一種在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的永磁直線電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)

尹紹杰，林 鵬，楊揚(yáng)戩，朱優(yōu)優(yōu)，王 威

(浙江大學(xué)臺(tái)州研究院，浙江 臺(tái)州 318000)

0 引 言

永磁直線電機(jī)是一個(gè)強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，很難建立精確的解析模型進(jìn)行分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。一般地，有限元分析是將復(fù)雜的求解域問題化解為多個(gè)互聯(lián)的子域問題，通過用迭代的方法求得每個(gè)子域問題的近似解，然后推導(dǎo)出整個(gè)求解域上總的滿足結(jié)構(gòu)平衡條件的解。有限元分析在復(fù)雜的高非線性計(jì)算問題中具有計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于電機(jī)的分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)[1]。

在文獻(xiàn)[2]中，利用有限元法對(duì)永磁無刷直流電機(jī)進(jìn)行參數(shù)掃描分析，選出合適的槽極配合、極弧系數(shù)和定子槽口寬度，電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩得到大大削弱。雖然有限元分析精度雖高，但耗時(shí)長(zhǎng)且計(jì)算成本高。為此，在文獻(xiàn)[3-4]中，運(yùn)用限元法與田口法相結(jié)合的方法，對(duì)優(yōu)化的設(shè)計(jì)參數(shù)建立正交表并進(jìn)行有限元仿真，最終從正交表中確定最終方案。該方法大大減少了有限元仿真次數(shù)，與參數(shù)掃描法相比其優(yōu)化效率得到提高，但缺點(diǎn)是離散型優(yōu)化且僅適用于單目標(biāo)優(yōu)化。在文獻(xiàn)[5]中，采用響應(yīng)面模型與遺傳算法相結(jié)合的優(yōu)化方法，對(duì)永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩建立響應(yīng)面模型并優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比均能達(dá)到優(yōu)化指標(biāo)，且前者優(yōu)化效率更高。在文獻(xiàn)[6]中，一種基于kriging模型結(jié)合高效全局優(yōu)化算法(EGO)的優(yōu)化方法用于直線感應(yīng)電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以較少的計(jì)算成本得到全局最優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)電機(jī)牽引力大、能效水平高、重量輕且體積小的目標(biāo)。文獻(xiàn)[7-8]中，采用一種代理模型、優(yōu)化算法、六西格瑪?shù)姆€(wěn)健設(shè)計(jì)方法，對(duì)永磁電機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，保證了電機(jī)從設(shè)計(jì)到制造全過程的高效輸出。綜合來說，文獻(xiàn)[5-8]都是離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，其優(yōu)化過程十分依賴原始樣本的數(shù)量和質(zhì)量，其直接影響代理模型的精度和優(yōu)化效果的好壞。在文獻(xiàn)[9]中，一種基于期望提高和K均值聚類的加點(diǎn)策略，有效提高了代理模型精度，減小了計(jì)算成本。

為解決離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化的不足，本文提出一種在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的永磁直線電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[10]。該法采用kriging模型構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)模型，期望提高和K均值聚類用于優(yōu)化過程中選出模型預(yù)測(cè)差的未知點(diǎn)，并借助matlab與ansys maxwell聯(lián)合仿真實(shí)現(xiàn)在線加點(diǎn)，提高kriging模型精度。通過多目標(biāo)粒子群算法迭代尋優(yōu)，實(shí)現(xiàn)永磁直線電機(jī)低推力波動(dòng)和高平均推力。

1 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化的原理

根據(jù)優(yōu)化過程中是否產(chǎn)生新樣本數(shù)據(jù)，可將優(yōu)化分為離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化和在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化兩類。

1.1 離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化

對(duì)于離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化，優(yōu)化過程中無法產(chǎn)生新的樣本數(shù)據(jù)，這就表示離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化主要是基于初始樣本建立的代理模型進(jìn)行空間尋優(yōu)，如圖1所示。

圖1 離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化

初始樣本：電機(jī)在優(yōu)化前需要一定數(shù)量的初始樣本，樣本數(shù)據(jù)越多、分布越均勻，電機(jī)模型擬合精度越高。均勻的初始樣本可通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得，常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)等。

代理模型：電機(jī)內(nèi)部存在電磁耦合場(chǎng)，很難求得其數(shù)學(xué)解析模型，利用樣本點(diǎn)來擬合出電機(jī)代理模型，一方面解決了數(shù)學(xué)解析模型的問題，另一方面代替了有限元計(jì)算，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，提高了計(jì)算效率。常用的代理模型有多項(xiàng)式模型、徑向基模型、kriging模型、支持向量機(jī)回歸模型等。

迭代尋優(yōu)：代理模型建立后，輔助優(yōu)化算法可以對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行快速迭代尋優(yōu)，最終獲得電機(jī)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。常用的優(yōu)化算法有模擬退火算法、差分進(jìn)化算法、遺傳算法和粒子群算法等。

離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化結(jié)構(gòu)十分簡(jiǎn)單，但優(yōu)化效果的好壞直接取決于代理模型的精度高低，而代理模型又非常依賴初始樣本的數(shù)量和質(zhì)量。顯然，過多的初始樣本會(huì)大大增加有限元計(jì)算時(shí)間，且初始樣本數(shù)量過多試驗(yàn)設(shè)計(jì)很難滿足均勻性。針對(duì)此問題，下面提出了一種在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化方法。

1.2 在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化

與離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化相比，在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化表現(xiàn)更加靈活。圖2顯示，期望提高的在線加點(diǎn)策略使代理模型與迭代尋優(yōu)構(gòu)成局域閉環(huán)，這為改善代理模型提供了更多機(jī)會(huì)，充分發(fā)揮了優(yōu)化算法性能。此外，在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化需要的初始樣本數(shù)據(jù)少，便于試驗(yàn)設(shè)計(jì)滿足均勻性。

圖2 在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化

值得注意的是，離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化可以看成是在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化的特例，因?yàn)樵陂_始優(yōu)化之前，都需要一定數(shù)量的樣本來擬合代理模型。不同之處在于離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化為單鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，上一環(huán)節(jié)的質(zhì)量直接決定下一環(huán)節(jié)結(jié)果的好壞。而在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化對(duì)初始樣本數(shù)量要求較少，樣本分布均勻且冗余度低，提高了樣本利用率的同時(shí)減小了計(jì)算成本。雖然會(huì)帶來代理模型精度不高的問題，但通過模型期望提高為目標(biāo)函數(shù)的迭代尋優(yōu)，將預(yù)測(cè)誤差大的預(yù)測(cè)點(diǎn)作為新的樣本點(diǎn)加入至原樣本集，并更新代理模型。經(jīng)過幾次迭代，代理模型將以最小的樣本數(shù)量獲得模型高精度預(yù)測(cè)，縮短了計(jì)算成本。

2 在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化的設(shè)計(jì)

在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化的設(shè)計(jì)主要包括試驗(yàn)設(shè)計(jì)產(chǎn)生初始樣本、構(gòu)建代理模型、在線加點(diǎn)策略設(shè)計(jì)、優(yōu)化算法的選擇和設(shè)置四個(gè)部分。文中分別采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲取初始樣本，kriging模型構(gòu)建代理模型，基于期望提高(expected improved，EI)的加點(diǎn)策略進(jìn)行在線加點(diǎn)以及選擇粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行迭代尋優(yōu)，具體的優(yōu)化流程圖如圖3所示。

圖3 在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化流程圖

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種對(duì)設(shè)計(jì)空間中不同樣本點(diǎn)位置的排列設(shè)計(jì)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)是構(gòu)建代理模型的基礎(chǔ)，目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)分布均勻的樣本空間。文中采用的拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)，其原理是n維空間抽m個(gè)樣本，將每一維分成m個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間只取樣一次，隨機(jī)組合。拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種分層抽樣設(shè)計(jì)[11]，對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的數(shù)目和樣本數(shù)沒有限制，操作容易，優(yōu)于全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)和正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。

拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)的隨機(jī)組合在創(chuàng)造多樣性結(jié)果的同時(shí)也帶來了表現(xiàn)的不穩(wěn)定性。為了克服其缺點(diǎn)，一種基于最大最小距離準(zhǔn)則的改進(jìn)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)在文中被采用[12]，目的是使點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離盡可能地最大，保證了輸出樣本的穩(wěn)定性。

2.2 Kriging模型和期望提高

Kriging模型是一種利用已知樣本點(diǎn)和樣本空間位置信息，來求得未知點(diǎn)無偏估計(jì)和估計(jì)方差最小的插值技術(shù)。Kriging模型由回歸部分和隨機(jī)部分這兩部分構(gòu)成，其表達(dá)形式為

y(x)=F(β,x)+z(x)

(1)

F(β,x)為回歸部分，提供模型全局的預(yù)測(cè)，是由p個(gè)函數(shù)的線性組合來獲得未知點(diǎn)的大體估計(jì)，即

F(β,x)=β1f1(x)+β2f2(x)+…+βpfp(x)

(2)

其中,p有三種形式：常數(shù)型，p=1；線性型，p=n+1；二次型，p=(n+1)(n+2)/2(n為x的維數(shù))，β為系數(shù)。z(x)為隨機(jī)部分，在模型回歸預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行局部的無偏估計(jì)，滿足

(3)

其中,R(θ,xi,xj)是的關(guān)于參數(shù)θ的相關(guān)函數(shù)，常采用Gauss函數(shù)，具體形式為

(4)

可以看出，kriging模型的隨機(jī)部分z(x)服從期望為0、方差為σ2的正態(tài)分布。

(5)

其中，β*=(FTR-1F)-1FTR-1Y，γ*=R-1(Y-Fβ*),Y為樣本的函數(shù)值，r與R形式類似，表示的是未知點(diǎn)與已知樣本點(diǎn)的空間位置關(guān)系。給出預(yù)測(cè)值的同時(shí)提供預(yù)測(cè)誤差，這就是kriging模型與其它模型最大區(qū)別之處。

(6)

2.3 K均值聚類在線加點(diǎn)

對(duì)于未知點(diǎn)的預(yù)測(cè)，其EI值越大，則在該點(diǎn)處模型的預(yù)測(cè)誤差越大。為了改善kriging模型的預(yù)測(cè)精度，將EI值大的預(yù)測(cè)點(diǎn)計(jì)算得到真實(shí)值，加入至原樣本集并更新kriging模型。然而實(shí)際操作中可發(fā)現(xiàn)，kriging模型是一種利用未知點(diǎn)周圍已知樣本點(diǎn)來估計(jì)的插值技術(shù)，當(dāng)kriging模型對(duì)某一小塊區(qū)域預(yù)測(cè)精度差時(shí)，該區(qū)域的未知點(diǎn)都具有近似的EI值。倘若每個(gè)點(diǎn)都要計(jì)算獲得真實(shí)值，計(jì)算量將會(huì)大大增加。為此，如圖4所示，文中采用K均值聚類的方法，從預(yù)測(cè)精度差的區(qū)域中選出具有代表性的點(diǎn)，在線計(jì)算真實(shí)值后加入至原樣本集并更新kriging模型，提高模型精度的同時(shí)減少計(jì)算量。

圖4 K均值聚類在線加點(diǎn)

3 永磁直線電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化

文中以一臺(tái)12槽10極永磁直線電機(jī)為例，采用在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化對(duì)永磁直線電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。永磁直線電機(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖5所示，初級(jí)為短動(dòng)子，由電樞鐵心和三相繞組組成；次級(jí)是長(zhǎng)定子，由N、S極永磁體和鐵軛組成。永磁直線電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料如表1所示。

圖5 12槽10極永磁直線電機(jī)

表1 永磁直線電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料

對(duì)于永磁直線的多目標(biāo)優(yōu)化，其設(shè)計(jì)參數(shù)有6個(gè)，分別為槽口寬度bs0，槽寬bs1，永磁體寬度wpm，永磁體高度hpm，輔助極高度h和距離d，如圖6所示。而優(yōu)化的目標(biāo)是減小永磁直線電機(jī)的推力波動(dòng)，提高永磁直線電機(jī)輸出的平均推力。

圖6 設(shè)計(jì)參數(shù)

優(yōu)化的第一步，對(duì)6個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，獲取初始樣本。如上所述，文中采用基于最大最小距離準(zhǔn)則的改進(jìn)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)，具體操作是通過Matlab的Lhsdesign函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，6個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的范圍為

(7)

最終獲得初始樣本為80，將每個(gè)樣本的設(shè)計(jì)參數(shù)建立有限元模型，有限元分析后獲得目標(biāo)值推力波動(dòng)和平均推力。

第二步是建立關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)與目標(biāo)的代理模型。在構(gòu)建代理模型之前，將目標(biāo)進(jìn)行標(biāo)幺化處理

(8)

其中，F(xiàn)pk2pk0為初始推力波動(dòng)，F(xiàn)avg0為初始平均推力。Kriging模型的具體過程可通過Matlab的Dace工具箱來實(shí)現(xiàn)，回歸模型采用二次型，相關(guān)函數(shù)采用Gauss函數(shù)，模型無具體的表達(dá)式。

代理模型建立后，第三步是采用多目標(biāo)粒子群算法，最大化兩個(gè)模型的EI值為目標(biāo)，進(jìn)行算法的第一次迭代尋優(yōu)，目的是尋找出EI值大的預(yù)測(cè)點(diǎn)，即預(yù)測(cè)誤差大的點(diǎn)，利用K均值聚類法選出具有代表性的預(yù)測(cè)點(diǎn)，將其有限元計(jì)算后加入原樣本集并更新kriging模型。然而，粒子群優(yōu)化算法是在Matlab中運(yùn)行，有限元計(jì)算是利用Ansys Maxwell軟件，兩者的數(shù)據(jù)接口不同。為了打破兩者壁壘，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)調(diào)用Ansys Maxwell軟件計(jì)算及在線加點(diǎn)，文中采用Matlab與Ansys Maxwell聯(lián)合仿真方法[14]，兩個(gè)軟件之間通過VB腳本文件進(jìn)行數(shù)據(jù)交換互通，如圖7所示。迭代尋優(yōu)產(chǎn)生的期望提高加點(diǎn)，其6個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)值寫入VB腳本文件，執(zhí)行VB腳本文件調(diào)用Ansys Maxwell軟件建立有限元模型，且自動(dòng)運(yùn)行計(jì)算得到目標(biāo)值平均推力和推力波動(dòng)，計(jì)算結(jié)束后軟件會(huì)自動(dòng)把目標(biāo)值錄入VB腳本文件，此時(shí)Matlab讀取目標(biāo)值并將該作為新樣本加入原樣本集，最后更新Kriging模型。

圖7 Matlab與Maxwell聯(lián)合仿真

通過期望提高的在線加點(diǎn)，樣本數(shù)量由初始的80增加至116，模型精度由76%提升至99.7%。若采用離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的優(yōu)化方法，初始樣本需290個(gè)樣本點(diǎn)才能獲得99.7%的模型精度。與之相比，在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的優(yōu)化方法縮短了60%的計(jì)算周期，整個(gè)優(yōu)化流程效率得到大幅度提高。

當(dāng)Kriging模型精度足夠高時(shí)，EI值也滿足低于閾值0.05的要求，優(yōu)化算法進(jìn)入第二次迭代尋優(yōu)。此時(shí)，優(yōu)化的變量不變，優(yōu)化的目標(biāo)改為提高永磁直線電機(jī)的平均推力，降低其推力波動(dòng)。將平均推力取負(fù)值，優(yōu)化問題變?yōu)樽钚』瘑栴}。經(jīng)歷300次迭代，優(yōu)化基本趨于穩(wěn)定，兩目標(biāo)函數(shù)的Pareto前沿如圖8所示。

圖8 K均值聚類在線加點(diǎn)

兩目標(biāo)函數(shù)賦予同樣的權(quán)重，對(duì)Pareto前沿的非支配解作如式(9)處理，值大的被選為最終優(yōu)化結(jié)果

f=0.5(1-f推力波動(dòng))+0.5f平均推力

(9)

最終點(diǎn)(f推力波動(dòng),f平均推力)為(0.36, 1.066)這組解被確定為優(yōu)化結(jié)果，6個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化后的永磁直線電機(jī)，其推力波動(dòng)從100 N減少至36N，降低了64%。而其平均推力從627 N增加至668.7 N，提高了6.6%，如圖9所示。進(jìn)一步分析可以看出，初始的永磁直線電機(jī)諧波次數(shù)多且幅值大，主要是2、4、6次諧波，斜極技術(shù)很難全部消除。而優(yōu)化的永磁直線電機(jī)主要是6次諧波且幅值較小，配合一定的斜極可以完全被消除。兩者分析對(duì)比，驗(yàn)證了優(yōu)化的有效性。

表2 設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

圖9 永磁直線電機(jī)優(yōu)化前后的推力曲線

4 結(jié) 論

本文提出了一種在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的永磁直線電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該法采用拉丁超立方的試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得初始樣本，利用kriging代理模型建立永磁直線電機(jī)推力波動(dòng)和平均推力兩目標(biāo)的函數(shù)模型，附加期望提高和K均值聚類的在線加點(diǎn)策略，結(jié)合多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，實(shí)現(xiàn)了永磁直線電機(jī)推力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

與離線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法相比，在線數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法降低了試驗(yàn)設(shè)計(jì)難度，提高了樣本利用率，保證了代理模型精度，減小了計(jì)算周期。該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法使永磁直線電機(jī)獲得64%的推力波動(dòng)減小和6.6%的平均推力提升，且適用于其它優(yōu)化問題，具有一定的參考價(jià)值。