機械臂逆動力學(xué)方程進行擬合后，關(guān)節(jié)控制力矩變得連續(xù)且平滑。通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的實際關(guān)節(jié)力矩代入柔性動力學(xué)方程后得到的實際關(guān)節(jié)軌跡，如圖7所示。兩個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角均較好的達到了目標(biāo)要求。機械臂運行終止時，非支配解A關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的實際關(guān)節(jié)軌跡與理想關(guān)節(jié)軌跡的誤差分別為：0.046°，0.069°；而非支配解B的誤差分別為：0.029°，0.017°。關(guān)節(jié)運行誤差較小，滿足操作任務(wù)需求，且有利于后續(xù)的軌跡跟蹤控制。此外，圖8 表明，將擬合后的實際關(guān)節(jié)力矩代入柔性機械臂動力學(xué)方程后，平滑的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩會使得機械臂的末端振動進一步得到抑制。

圖6 振動最小解與能量最小解在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合前后的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩對比曲線Fig.6 Comparison Curve of Joint Driving Torque between Minimum Solutions of Vibration and Energy before and after Neural Network Fitting

圖7 振動最小解與能量最小解在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合后關(guān)節(jié)軌跡對比曲線Fig.7 Joint Trajectories of Minimum Solutions of Vibration and Energy Fitted by Neural Network

圖8 振動最小解與能量最小解在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合前后的末端撓度對比曲線Fig.8 Tip Deflections of Minimum Solutions of Vibration and Energy before and after Neural Network Fitting

5 結(jié)論

針對雙柔性連桿機械臂振動抑制與能量優(yōu)化問題，提出了一種基于多目標(biāo)優(yōu)化算法與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的軌跡規(guī)劃方法。該方法能較好的實現(xiàn)振動與能量的優(yōu)化目標(biāo)，且求解出的驅(qū)動力矩連續(xù)平滑。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合得到的力矩不僅能實現(xiàn)理想的關(guān)節(jié)運動軌跡，滿足期望的操作任務(wù)，還能進一步減小機械臂運動過程中的末端振動，有利于后續(xù)的柔性機械臂振動抑制控制或軌跡跟蹤控制研究。該方案誤差小、計算量低、適應(yīng)性強，有利于實際工程應(yīng)用。