基于混合有限差分格式的非線性奇異攝動(dòng)問題的最大范數(shù)的后驗(yàn)誤差估計(jì)

包小兵， 劉利斌， 梁治芳

(1. 池州學(xué)院大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院，安徽 池州 247000;2. 南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530299)

0 引言

眾所周知，奇異攝動(dòng)問題廣泛存在于自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，如Navier-Stokes 方程、油藏模擬、量子力學(xué)、最優(yōu)控制等。這類問題所對應(yīng)的微分方程的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)包含正的攝動(dòng)參數(shù)。一般情況下，這類問題很難求出精確解，尤其是非線性的問題。因此，研究奇異攝動(dòng)問題的數(shù)值方法顯得非常的重要。

基于此，本文考慮如下帶參數(shù)的一階非線性奇異攝動(dòng)問題

其中0＜ε ?1，λ是待求的參數(shù)，A和B是已知的常數(shù)。假設(shè)函數(shù)f(x，u(x)，λ)∈C1(Ω×R2)，且存在常數(shù)α、b*、m1、M1，使得

由條件(2)和(3)可知，問題(1)存在唯一解。當(dāng)ε →0 時(shí)，問題(1)的解在x= 0 處存在邊界層。

近十多年來，帶參數(shù)的奇異攝動(dòng)問題數(shù)值方法的研究引起了許多學(xué)者的興趣。Amiraliyev 和Duru[1]在Shishkin 網(wǎng)格上構(gòu)造了問題(1)的有限差分方法，并證明了離散格式是幾乎一階收斂。接著，Amiraliyev 等[2]進(jìn)一步證明了在Bakhvalov 網(wǎng)格下的有限差分法是一階收斂的。Cen[3]針對問題(1)，在Shishkin 網(wǎng)格下提出了一種混合的有限差分格式，并證明了離散格式是幾乎二階收斂的。Wang 等[4]提出了一種數(shù)值求解問題(1)的高精度的重心有理譜方法，但是沒有給出任何理論分析。在文獻(xiàn)[5]中，Kudu 將問題(1)的邊界條件改成了積分邊界條件，并在Bakhvalov 網(wǎng)格下證明了有限差分離散格式是一階一致收斂的。顯然，上述大部分方法屬于奇異攝動(dòng)問題的層適應(yīng)網(wǎng)格方法。該方法構(gòu)造簡單，且比較容易分析其收斂性，但是該方法要求給出解的先驗(yàn)信息。

相比之下，自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法可廣泛應(yīng)用于工程應(yīng)用中所涉及的有邊界層的奇異攝動(dòng)問題的求解。例如，段獻(xiàn)葆等[6]考慮了流體力學(xué)中典型的Navier-Stokes 方程，對求解區(qū)域進(jìn)行有限元剖分，進(jìn)而構(gòu)建移動(dòng)網(wǎng)格算法進(jìn)行求解，但作者并未給出理論分析。最近，Das[7]利用向后的歐拉公式對問題(1)進(jìn)行了離散，并利用多項(xiàng)式插值的誤差估計(jì)，給出了離散解的最大范數(shù)的后驗(yàn)誤差估計(jì)，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的網(wǎng)格生成算法?；谟邢薏罘址椒?，Shakti 和Mohapatra 在文獻(xiàn)[8—9]中討論了問題(1)的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格算法，利用外推技術(shù)及解的導(dǎo)數(shù)估計(jì)，證明了半離散格式下的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格算法是二階收斂的。劉利斌和方虹淋[10]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上系統(tǒng)討論了問題(1)的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格算法，證明了在經(jīng)典的弧長控制函數(shù)下，半離散格式是一階收斂的。同時(shí)，利用多項(xiàng)式插值的誤差估計(jì)，給出了基于全離散格式的后驗(yàn)誤差估計(jì)的自適應(yīng)網(wǎng)格算法?？紤]到文獻(xiàn)[8—9]僅僅給出了半離散格式下自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格算法的收斂性，而文獻(xiàn)[10]的收斂階只有一階，本文受文獻(xiàn)[3]的啟發(fā)，將在任意網(wǎng)格下給出問題(1)的混合有限差分格式，并證明離散格式的穩(wěn)定性。然后，利用多項(xiàng)式插值技術(shù)，推出了混合差分格式的后驗(yàn)誤差估計(jì)，并以此設(shè)計(jì)了相應(yīng)的網(wǎng)格生成算法。

注1 在本文中，C表示與ε和網(wǎng)格大小N無關(guān)的任意常數(shù)，在不同的位置可以表示不同的數(shù)值。

1 預(yù)備知識

為了能更好的構(gòu)造數(shù)值方法，首先給出精確解及其導(dǎo)數(shù)的邊界和漸近性分析。然后，構(gòu)造了在非均勻網(wǎng)格上的離散格式。最后，得到了離散解的穩(wěn)定性分析。

2 后驗(yàn)誤差估計(jì)

最后，由引理2 可得(23)式。

3 自適應(yīng)網(wǎng)格生成算法

眾所周知，后驗(yàn)誤差估計(jì)對奇異攝動(dòng)問題自適應(yīng)網(wǎng)格算法的設(shè)計(jì)起到至關(guān)重要的作用。近年來，許多學(xué)者利用有限差分或有限元方法，給出了奇異攝動(dòng)問題的后驗(yàn)誤差估計(jì)及相應(yīng)的網(wǎng)格生成算法[11–14]。一般情況下，自適應(yīng)網(wǎng)格算法的基本思想是構(gòu)造合適的后驗(yàn)誤差估計(jì)

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文構(gòu)造的后驗(yàn)誤差估計(jì)及相應(yīng)的自適應(yīng)網(wǎng)格算法的有效性，我們考慮如下帶參數(shù)的非線性奇異攝動(dòng)問題

根據(jù)文獻(xiàn)[3]所構(gòu)造的Shishkin 網(wǎng)格及差分格式，分別對應(yīng)于上述ε和N的取值，計(jì)算得到相應(yīng)的誤差和收斂階。結(jié)果表明，在此網(wǎng)格下，對于不同的ε參數(shù)值，計(jì)算結(jié)果完全相同，因而只在表2 中列出了ε=10-j(j=4，5，6，7)時(shí)的計(jì)算結(jié)果。從表1 和表2 的數(shù)值結(jié)果可以看出，本文提出的自適應(yīng)網(wǎng)格方法的收斂階明顯高于Shishkin 網(wǎng)格方法的收斂階，同時(shí)也驗(yàn)證了理論結(jié)果。

表1 自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格算法的數(shù)值結(jié)果

續(xù)表

表2 Shishkin 網(wǎng)格算法的數(shù)值結(jié)果

此外，為了進(jìn)一步展示自適應(yīng)網(wǎng)格的迭代生成過程，當(dāng)ε= 10-6，N= 64 時(shí)，圖1 畫出了網(wǎng)格的移動(dòng)過程(自下而上)。同時(shí)，圖2 也給出了當(dāng)ε=10-6，N=64 時(shí)，問題(34)的數(shù)值解的變化曲線。從圖1 和圖2 可以明顯看出，問題(34)的解在x= 0 點(diǎn)處存在邊界層。

圖1 網(wǎng)格迭代過程

圖2 數(shù)值解的曲線圖

5 結(jié)論

基于混合有限差分格式，本文系統(tǒng)討論了一類帶參數(shù)的一階非線性奇異攝動(dòng)問題的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格算法。利用離散格式的穩(wěn)定性和多項(xiàng)式插值，構(gòu)造了一個(gè)具有二階精度的最大范數(shù)的后驗(yàn)誤差估計(jì)，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的網(wǎng)格算法。值得一提的是，本文所給出的后驗(yàn)誤差估計(jì)的構(gòu)造思想及相應(yīng)的網(wǎng)格生成算法可以進(jìn)一步推廣到其他一階奇異攝動(dòng)問題的數(shù)值模擬。