磁阻旋轉變壓器等效電路及原邊反射誤差分析

劉德超，熊 建

(北汽福田汽車股份有限公司，北京 102206)

0 引 言

新型的磁阻式旋轉變壓器由于具有結構簡單、 工作可靠、 體積小等優(yōu)點在電機控制領域得到了廣泛應用[1-3]。磁阻式旋轉變壓器主要分為定、轉子兩部分，均為矽鋼片疊壓而成。定子開槽，勵磁繞組和正、余弦反饋信號繞組均以集中繞組的方式繞制在定子槽內(nèi)，其中勵磁繞組一般為等匝數(shù)逐齒反饒串接，正、余弦繞組按正、余弦分布規(guī)律逐齒繞制串接。轉子無繞組，一般制作成特殊形狀，使定、轉子氣隙磁導具有正弦變化規(guī)律，從而使得勵磁繞組和正、余弦繞組的耦合磁導依據(jù)定、轉子相對位置具備正、余弦變化規(guī)律，最終在旋轉變壓器輸出端獲得包含定、轉子相對位置信息的正、余弦信號。

上面提到磁阻式旋轉變壓器的勵磁繞組一般為逐齒反接串聯(lián)，而正、余弦繞組則是逐齒按正弦分布規(guī)律繞制串接，故勵磁繞組與信號繞組的耦合系數(shù)小于1，并不符合理想變壓器條件，不可對磁阻式旋轉變壓器用理想變壓器理論在電路中進行建模分析，所以下文在分別對勵磁繞組的自感、信號繞組的自感以及勵磁繞組和信號繞組的互感進行了詳細分析計算的基礎上，使用勵磁繞組的自感、信號繞組的自感以及勵磁繞組與信號繞組的互感建立旋轉變壓器的等效電路，并根據(jù)等效電路，分析磁阻式旋轉變壓器接入電路后，由于負載效應及阻抗匹配引起的解碼誤差。

1 繞組電感計算

磁阻式旋轉變壓器轉子一般制作成特殊形狀，使得氣隙磁導包含直流分量、基波分量以及高次諧波分量，其中高次諧波分量一般是用來優(yōu)化因繞組、齒槽等引起的輸出端高次諧波電勢。我們這里只討論氣隙磁導的直流分量和基波分量。氣隙磁導的表達式如下：

(1)

式中，Λk為定子第k齒對應氣隙磁導；Λm0為氣隙磁導直流分量；Λm1為氣隙磁導基波分量幅值；p為轉子極對數(shù)；Θ為定轉子相對位置電角度；αe為相鄰兩齒對應電角度。

(1)勵磁繞組電感(信號繞組均開路)

為優(yōu)化磁路，磁阻式旋轉變壓器的勵磁繞組一般為等匝數(shù)逐齒反向繞制串接，設每個定子齒上的繞組匝數(shù)為N1，可得第k齒繞組電感為[4]

則勵磁繞組總電感為

(2)

將式(1)帶入式(2)可得：

由上述推導可以得到關于磁阻式旋轉變壓器勵磁繞組自感的以下結論：

勵磁繞組自感為一恒定值，并不受氣隙磁導變化(即旋轉變壓器定、轉子相對位置)的影響，只與氣隙磁導的直流分量、繞組匝數(shù)以及定子槽數(shù)有關。

(2)信號繞組電感(勵磁繞組及另外一組信號繞組均開路)

磁阻式旋轉變壓器的信號繞組采用正弦(或余弦)分布[5]，每相繞組逐齒按正弦(或余弦)分布規(guī)律繞制串接，其分布周期一般為轉子極對數(shù)的倍數(shù)，可用下式來表示信號繞組每齒匝數(shù)，其中為繞組分布匝數(shù)峰值。

Nsk=Nssin[(k-1)αe]

第k齒信號繞組電感可表示為

則可得信號繞組總電感為

(3)

因

聯(lián)合式(1)和式(3)可得:

由上述推導可以得到關于磁阻式旋轉變壓器信號繞組自感的以下結論：

信號繞組自感為一恒定值，并不受氣隙磁導變化(即旋轉變壓器定、轉子相對位置)的影響，只與氣隙磁導的直流分量、繞組分布匝數(shù)峰值以及定子槽數(shù)有關。

(3)勵磁-信號繞組互感(以正弦繞組為例)

設定子每齒勵磁繞組匝數(shù)為N1,每齒正弦信號繞組匝數(shù)Nsk=Nssin[(k-1)αe]，則第k齒勵磁繞組與正弦信號繞組之間的互感為

Mk=N1Nssin[(k-1)αe]Λk

因勵磁繞組為逐齒反向繞制的，所以可得勵磁繞組與正弦信號繞組之間的總互感為

(4)

式中,Ks為小于1的常系數(shù)，其與定子齒槽數(shù)、繞組嵌線方式(隔齒反接或逐齒正接)等相關。

可得，勵磁繞組與正弦信號繞組之間的互感與氣隙磁導的交流分量幅值、勵磁繞組匝數(shù)、正弦信號繞組分布匝數(shù)峰值以及定子槽數(shù)、正弦信號繞組繞制方式有關，并且是與定、轉子相對位置成正弦關系。同理可以推得勵磁繞組與余弦信號繞組之間的互感與定、轉子相對位置成余弦關系。

2 等效電路

上文中分別計算了磁阻式旋轉變壓器的勵磁繞組和信號繞組的自感以及兩者之間的互感，可以看出，雖繞制在同一鐵心(定子)上，但因其耦合系數(shù)小于1，故不能作為理想變壓器進行建模。

下面根據(jù)磁路耦合，將勵磁繞組與信號繞組作為一組耦合電感，使用上文中計算所得勵磁繞組自感L1、信號繞組自感L2以及兩者互感M進行電路等效，具體電路如圖1所示。

圖1 旋轉變壓器等效電路

由圖1可得方程組：

(5)

式中,L1為勵磁繞組自感；L2為信號繞組自感；M為勵磁繞組和信號繞組互感；R1為勵磁繞組直流電阻與鐵心損耗等效電阻之和；R2為信號繞組直流電阻與鐵心損耗等效電阻之和；αe為相鄰兩齒對應電角度；ZL為負載阻抗。

由式(5)可得：

(6)

根據(jù)式(6)，可分別對輸入、輸出進行等效如下。

(1)輸入端等效(勵磁端)

旋轉變壓器輸入等效如圖2所示。

圖2 旋轉變壓器輸入等效

Z1=R1+jωL1
Z12=(ωM)2Y2

(2)輸出端等效(信號端)

旋轉變壓器輸出等效如圖3所示。

圖3 旋轉變壓器輸出等效

(7)

由式(7)可知，信號端開路輸出電壓是正比于互感M的，又由式(4)可知，互感M與旋轉變壓器轉子位置相關，所以可得信號端開路輸出電壓：

式中，K為一常系數(shù)，可對應旋轉變壓器的變比參數(shù)。

3 誤差分析

在旋轉變壓器信號繞組接入負載后，對正、余弦信號進行解碼時，我們均是假定負載所得有效信號為正比于開路輸出電壓的信號，另設定：

●正弦信號繞組自感為Ls，余弦信號繞組自感為Lc，且Ls=Lc=L2。

●勵磁繞組與正弦信號繞組互感為Ms=MsinpΘ、勵磁繞組與余弦信號繞組互感為Mc=McospΘ。

●勵磁繞組自感為L1，勵磁繞組內(nèi)阻為R1。

●正弦信號繞組內(nèi)阻為Rs，余弦信號繞組內(nèi)阻為Rc，且Rs=Rc=R2。

(8)

但由圖3可以看出，在旋轉變壓器信號繞組接入負載后的等效電路中，引入了一項與勵磁繞組阻抗及互感M相關的阻抗項Z21，我們稱之為勵磁繞組到信號繞組的反射阻抗。Z21是隨著旋轉變壓器定、轉子相對位置變化而變化的，其會造成負載上的有效信號相對于開路輸出電壓信號產(chǎn)生偏移，下面利用上述等效電路，分析當旋轉變壓器接入負載后，反射阻抗Z21的變化對負載ZL兩端得到的有效信號的影響。

由圖3所示等效電路可得負載ZL上實際所得有效電壓為

(9)

則：

因,Ms=MsinpΘ，Mc=McospΘ,設Z=(ωM)2Y1

則：

(10)

(11)

可得：

(12)

此時誤差為0。

或

此時誤差最大。其中,Z=(ωM)2Y1。

由式(12)可知，由勵磁繞組反射阻抗產(chǎn)生的誤差可以作為正、余弦信號的幅值失配誤差進行考慮，則該誤差為[6]

(13)

其中,δ為幅度失配百分比，即：

雖然由勵磁繞組反射阻抗引入誤差的頻率為轉子電角頻率的4倍，但誤差涉及復數(shù)域計算，解析解較復雜，下面計算勵磁繞組反射阻抗引起幅度失配百分比δ的取值范圍，為δ確定一個極值。

前文已提到當cos(2pΘ)=±1時，

故可得：

4 設計實例

前文已提到，每0.3%的失配幅度，對于12位RDC將產(chǎn)生大約1LSB的誤差。若要將因反射阻抗引入的誤差控制在1LSB以內(nèi)，則需要將反射阻抗引入的幅度失配控制在0.3%以內(nèi)，為提高裕度，我們以反射阻抗所能引起的失配幅度極值作為設計輸入，即

δmax≤0.3%

以一款批量應用的旋轉變壓器規(guī)格書參數(shù)為設計輸入，如表1所示。

(1)計算繞組自感、互感

勵磁繞組自感：

信號繞組自感：

互感峰值：

M=0.286×L1=0.000531=531 μH

(2)計算反射阻抗

勵磁阻抗反射至信號繞組阻抗：

(3)計算負載

因旋轉變壓器的負載一般為芯片引腳，輸入阻抗非常大，近似開路，所以電路中用于濾波的電容作為主要負載對象，即圖 4中的C76，C80，C172，C174，C176。

圖4 實際應用電路

由

得：ZL≥3552.8，即C≤4.48 nf。故在正余弦信號所接后級負載電路中，用于共模及差模濾波的電容值最大不要超過4.48 nf(圖3中為C172//C176+C76//C80+C174)，則由反射阻抗引起幅值失配造成的誤差在12位RDC中不超過1LSB。

5 結 論

本文詳細分析了旋轉變壓器勵磁、信號繞組的自感、互感，并使用勵磁繞組、信號繞組的自感、互感導出旋轉變壓器的等效電路，然后根據(jù)等效電路引出由反射阻抗引起的解碼誤差，最后根據(jù)一款實際應用的旋轉變壓器，計算達到所需解碼精度所使用的濾波電路容值限制，為旋轉變壓器的應用電路設計提供理論參考及實際案例。