對(duì)一道源自課本的高考試題的再探究

周長(zhǎng)春

(北京市第二中學(xué) 100010)

2016年浙江省高考數(shù)學(xué)理科卷第15題為：已知向量，，||=1，||=2，若對(duì)任意單位向量，均有則·的最大值是

．

文[1]對(duì)該題進(jìn)行了深入的探究，不僅給出了5種不同的解法，而且得到了3個(gè)一般化的結(jié)論，讀后讓人深受啟發(fā).筆者對(duì)該題“再”探究，思考如下問題：

①該題還有沒有別的解法？

②如果將改為|·|(其他條件不變)，又該如何求解？即如何求(|·|+|·|)？

③將②推廣到一般情形后的結(jié)論又是怎樣的？

筆者通過挖掘|·|+|·|的幾何意義，借助幾何直觀，得到如下解決過程．

1 利用幾何意義求解

(1)構(gòu)造|·|+|·|的幾何意義設(shè)與的夾角為

θ

，，與的夾角分別為

θ

，

θ

，則·=2cos

θ

，因?yàn)榍蟮氖恰さ淖畲笾?，故只考慮又因?yàn)楫?dāng)

θ

=0時(shí)，取與,同向，則故只考慮

圖1

如圖1，過點(diǎn)

O

作將繞點(diǎn)

O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，繞點(diǎn)

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，分別得到向量分別作點(diǎn)

C

,

D

關(guān)于點(diǎn)

O

的對(duì)稱點(diǎn)

E

,

F

,則四邊形

CDEF

為平行四邊形.當(dāng)在∠

EOF

內(nèi)(含邊界)時(shí)，延長(zhǎng)

MO

交

CD

于點(diǎn)

P

,記∠

OPC

=

α

,故|·|+|·|=這就是|·|+|·|的幾何意義.(2)求|·|+|·|的最大值下面利用|·|+|·|的幾何意義求 |·|+|·|的最大值.當(dāng)在∠

EOF

內(nèi)(含邊界)時(shí)，當(dāng)時(shí)取“=”，事實(shí)上，此時(shí)與+共線.當(dāng)在∠

COD

內(nèi)(含邊界)時(shí),由對(duì)稱性知當(dāng)在∠

COF

或∠

EOD

內(nèi)時(shí),同理知易知△

AOB

≌△

EOD

,所以所以在△

AOB

與△

COD

中,由知故此時(shí)綜上，因此原題題意等價(jià)于即·的最大值是.

下面考慮和的情形.

易知

當(dāng)時(shí)，

圖2

當(dāng)時(shí)，如圖所以(|·|+|·|)事 實(shí)上，此時(shí)與-共線).由以上分析可知，對(duì)任意給定的

θ

∈(0,π)，=max{|+|,|-|}.當(dāng)

θ

=0或

θ

=π時(shí)，上述結(jié)論也成立.因此，將問題一般化，利用|·|+|·|的幾何意義可得出如下結(jié)論：設(shè)，為非零向量，則對(duì)任意單位向量，有(|·|+|·|)=max{|+|,|-|}.設(shè)，為非零向量，||=

m

，||=

n

，利用上面的方法很容易得到文[1]的3個(gè)結(jié)論，這里就不贅述了.

2 幾何意義的應(yīng)用

(1)變式探究

(變式)已知向量，，||=1，||=2，若對(duì)任意單位向量，均有則·的最大值是

．對(duì)任意單位向量，均有因此需要求(|·|+|·|).若

θ

∈(0,π)，如圖1，當(dāng)在∠

EOF

內(nèi)(含邊界)時(shí)，因?yàn)樗浴?p>ODC

<∠

OCD

,sin∠

ODC

OCD.

當(dāng)點(diǎn)

P

與點(diǎn)

D

重合，即與同向時(shí)(此時(shí)當(dāng)在∠

COD

內(nèi)(含邊界)時(shí),由對(duì)稱性知(|·|+|·|)=sin

θ.

當(dāng)在∠

COF

或∠

EOD

內(nèi)時(shí)，同理知故當(dāng)⊥時(shí)，(|·|+|·|)=sin

θ.

若

θ

=0或π，則當(dāng)⊥時(shí)，(|·|+|·|)=0=sin

θ.

綜上，(|·|+|·|)=sin

θ.

對(duì)于上面的變式，因此即·的最大值是

此題如果不采取上述方法，解決起來往往非常麻煩，有興趣的讀者不妨一試.

(2)推廣探究

將上述變式推廣到一般情形，筆者經(jīng)過探索得到了如下一系列結(jié)論：

結(jié)論1

已知非零向量,，||=

m

，||=

n

(

m

≤

n

)，與的夾角為

θ

，為任意單位向量，則當(dāng)且僅當(dāng)⊥時(shí)，(|·|+|·|)=

m

sin

θ.

結(jié)論2

已知非零向量，，||=

m

，||=

n

(

m

≤

n

)，若對(duì)任意單位向量，均有|·|+ |·|≥

r

，其中

r

為正常數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)

r

≤

m

時(shí)，，存在.

結(jié)論3

已知非零向量，，||=

m

，||=

n

(

m

≤

n

)，若對(duì)任意單位向量，均有|·|+ |·|≥

m

，則⊥

.

結(jié)論4

已知非零向量，，||=

m

，||=

n

(

m

≤

n

)，若對(duì)任意單位向量，均有|·|+ |·|≥

r

，其中常數(shù)

r

∈(0,

m

)，則·的取值范圍為

這些結(jié)論的證明方法與上述變式求解過程完全相同，這里略去.

本文是對(duì)一道源自課本的高考試題的“再”探究.在探究過程中，一方面強(qiáng)調(diào)換個(gè)角度思考，深入挖掘|·|+|·|的幾何意義，借助幾何直觀、數(shù)形結(jié)合來解決問題；另一方面強(qiáng)調(diào)變式，并試著做一般化處理.在平時(shí)教學(xué)中，教師如果能在引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題(一題多解)以及對(duì)題目進(jìn)行變式求解(一題多變)方面多花功夫，對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，是大有裨益的.

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