定理結(jié)構(gòu)與圖形結(jié)構(gòu)雙管齊下自然生成解法
——正、余弦定理的幾何應(yīng)用

?江蘇省蘇州市第六中學(xué)校

李 娟

1 引言

正、余弦定理揭示了三角形中邊、角的量化關(guān)系.解三角形是高考必考的知識(shí)點(diǎn)，總體難度適中.本文試圖從定理本身的結(jié)構(gòu)特征和幾何圖形的結(jié)構(gòu)、條件和問題整合考慮，闡述如何“快”且“準(zhǔn)”地高效運(yùn)用正、余弦定理.教學(xué)結(jié)構(gòu)主義的代表人物布魯納強(qiáng)調(diào)：就是學(xué)習(xí)事物是如何關(guān)聯(lián)的，便于學(xué)生記憶和正遷移，能使學(xué)生提高直覺處理問題的能力.聯(lián)合考慮問題和條件中的元素，辨別是哪個(gè)定理對(duì)應(yīng)的元素，快速識(shí)別用單一定理還是“聯(lián)合行動(dòng)”抑或“多次行動(dòng)”.

下面通過(guò)具體案例對(duì)正、余弦定理的幾何應(yīng)用進(jìn)行分析.

課前檢測(cè)給出幾道小題，主要復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)與相應(yīng)的思想方法.

選題目的：第(1)～(3)小題的字母符號(hào)與原定理一致，便于學(xué)生提取和遷移相關(guān)知識(shí).第(4)小題與原定理字母符號(hào)不一致，可轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的小寫字母，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察余弦定理左右兩側(cè)邊與角的關(guān)系，為在較復(fù)雜圖形中正確且快速地根據(jù)原理“造等式”做準(zhǔn)備.在解決上述簡(jiǎn)單問題時(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)定理的“同”與“異”.“同”在正、余弦定理本質(zhì)是恒等式，因此首要功能是“造等式”，體現(xiàn)方程思想.“異”在元素對(duì)象不同，結(jié)構(gòu)特征亦不同.正弦定理實(shí)質(zhì)是3個(gè)等式，每個(gè)等式中的元素是四個(gè)量，即兩組對(duì)應(yīng)邊、角，其結(jié)構(gòu)特征體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和和諧美；余弦定理也是3個(gè)等式，元素是四個(gè)量，即三邊一角，而角決定選用3個(gè)等式中的哪一個(gè).余弦定理是勾股定理的拓展延伸，注意新知識(shí)和舊知識(shí)的聯(lián)系.同時(shí)，提醒學(xué)生注意應(yīng)用正弦定理求角時(shí)，有一解和兩解兩種情況需要結(jié)合“內(nèi)角和定理”和“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”進(jìn)行檢驗(yàn)取舍，而余弦定理求角是唯一解.因此，在有選擇的前提下，優(yōu)選余弦定理求角.正、余弦定理的功能主要是兩個(gè)方面，即“造等式”和“邊角互化”.

2 經(jīng)典題例，突破問題

思路探求：本題是正、余弦定理的幾何應(yīng)用，題目中的字母符號(hào)與原定理不一致.首先，要求學(xué)生明確原定理中的元素對(duì)象及其關(guān)系，才能正確地“造等式”.其次，題目的順利解決還需要學(xué)生充分了解圖形的結(jié)構(gòu)特征，即大三角形分成兩個(gè)小三角形，兩個(gè)小三角形有一條公共邊、一對(duì)互補(bǔ)內(nèi)角.這些特殊之處就是聯(lián)系之處，就是架構(gòu)關(guān)系式之處，是解題的關(guān)鍵.另外，沒有被切割的∠B，∠C是兩個(gè)三角形的內(nèi)角，根據(jù)需要選擇三角形，一般選擇已知條件多的三角形利用定理構(gòu)造等式(或方程組).根據(jù)上述分析，自然生成下面兩種解法.

解法1：利用兩個(gè)小三角形的一對(duì)互補(bǔ)角建立等式，兩個(gè)小三角形內(nèi)涉及的元素都是三邊一角，故都使用余弦定理建立方程.

設(shè)BC=2m，則BD=CD=m.

又∠ADB+∠ADC=180°，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0，即m2-6+m2-2=0.

解得m2=4，m=2，故BC=4.

圖1

解法2：利用∠B是圖1中△ABC與△ABD的內(nèi)角構(gòu)建等式，兩個(gè)三角形內(nèi)涉及的元素亦是三邊一角，故使用余弦定理建立方程.

3 側(cè)重綜合，關(guān)注應(yīng)用

圖2

3.1 與三角函數(shù)的綜合

(1)求sinC的值；

思路探求：(1)圖2中的∠C是兩個(gè)三角形的內(nèi)角，而△ABC中條件相對(duì)充分.梳理題目已知條件可知既不是三邊一角，也不是兩組對(duì)應(yīng)邊、角，因此判斷是“聯(lián)合行動(dòng)”，先由余弦定理解得邊b，再由正弦定理求sinC.當(dāng)然，亦可由余弦定理解得cosC，再由同角三角函數(shù)基式關(guān)系式求sinC.

3.2 模塊間的聯(lián)結(jié)：與橢圓的綜合

例3(2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ第10題)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

思路探求：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、焦點(diǎn)三角形和余弦定理.對(duì)應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)和前面一致，因此構(gòu)造等式的途徑也有3種，下面給出其中一種解法.

圖3

在△ABF1中，由余弦定理得

在△AF1F2中，由余弦定理得

解得a2=3c2.

又c=1，所以a2=3，則b2=a2-c2=2.

4 利用結(jié)構(gòu)特征，巧證明

4.1 證明三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理

證明：如圖4,設(shè)∠BAD=∠CAD=α，∠ADB=β，∠ADC=γ，則β+γ=180°.

圖4

因而sinβ=sinγ.

4.2 代數(shù)問題幾何化，建立三角形幾何模型

圖5

在BC上取點(diǎn)D，使得BD=AD，則∠ADC=α.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文主要探討在所研究的幾何模型，即大三角形分割成兩個(gè)小三角形中，結(jié)合圖形特征，通過(guò)梳理?xiàng)l件、結(jié)論中的元素，快速、準(zhǔn)確地選用原理構(gòu)造方程(方程組)，從而解決問題.