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    淺析積分法求解空間曲面的面積

    2022-08-19 14:53:12劉余嬌羅守雙
    關(guān)鍵詞:圓柱面旋轉(zhuǎn)體柱面

    劉余嬌,羅守雙

    (綿陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院,四川綿陽(yáng) 621000)

    0 引言

    本文從四個(gè)方面介紹了空間曲面面積的求解方法:一般曲面面積的求法、曲面參數(shù)方程的面積公式、柱面?zhèn)让娣e的求解及定積分求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積.在絕大多數(shù)《高等數(shù)學(xué)》教材中,只是介紹了一般曲面面積的求法,其他三種方法沒(méi)有相關(guān)介紹,而對(duì)大多數(shù)非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科學(xué)生來(lái)說(shuō),求解空間曲面面積既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),同時(shí)也具有很重要的實(shí)際意義.

    1 曲面面積的計(jì)算方法

    1.1 利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

    設(shè)平面光滑曲線y=f(x)∈C(a,b),且f(x)≥0,求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:位于[x,x+dx]上的圓臺(tái)的側(cè)面積

    積分得到旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積:

    (1)

    注:側(cè)面積元素dS=2πydS≠2πydx,是因?yàn)?πydx不是薄片側(cè)面積的線性主部,從幾何意義的角度來(lái)說(shuō),側(cè)面積元素是位于[x,x+dx]上的圓臺(tái)側(cè)面積,二不是圓柱側(cè)面積[1].

    例1計(jì)算圓x2+y2=4在x∈[0,1]?[-R,R]上繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積S.

    例2計(jì)算由內(nèi)擺線x=acos3t,y=asin3t繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積

    解利用對(duì)稱性

    1.2 一般曲面面積的求法

    例3求圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取的面積值[5].

    故球面在圓柱面截取的側(cè)面在第一掛限內(nèi)的面積為

    故所求球面在圓柱面上截取的側(cè)面積為4S=16

    1.3 曲面參數(shù)方程的面積公式

    設(shè)曲面∑的參數(shù)方程:x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈Duv,其中Duv為uv平面上的有界閉區(qū)域,若函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)的所有偏導(dǎo)數(shù)在Duv上連續(xù),則曲面∑的面積為:

    (3)

    這里E=xu2+yu2+zu2,G=xv2+yv2+zv2,F=xu·xv+yu·yv+zu·zv.[6]

    證明在曲面S中,若

    z=z(u(x,y),v(x,y))

    (4)

    (5)

    將(4)(5)代入zx=zu·ux+zvvx,zy=zu·uy+zvvy并計(jì)算公式中的被積函數(shù)如下:

    1+(zx)2+(zy)2=1+(zu·ux+zvvx)2+(zu·uy+zvvy)2

    =1+zu2(ux2+uy2)+zv2(vx2+vy2)+2zuzv·(uxvx+uyvy)

    將上式展開并配方得

    -(xu·xv+yu·yv+zu·zv)]

    故公式(2)可化為

    記E=xu2+yu2+zu2,G=xv2+yv2+zv2,F=xu·xv+yu·yv+zu·zv,故(3)式得證.

    故所求面積為:

    1.4 柱面?zhèn)让娣e的求解

    在求解柱面的側(cè)面積時(shí),因柱面的側(cè)面垂直于坐標(biāo)平面,若采用一般曲面的計(jì)算方法,往往計(jì)算比較復(fù)雜,故通常利用第一曲線積分的幾何意義求解.

    例5(如上例1)求圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取的面積值[10].

    由第一曲線積分的幾何意義可知,圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取在第一象限的面積,即為圓柱面x2+y2=2x夾在球面x2+y2+z2=4,(z≥0)與xoy之間的部分,也即球面在x2+y2+z2=4,(z≥0)在平面xoy上的曲線l:x2+y2=2x上的積分,故所求面積為:

    2 結(jié)論

    本文側(cè)重于利用積分方法對(duì)空間曲面面積主要的計(jì)算方法的歸類與闡述,也是對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于側(cè)面積求解的補(bǔ)充與擴(kuò)展.在實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題中,曲線或曲面方程的形式的多樣化,曲面類型的多樣化,求解曲面面積的方法也不一樣:一般曲面方程采用直角坐標(biāo)方程表示簡(jiǎn)單,計(jì)算時(shí)采用一般求面積的方法,而有的曲面方程采用參數(shù)方程簡(jiǎn)單,或者只能采用參數(shù)方程表示,則只能采用參數(shù)方程的公式求面積;若所求曲面的類型為柱面的一部分,通常采用第一曲線積分的幾何意義求解,計(jì)算較為簡(jiǎn)單,而對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算,采用定積分的方法進(jìn)行求解.

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