基于倒向隨機(jī)微分方程理論的可分離債券定價(jià)

苗 杰

(廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州 510303)

0 引言

可分離債券的全稱叫做認(rèn)股權(quán)和債券分離交易的可轉(zhuǎn)換公司債券，它是指上市公司在發(fā)行公司債券的同時(shí)附有認(rèn)股權(quán)證，是公司債券加上認(rèn)股權(quán)證的組合產(chǎn)品，但同時(shí)具有債券和認(rèn)股權(quán)證可分離交易的特性。2006 年11 月13 日，馬鋼股份公司發(fā)行了我國第一只可分離債券，隨后，武鋼、唐鋼等幾十家上市公司紛紛發(fā)行了可分離債券。因此，可分離債券成為時(shí)下“有實(shí)力”上市公司重要的再融資方式之一，這充分表明了可分離債券是金融市場(chǎng)中不容忽視的一種新型金融工具。對(duì)于發(fā)行者和投資者來說，最關(guān)心的是可分離債券的定價(jià)問題。國內(nèi)很多學(xué)者對(duì)可分離債券的定價(jià)進(jìn)行了研究，例如：魯欣[1]、朱丹[2]、苗杰和師恪[3]用Black-Scholes(B-S)期權(quán)定價(jià)加債券的方式得到了可分離債券的定價(jià)模型。隨后，考慮到可分離債券上市后被分為認(rèn)股權(quán)證和債券，對(duì)股權(quán)具有稀釋作用，李少華等[4]用稀釋效應(yīng)的B-S 模型對(duì)可分離債券進(jìn)行了定價(jià)。由于非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的影響，股價(jià)會(huì)發(fā)生不平常的跳躍。于是，苗杰等[5–6]研究了跳擴(kuò)散模型下的可分離債券的定價(jià)。為了捕捉資產(chǎn)價(jià)格的長期相關(guān)、尖峰后尾等性質(zhì)，陳飛躍[7–8]分別在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下得到了可分離債券更一般的定價(jià)公式?？紤]到股價(jià)的不連續(xù)波動(dòng)性及長期依賴性，戴海望[9]在分?jǐn)?shù)擴(kuò)散模型和Ornstein-Uhlenback 過程模型下研究了可分離債券的定價(jià)。由于國內(nèi)市場(chǎng)長期以來存在著不同程度的投資組合約束，使得可分離債券與可轉(zhuǎn)債在價(jià)格差異上更明顯。因此，胡昌生等[10]在投資組合約束下，從結(jié)構(gòu)化模型角度對(duì)可分離債券進(jìn)行定價(jià)。上述這些方法都是以隨機(jī)分析中的鞅表示定理和Gisanov 定理作為研究工具，利用到期現(xiàn)金流折現(xiàn)的方法來實(shí)現(xiàn)的，盡管它們有著很多的優(yōu)點(diǎn)，然而模型的缺陷也是眾所周知的。近年來，隨著倒向隨機(jī)微分方程理論的迅速發(fā)展，Pardoux 和Peng[11]首先研究了倒向隨機(jī)微分方程的適應(yīng)解。Peng[12]通過倒向隨機(jī)微分方程得到了非線性Feynman-Kac 公式。接著，Karoui 等[13]研究了倒向隨機(jī)微分方程的各種性質(zhì)，并把它們用到金融中，從而為金融產(chǎn)品的定價(jià)開辟了一條新的途徑[14–15]。因此，本文從一個(gè)全新的角度出發(fā)，用倒向隨機(jī)微分方程的理論來研究可分離債券的定價(jià)，并得到可分離債券的定價(jià)模型。

1 基本假設(shè)

2 定價(jià)模型

我們把(16)式帶入(15)式，得到(14)式，由倒向隨機(jī)微分方程的唯一性可得Vt=u(St，t)，于是可分離債券在0 時(shí)刻的價(jià)格V0=u(S0，0)。

N(·)表示一維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，具體證明參見文獻(xiàn)[3]。

3 實(shí)證分析

在定理4 中，我們得到了可分離債券的定價(jià)模型。為了驗(yàn)證此模型的優(yōu)越性，我們以馬鋼可分離債券為例進(jìn)行實(shí)證分析，基本信息如表1 所示。

表1 馬鋼可分離債券的基本信息

從表1 得到模型(23)中的部分參數(shù)值分別為S0=3.32，a=23，b=1，T1=2，T2=5，K= 3.4，h= 0.014。由于認(rèn)股權(quán)證和債券的期限不同，所以我們分別采用2006 年銀行兩年期定期存款利率r1= 0.030 6，和五年期定期存款利率r2= 0.041 4。為了估計(jì)模型(23)中的股票波動(dòng)率，我們采用從2004 年11 月1 日至2006 年11 月12 日馬鋼股票每個(gè)交易日的收盤價(jià)格，共448 個(gè)數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源于國泰安數(shù)據(jù)中心)，計(jì)算其歷史波動(dòng)率。方法如下，設(shè)

從表2 可以看出，模型(23)得到的可分離債券的理論價(jià)值比文獻(xiàn)[1，3]得到的更接近于實(shí)際價(jià)值。因此，本文得到的可分離債券的定價(jià)模型(23)更合理。

表2 馬鋼可分離債券的價(jià)值

4 結(jié)論

倒向隨機(jī)微分方程在金融市場(chǎng)上具有很重要的價(jià)值，它為金融產(chǎn)品的定價(jià)開辟了一條新的路徑。以往的文獻(xiàn)對(duì)可分離債券的定價(jià)都是以隨機(jī)分析中的鞅表示定理和Gisanov 定理作為研究工具，利用到期現(xiàn)金流折現(xiàn)的方法來實(shí)現(xiàn)的。而本文用倒向隨機(jī)微分方程理論研究了可分離債券的定價(jià)，利用Feynman-Kac 公式，得到了可分離債券在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)格就是所滿足的倒向隨機(jī)微分方程的解。