數(shù)學運算素養(yǎng)視角下高中生思維敏捷性的培養(yǎng)策略

唐 蕾 唐笑敏

(湖州師范學院教師教育學院 313000)

1 引言

數(shù)學是一門高度形式化、抽象性和精準性的學科，同時也具有廣泛的應用性，所以數(shù)學教學應該深入到學生的數(shù)學能力和思維方式層面．數(shù)學學科的核心素養(yǎng)和思維品質(zhì)之間有著密切聯(lián)系，兩者的培養(yǎng)和發(fā)展是相輔相成的．數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，反映了學生數(shù)學學習所需的六種關(guān)鍵能力．數(shù)學思維品質(zhì)是數(shù)學思維活動中個體差異性的體現(xiàn)，即數(shù)學思維水平、關(guān)鍵能力的差異，同時也能體現(xiàn)出學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展水平的差異．數(shù)學思維是學生分析、理解數(shù)學現(xiàn)象，解決數(shù)學問題的著力點，以課堂教學為平臺來培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，本質(zhì)上也是從思維層面系統(tǒng)而完整地發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)．因此，在教學中可以將思維品質(zhì)作為突破口，通過培養(yǎng)和塑造學生良好的數(shù)學思維品質(zhì)，來發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)．

在課堂教學和平時練習中，教師和學生往往容易輕視存在于運算中的阻礙，但“不會算”和“算不對”通常是導致學生最終無法解決問題的關(guān)鍵因素．數(shù)學運算素養(yǎng)的發(fā)展并不是簡單機械的技能訓練，而是運算技能和邏輯思維的有效整合，所以在發(fā)展學生數(shù)學運算素養(yǎng)的過程中不能忽略思維的作用，其中最為關(guān)鍵和直接的就是思維敏捷性．

2 數(shù)學運算素養(yǎng)與思維敏捷性

圖1

數(shù)學運算可以用于解決各類數(shù)學問題．高中階段的運算過程遠不是加減乘除那樣簡單，它涉及到知識的綜合運用、數(shù)據(jù)處理的方法和嚴謹?shù)目茖W精神等，學生在經(jīng)歷了這一系列數(shù)學化的活動之后所積淀和升華的產(chǎn)物就是數(shù)學運算素養(yǎng)．目前數(shù)學教育將其界定為在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．數(shù)學運算主要表現(xiàn)為理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路和求得運算結(jié)果．思維敏捷性是指在思維過程具有減縮性、快速性的同時，也要能夠保證思維結(jié)果的準確性．它不僅是對思維速度的衡量，也是對思維效度的要求，并能夠在數(shù)學運算中起到至關(guān)重要的推動作用(圖1)．

2.1 理解運算對象：捕捉關(guān)鍵信息

理解運算對象是運算的基礎(chǔ)，即明確在問題中需要對誰進行運算，包括了解運算對象的背景、理解運算對象的本質(zhì)、掌握相關(guān)數(shù)學思想以及具有關(guān)聯(lián)性的概念等．高中階段數(shù)學運算對象不僅類型多，而且難以理解，更需要學生反應迅速，“數(shù)感”靈敏，抓住問題的關(guān)鍵，才能理解為什么要這樣做．

有時候?qū)W生無法解得正確答案，不是因為沒有解題思路，而是對運算對象內(nèi)涵的理解出現(xiàn)偏差，浮于表面．例如，若存在大于零的常數(shù)

T

，使得函數(shù)

y

=

f

(

x

)滿足

f

(2

x

+

T

)=

f

(2

x

)，求函數(shù)

y

=

f

(2

x

)的一個正周期．許多學生的答案是

T

，出現(xiàn)這樣錯誤的原因在于沒有真正理解周期函數(shù)的定義．教材對周期函數(shù)的定義為“對函數(shù)

f

(

x

)，如果存在一個非零常數(shù)

T

，使得當

x

取定義域內(nèi)的每一個值時，都有

f

(

x

+

T

)=

f

(

x

)，那么函數(shù)

f

(

x

)稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)

T

叫做這個函數(shù)的周期．”這里的關(guān)鍵信息是

x

，即它所代表的自變量．思維敏捷性較強的學生能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)這一要點，在處理函數(shù)

y

=

f

(2

x

)時，依然能夠確保自變量為

x

，而非2

x

．

2.2 掌握運算法則：及時反思內(nèi)化

運算法則是數(shù)學運算的根本，決定運算過程的繁簡和結(jié)果的正誤．數(shù)學運算法則的表達形式和使用方式并非一成不變，不能生搬硬套，所以應當讓學生領(lǐng)會其本質(zhì)，在充分理解和掌握的基礎(chǔ)上靈活應用．思維敏捷性較好的學生會及時反思，這對學習主體深化認知是非常重要的，并且能將反思結(jié)果付諸于實踐，以達到調(diào)節(jié)控制的目的．反思的過程并不會暫緩思考的進程，反而會使得思路更加暢通．

學生通過診斷運算中的問題或阻礙，吸取教訓，實現(xiàn)對運算法則的深入理解、熟悉和掌握．例如，已知數(shù)列{

a

}的前

n

項和為

S

，

a

=1，

S

=2

a

+1，求

S

的值．按照常規(guī)操作過程，利用公式法運算會造成錯誤解答．當

n

=1時，

S

=2

a

，則當

n

≥2時，

a

=

S

-

S

-1=2

a

+1-2

a

，則于是求得數(shù)列{

a

}是首項為1、公比為的等比數(shù)列，從而這看似符合邏輯，實則不然，那么問題究竟出在哪里？思維敏捷的學生會思考，僅僅當

n

≥2時，滿足的數(shù)列{

a

}不一定是等比數(shù)列；在運算過程中忽視了

n

=1與

n

≥2這兩種情況下數(shù)列前后項關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)．在反思后，學生對“已知數(shù)列前

n

項和求通項”的運算法則就會有更加深刻的理解和掌握．

2.3 探究運算思路：鎖定最佳方案

運算思路是運算操作的指示圖，本身應當具備邏輯性．普通高中數(shù)學課程標準強調(diào)運算思路的重要性，并將其與程序思想相結(jié)合，進一步發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，要求能夠設計、理解運算程序，并運用程序思想理解和表達問題．

當前教學由于時間所限，通常會采用“包辦”式教學模式，導致大多數(shù)學生的運算思路受到限制，缺少自主探究的機會．思維敏捷性可以幫助學生在遇到問題時，將與問題有關(guān)的數(shù)字信息自動聯(lián)結(jié)，激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，形成通暢的思維“通道”，甚至是非常規(guī)的路．這不僅可以避免思路的停滯不前，還省去繁瑣的邏輯推理過程，從而保證思維快速、高效運轉(zhuǎn)．例如，求解方程tan

x

+ cot

x

=1.5，可以繞過繁瑣的三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換與計算，而從等式本身的矛盾出發(fā)解決問題．因為tan

x

和cot

x

在定義域內(nèi)互為倒數(shù)，而一個正數(shù)與其倒數(shù)之和不小于2，一個負數(shù)與其倒數(shù)之和不大于-2，所以tan

x

+cot

x

=1.5無解，從而省去復雜的計算過程．

2.4 求得運算結(jié)果：綜合能力素養(yǎng)

數(shù)學運算的最終目的是得到準確結(jié)果，這需要多方因素的合力促成．所以數(shù)學運算素養(yǎng)是一種綜合性素養(yǎng)，其內(nèi)在是知識、能力、思維以及情感態(tài)度的綜合體，而外在又以其他素養(yǎng)為依托．例如，可以通過數(shù)據(jù)分析或數(shù)學建模對問題中的運算對象進行分析，在設計運算思路時必然會用到邏輯推理等．同樣，思維敏捷性并不完全獨立存在，而是以其他思維品質(zhì)為必要前提，也是其他思維品質(zhì)高度發(fā)展的體現(xiàn)．例如，思維深刻性和廣闊性為思維活動能夠觸及到的目標問題拓展了空間，批判性體現(xiàn)了思維活動較強的自我認識和監(jiān)控能力，靈活性和批判性使學生在擁有廣闊思維方向的同時又能篩選出新穎的最佳方案．在整個思維活動過程中，由于這些思維品質(zhì)的共同作用，思維的減縮性、快速性和準確性得以體現(xiàn)，所以思維敏捷性也并不表現(xiàn)為一個獨立的過程．因此，思維敏捷性可以幫助調(diào)動和協(xié)調(diào)運算過程所需的多種因素，以得到最終準確的結(jié)果．

例如，在求sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°的值時，通過觀察和簡單嘗試可以發(fā)現(xiàn)已知的特殊三角函數(shù)值并不能直接解決這一問題，關(guān)鍵在于度數(shù)的變化，需利用二倍角公式、和差化積公式等探尋原式的內(nèi)涵關(guān)系．

思路1 采用整體性思想，整體配對，設

a

=sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°，

b

=cos 10° cos 30°·cos 50° cos 70°，由二倍角公式可得從而

思路2 50°=60°-10°，70°=60°+10°，由和差角公式，原式10°+sin 10°)，得sin 10° sin 30°·sin 50° sin 70°的值為

在解題過程中，學生要擁有足夠的知識儲備，熟悉此類題型的解題技巧以及較強的運算能力，通過敏捷性靈活調(diào)控，完成解題過程．

3 培養(yǎng)策略

數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，是鍛煉學生思維的過程．思維敏捷性訓練要特別關(guān)注思維起點、思維路徑和思維進程，就是要實現(xiàn)思維啟動快、思路廣、運行短這三個目標．例如，在△

ABC

中，點

D

在線段

BC

上，

BD

=

AD

，求的值．當看到這個題目時，能夠聯(lián)想到三角函數(shù)和向量等相關(guān)知識，可采用三角法、平面幾何法、解析法和向量法等，從而迅速找到解題所需概念和方法．在確定起點和方向之后，起點與終點仍有較遠距離，那么思維是否能夠行駛最短航線，這是決定思維速度的關(guān)鍵所在．

3.1 思維起點：加快思維啟動速度

運用數(shù)學運算解決問題要從搜集和整合信息開始，一方面要在問題中尋找突破口，另一方面要在大腦中提取相關(guān)內(nèi)容．學生對問題信息的反應速度是體現(xiàn)思維敏捷性的重要標志．要使學生的思維在面對眾多信息時能夠快速啟動，這需要培養(yǎng)學生抓住關(guān)鍵、提綱挈領(lǐng)的能力．

首先，關(guān)鍵信息是反映數(shù)量關(guān)系的“紐帶”，是解決問題的突破口．面對問題時，學生的思維要“輕裝上陣”，精簡思緒，集中注意力于關(guān)鍵信息．教師可以引導學生養(yǎng)成勾畫關(guān)鍵信息、人為突出重點的習慣，也可以利用數(shù)形結(jié)合或構(gòu)建數(shù)量圖表的方式，直觀反映數(shù)量之間的關(guān)系．其次，要想做到快速提取，就要優(yōu)化學生的知識存儲結(jié)構(gòu)，在教學中要有意識地指導學生用結(jié)構(gòu)圖、思維導圖、程序圖以及表格等多種形式來對所學的知識進行系統(tǒng)的整理，使知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡化、系統(tǒng)化．這不僅要注意知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，還要把握知識之間的層次邏輯關(guān)系，并給知識網(wǎng)絡留下延伸的空間．例如，求解數(shù)列求和問題的一般方式是通過變形，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，或轉(zhuǎn)化為其他常見的、已知公式的數(shù)列問題．最基本的方法就是直接利用公式求和，還有分組求和法、裂項相消法、錯位相減法等．在教學中，教師要讓學生理解這些方法的本質(zhì)和特性以及這些方法間的聯(lián)系，在解決問題中善于總結(jié)所用方法，并在實踐與解決問題的過程中探索新方法．

3.2 思維路徑：開辟思維多向通道

學生反應遲鈍，解決問題緩慢，常常表現(xiàn)在對問題無從下手、思維局限、沒有思考的方向．學生有“法”可循，有“路”可行，方有敏捷性可言．選擇一條正確合適的思維路徑，一是需要有創(chuàng)新意識，沒有一種方法是可以一勞永逸解決所有問題的．例如，通過一題多解的訓練，可以開拓學生的思路，教師在教學中可以給學生預留部分空間和時間，讓學生自主探究和生成，激發(fā)學生創(chuàng)造性解決問題的能力．二是需要在思考過程中做出判斷，及時調(diào)整策略，通過反思不斷優(yōu)化思維過程．反思監(jiān)控是一種思維能力，更是一種情感態(tài)度，讓學生養(yǎng)成監(jiān)控運算過程的習慣，不僅能有效提高學生的思維敏捷性，更能幫助學生形成嚴謹求實、一絲不茍的科學精神．

例如，設(

x

-

x

+1)=

a

x

+

a

x

+…+

a

x

+

a

，求

a

+

a

+…+

a

+

a

的值．觀察題目信息，直接將(

x

-

x

+1)展開，按要求進行計算可得到答案，但計算量、計算難度和式子的復雜程度對學生的能力都是極大考驗，并不能稱之為最佳方法．在“算不下去”的情況下，引導學生思考所給等式左右兩端有什么特點？能否給

x

賦予特殊的值，使式子變得簡單？撇開之前的方法，開啟新的思路，不難發(fā)現(xiàn)所要求的式子是以和的形式出現(xiàn)的偶數(shù)次冪的項的系數(shù)，可以將其看作一個整體來求值，沒有必要得出各自的值再相加，依據(jù)條件，通過給

x

賦特殊的值，可以得到

a

,…,

a

的不同的等量關(guān)系．

3.3 思維進程：縮短思維運轉(zhuǎn)時間

思維過程通常會出現(xiàn)許多轉(zhuǎn)換點，影響思維進程快慢曲折的關(guān)鍵就是這些轉(zhuǎn)換點．在數(shù)學活動中思維敏捷性表現(xiàn)為能縮短運算環(huán)節(jié)和推理過程，“直接”得出結(jié)果．這一方面體現(xiàn)在學生思維的熟練程度上，另一方面體現(xiàn)在學生的概括能力上．

思維定向訓練不等同于形成思維定勢．它通過訓練讓學生在遇到問題時善于思考，并能夠?qū)⑦^程中的要點進行分析，整理已知條件，盡快形成明確的解題思路，以提升學生解決問題的熟練程度．思維定向訓練猶如航行中的地圖，讓學生預先了解在這段思維進程中，哪里有“彎道”，哪里有“陷阱”，哪里有“捷徑”，從而略過簡單機械的步驟，避免可能出現(xiàn)的錯誤，縮短思維運轉(zhuǎn)時間．例如，求解排列組合應用問題的基本思想是先對問題分類，然后在每一類中分步，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，計算各類的數(shù)目，最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理計算總數(shù)目．對較為復雜的排列組合題目，要對問題進行分解，應用加法原理或乘法原理來解決，一般遵循“先組合后排列”的原則．

克魯捷茨基說：“能‘立即’進行概括的學生也能‘立即’進行推理的縮短．”概括能力使得學生可以略過一些非必要的思考或運算過程，“直接”得出答案．例如，解方程不采用去分母解方程的方法，比較等式左右兩邊，可以發(fā)現(xiàn)等式成立必然要滿足求解之前的方程等價于求解這個方程，運算過程自然會簡便．

4 總結(jié)

在數(shù)學學習過程中，學生主要依靠數(shù)學思維來思考和解決問題．數(shù)學思維品質(zhì)就是思維主體在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出的個性差異．因而個體的思維品質(zhì)必然會影響到個體本身數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展．在這種情況下，可以通過對學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，達到促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的目的．數(shù)學運算是數(shù)學活動不可或缺的重要組成部分，思維敏捷性助力于數(shù)學運算素養(yǎng)的發(fā)展，在理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結(jié)果等環(huán)節(jié)中起到了重要作用．為了培養(yǎng)學生思維的敏捷性，需要遵循思維展開的過程，從思維起點、路徑和進程入手，有針對性地進行訓練，使思維達到快速、減縮、準確的要求．無論是素養(yǎng)的發(fā)展還是思維的培養(yǎng)都是一個長期的過程，都需教師細心栽培，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維品質(zhì)，為學生的全面發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)．