談魔方對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)

周英鍇 管玉婷

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 350100)

1 魔方簡(jiǎn)介

圖1 三階魔方

三階魔方作為魔方中最為普遍的一種模型，是1974年魯比克教授發(fā)明的一種益智玩具．它總共有26個(gè)方塊，包含了6個(gè)中心塊、12個(gè)棱塊和8個(gè)角塊，其中，中心塊的相對(duì)位置不會(huì)改變，每個(gè)棱塊有兩種朝向，每個(gè)角塊有三種朝向(圖1)．

魔方起初被發(fā)明并不是作為一種益智玩具，而是為了教學(xué)．也就是說(shuō)，魔方最開(kāi)始是作為一個(gè)教具而存在的，魯比克教授用這種教具來(lái)輔助培養(yǎng)學(xué)生想象力的同時(shí)也對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行了訓(xùn)練．

魔方圈較為熟知的三階魔方還原方法有層先法、CFOP法、橋式法等等，而一般人要還原魔方則需要借助魔方還原公式和一定的想象能力.同時(shí)，即使有魔方公式，許多魔方愛(ài)好者也會(huì)思考如何用相對(duì)少的步驟去還原魔方，這也類似于數(shù)學(xué)中的“一題多解”，解法各不相同，但幾種解法通過(guò)對(duì)比就有較為簡(jiǎn)便的做法．另一方面，許多人也曾思考對(duì)于一個(gè)任意被打亂的三階魔方所需要的最少還原步驟，數(shù)學(xué)家們將其稱為“上帝之?dāng)?shù)”.這個(gè)問(wèn)題困擾了數(shù)學(xué)家三十多年，2010年8月，這個(gè)與數(shù)學(xué)交織而成的神秘的“上帝之?dāng)?shù)”終于水落石出.研究“上帝之?dāng)?shù)”的元老科先巴、新秀羅基奇以及另兩位合作者——戴維森和德斯里奇宣布了對(duì)“上帝之?dāng)?shù)”是20的證明．因此，魔方不僅僅是一種益智玩具，更與數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系，更重要的是，學(xué)生也可以通過(guò)接觸魔方提升所需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2 魔方模型在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

近年來(lái)，數(shù)學(xué)試題中不斷涌現(xiàn)與魔方相關(guān)的改編題，高考題中更不乏其身影．一些題目雖然沒(méi)有直接提到魔方，但是題中所呈現(xiàn)的模型卻與魔方有著緊密的聯(lián)系．

例1

(2019年全國(guó)II卷)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖2)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖3是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正多面體共有

個(gè)面，其棱長(zhǎng)為

．

圖2 圖3

題目中所出現(xiàn)的印信，在魔方中也可以找到模型與之對(duì)應(yīng)，混元魔方正是以圖3的印信為模型所創(chuàng)造的三階魔方的變種．如果學(xué)生對(duì)混元魔方有一定的接觸，那么我們利用其對(duì)稱性和幾何性質(zhì)，就可以幫助學(xué)生加深對(duì)模型的理解，從而更加直觀地得到幾何體的面數(shù)與棱長(zhǎng)．

例2

(2018年全國(guó)I卷)已知正方形的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面

α

所成的角都相等，則

α

截此正方體所得截面面積的最大值為( )．

圖4 斜轉(zhuǎn)魔方

此題的難點(diǎn)在于要得到題目所要求的截面，許多學(xué)生對(duì)于正方體截面的常規(guī)性認(rèn)識(shí)可能只停留在三角形與四邊形，認(rèn)為截面的邊數(shù)不可能再增加，因此得不到正確答案．而答案所呈現(xiàn)的正六邊形截面，實(shí)際上與斜轉(zhuǎn)魔方(圖4)的旋轉(zhuǎn)切割面是一致的，這無(wú)疑給接觸過(guò)斜轉(zhuǎn)魔方的學(xué)生在幾何想象方面提供了極大的便利．

上述兩個(gè)例子是依據(jù)魔方本身的幾何性質(zhì)和想象能力進(jìn)行考查的問(wèn)題.下面的例3則是將魔方與概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相聯(lián)系進(jìn)行考查，無(wú)疑對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求．

例3

現(xiàn)有一個(gè)復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，只可以轉(zhuǎn)動(dòng)最外側(cè)的六個(gè)表面，某人按規(guī)定將魔方隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，每次均順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，記頂面白色色塊的個(gè)數(shù)為

X

，求

X

的分布列以及數(shù)學(xué)期望

E

(

X

)．

分析 此題的關(guān)鍵在于明確轉(zhuǎn)動(dòng)后頂面白色色塊的剩余個(gè)數(shù)，如果熟悉魔方的轉(zhuǎn)動(dòng)，那就不難得到白色色塊的剩余個(gè)數(shù)總共有4種情況，也就是據(jù)此可得分布列與數(shù)學(xué)期望．

從例題中可以看到，雖然認(rèn)識(shí)這些魔方并不一定能直接得出題目的答案，但是卻能夠幫助學(xué)生加深對(duì)題目的理解，在一定程度上提供解題的思路．更重要的是，除了幫助學(xué)生解題，學(xué)習(xí)魔方的過(guò)程更是一種培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程，不僅可以幫助學(xué)生感悟數(shù)字與符號(hào)，更能提高學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知與想象能力．

3 魔方對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)

3.1 數(shù)感的培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了十個(gè)數(shù)學(xué)核心概念，數(shù)感就是其中之一，即對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟能力．在筆者看來(lái)，魔方中包含了許許多多的數(shù)字，最具代表性的就是魔方的變換總數(shù)，以三階魔方為例，其變換總共約有4.3×10種情況.那么這個(gè)數(shù)字是如何得到的呢？

以下是三階魔方的基本性質(zhì)，我們引入而不證明．

命題1 三階魔方在其他塊顏色朝向、位置均正確的情況下不可能單獨(dú)交換一對(duì)棱塊的位置．

命題2 三階魔方的任意7個(gè)角塊朝向確定后，第8個(gè)角塊的朝向也會(huì)被唯一確定．

命題3 三階魔方的任意11個(gè)棱塊朝向確定后，第12個(gè)棱塊的朝向也會(huì)被唯一確定．

實(shí)際上，三階魔方的變換總數(shù)為下面對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行解釋．根據(jù)命題2和每個(gè)角塊有3種朝向，可以得到角塊的朝向總數(shù)是3，再由角塊總數(shù)8得到8個(gè)角塊的全排列8!；根據(jù)命題3和每個(gè)棱塊有兩種朝向，可以得到棱塊的朝向總數(shù)為2；至于分子部分是12個(gè)棱塊的全排列，但是其中有一半的情況是只交換了一對(duì)棱塊，根據(jù)命題1，需要除以2．

如果學(xué)生能夠理解這個(gè)變換總數(shù)并且知道如何得到這個(gè)數(shù)，那么一方面他就明白了想要隨便轉(zhuǎn)動(dòng)幾下就還原一個(gè)充分被打亂的魔方是不可能的，這是一種對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)；另一方面，其對(duì)于數(shù)字運(yùn)算的敏感性也得到了培養(yǎng)．

學(xué)生在學(xué)習(xí)魔方的過(guò)程中可能對(duì)魔方的變換總數(shù)產(chǎn)生興趣，進(jìn)行數(shù)字的探索，并且在學(xué)生認(rèn)識(shí)到三階魔方的變換總數(shù)以及如何得出這個(gè)數(shù)字后，可能會(huì)產(chǎn)生更多的疑問(wèn)激勵(lì)他們思考：二階魔方的變化總數(shù)是多少？五階魔方的變換總數(shù)是多少？奇數(shù)階與偶數(shù)階魔方在計(jì)算變換總數(shù)方面有什么不同？可否得到一般公式直接代入計(jì)算得出任意階魔方的變換總數(shù)？這些問(wèn)題具有一定的挑戰(zhàn)性，但也促進(jìn)了學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)魔方的同時(shí)感受數(shù)字的奇妙.這不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的獲得，更是情感價(jià)值觀上的共鳴．

3.2 符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)

符號(hào)意識(shí)主要是指能理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律．符號(hào)意識(shí)既與數(shù)字有關(guān)，又與抽象素養(yǎng)有關(guān)．學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)，可以將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言．符號(hào)是一種特殊的表征方式，數(shù)學(xué)符號(hào)的使用和表達(dá)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)的重要方式．在數(shù)學(xué)中存在許多的公式，這些公式簡(jiǎn)潔清晰地表達(dá)了數(shù)學(xué)的內(nèi)容，簡(jiǎn)化了計(jì)算．為了使用這些公式，學(xué)生就需要清晰認(rèn)識(shí)公式中每個(gè)符號(hào)所代表的含義．

圖5

魔方在還原過(guò)程中，也存在公式的使用，我們以三階魔方CFOP頂層還原法中的一個(gè)公式為例．如圖5，魔方公式中的R′和R分別代表了魔方最右層逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°和順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，U′和U分別代表最頂層逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°和順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，U′2代表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°．

學(xué)生想通過(guò)公式還原魔方就必須理解這些字母所代表的含義，而這些字母與數(shù)學(xué)中的未知量、代數(shù)式有著一樣的本質(zhì)，它們都賦予了字母某種含義，通過(guò)學(xué)習(xí)魔方公式，就可以促進(jìn)學(xué)生理解未知數(shù)的含義．許多學(xué)生在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)方程時(shí)不理解未知數(shù)是什么，將其認(rèn)作沒(méi)有意義的字母，不能將其與數(shù)字聯(lián)系在一起，而有了魔方公式的基礎(chǔ)，就能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到未知數(shù)的真正本質(zhì)．而且學(xué)生在接觸魔方公式時(shí)也能認(rèn)識(shí)到運(yùn)用符號(hào)帶來(lái)的簡(jiǎn)化與直觀，并將這種思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)便性和直觀性．

3.3 直觀想象的培養(yǎng)

直觀想象是通過(guò)幾何直觀和空間想象來(lái)感知圖形的變化的一種素養(yǎng)．由于學(xué)生在還原魔方時(shí)需要對(duì)棱塊、角塊進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，而轉(zhuǎn)動(dòng)后的魔方不僅棱塊、角塊位置會(huì)發(fā)生變化，每個(gè)色塊的顏色朝向也可能發(fā)生變化，因此在還原魔方的過(guò)程中就需要對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)后的棱塊、角塊朝向、位置進(jìn)行想象和預(yù)判，這正是直觀想象素養(yǎng)中所指出的空間想象能力．在魔方復(fù)原的過(guò)程中，某些面不能完全被看到，只能通過(guò)反復(fù)的空間想象、空間圖形的分解與組合來(lái)判斷下一步的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，這就要求操作者不僅要認(rèn)識(shí)空間幾何圖形，還要能夠?qū)唧w的圖形進(jìn)行解剖．魔方的還原基于想象及空間感知能力的發(fā)揮，需要在大腦中對(duì)三維圖形進(jìn)行變換．如果想更加直觀地認(rèn)識(shí)魔方的還原，則需要用符號(hào)或者圖形來(lái)表示還原魔方的步驟，將符號(hào)與圖形相聯(lián)系，這不僅僅需要學(xué)生認(rèn)識(shí)魔方，更需要空間想象能力來(lái)感知立體圖形的變化．?dāng)?shù)學(xué)中存在三種語(yǔ)言，即符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言，我們常常需要對(duì)這三種語(yǔ)言進(jìn)行互化，而魔方通過(guò)符號(hào)代表圖形轉(zhuǎn)動(dòng)，用圖形轉(zhuǎn)動(dòng)認(rèn)識(shí)符號(hào)，一方面幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言，另一方面提升學(xué)生的語(yǔ)言互化能力．實(shí)際上，魯比克教授發(fā)明魔方正是為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，幫助學(xué)生理解三維問(wèn)題．

魔方對(duì)想象力的培養(yǎng)更是直接體現(xiàn)在了魔方的比賽項(xiàng)目和規(guī)則之中，例如在選手拿到魔方后會(huì)有一定的觀察時(shí)間，目的是為了讓選手依據(jù)自己的想象力在腦海中形成還原步驟，步驟越簡(jiǎn)單，復(fù)原所需的時(shí)間也就越短．同時(shí)魔方的比賽項(xiàng)目中有一項(xiàng)稱為盲擰，顧名思義是觀察之后不再借助視覺(jué)對(duì)魔方進(jìn)行還原，這就要求選手最初對(duì)魔方進(jìn)行觀察和編碼記憶，按照所編排的數(shù)字順序還原魔方．這個(gè)過(guò)程不僅考驗(yàn)了記憶，更需要在大腦中想象魔方方塊的位置變化．可以說(shuō)，無(wú)論是魔方的設(shè)計(jì)、還原方法還是規(guī)則，都與空間想象能力有著密不可分的聯(lián)系．

3.4 轉(zhuǎn)化化歸的培養(yǎng)

學(xué)生在學(xué)習(xí)魔方的時(shí)候，一般是以三階魔方為基礎(chǔ)，基于自身的興趣，之后可能會(huì)去接觸二階魔方、四階魔方或者更多高階魔方，它們的還原方法都要基于三階魔方.以四階魔方為例，其需要事先拼好中心塊和棱塊，從而轉(zhuǎn)化為三階魔方的形式，此方法在魔方中稱為降階法．這種學(xué)習(xí)思想與數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化化歸思想有異曲同工之妙，都是通過(guò)觀察、分析、類比等方法將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原本熟悉的問(wèn)題，而且這種思想在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中尤為常見(jiàn).例如解方程時(shí)出現(xiàn)了較高的次數(shù)，直接求解難度較大，就可以考慮是否能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為低次方程，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．

例4

解方程

x

(

x

+2)-

x

-2

x

-6=0．分析 這是一個(gè)四次方程，觀察到-

x

-2

x

=-

x

(

x

+2)，因此令

y

=

x

(

x

+2)，就得到二次方程

y

-

y

-6=0．從而解得

y

=3，

y

=-2，再將其代回

y

=

x

(

x

+2)，解得

x

=1，

x

=-3．

在魔方旋轉(zhuǎn)中，經(jīng)常要把一些陌生的類型轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的類型，從而找到解決問(wèn)題的方法．因此學(xué)生在還原魔方時(shí)，可以將陌生的情況轉(zhuǎn)化為自己熟悉的情況從而達(dá)到還原魔方的目標(biāo)．轉(zhuǎn)化化歸思想不僅體現(xiàn)在一個(gè)魔方的還原過(guò)程中，還體現(xiàn)在不同種類魔方之間的轉(zhuǎn)化．魔方的種類繁多，不僅包含三階、四階魔方，還包含了金字塔魔方、鏡面魔方、移棱魔方等等，這些魔方的還原思想都與三階魔方有著緊密的聯(lián)系.例如鏡面魔方是三階魔方的變種，它的結(jié)構(gòu)跟三階魔方一樣也有26個(gè)塊，但是每個(gè)塊的大小都不一樣，這個(gè)時(shí)候只需要把26個(gè)不一樣大小的色塊分別對(duì)應(yīng)三階魔方中26個(gè)不一樣顏色的色塊，就可以類比轉(zhuǎn)化為三階魔方進(jìn)行復(fù)原．可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)化思想對(duì)于魔方的復(fù)原來(lái)說(shuō)十分重要，學(xué)生在魔方的學(xué)習(xí)中意識(shí)到復(fù)雜的魔方可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，按照簡(jiǎn)單魔方的思路進(jìn)行還原，由此學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸素養(yǎng)得到培養(yǎng)．在數(shù)學(xué)中我們也常常需要舉一反三和類比轉(zhuǎn)化，由一般的例子過(guò)渡到特殊的例子，理解兩者之間的聯(lián)系，加深對(duì)例子的理解．

例5

求的最值．分析 此題若應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解答，雖然也可以算出結(jié)果，但是過(guò)程較為復(fù)雜，計(jì)算步驟容易出錯(cuò)．觀察題目可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)的形式與斜率的計(jì)算公式十分相似，斜率的計(jì)算公式為類比斜率的計(jì)算公式，可以將題目轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)

A

(-sin

x

,cos

x

)與定點(diǎn)

B

(3,2)所連直線的斜率的最值．實(shí)際上，這與本文提到的鏡面魔方通過(guò)類比三階魔方進(jìn)行復(fù)原的思想是一致的，都是將陌生、復(fù)雜的事物與先前熟悉、簡(jiǎn)單的事物進(jìn)行類比，從而轉(zhuǎn)化為熟知問(wèn)題的思想．

4 結(jié)語(yǔ)

魔方對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅是一種益智玩具，更是發(fā)展學(xué)生所需數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)有力工具．因此，教師可以適當(dāng)向?qū)W生介紹魔方與數(shù)學(xué)的關(guān)系，著眼于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生在了解魔方的同時(shí)也掌握其中所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)，這不僅可培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好，也可有意識(shí)地促進(jìn)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．