以“高考母題”為驅(qū)動 提高數(shù)學一輪復(fù)習效率

?江蘇省常熟市海虞中學

石雨茹

1 引言

高三一輪復(fù)習的目標是通過有限時間有所側(cè)重地幫助學生回顧所學知識，讓整個高中階段的數(shù)學知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化和螺旋式地整合與提升.如何提高一輪復(fù)習的質(zhì)量，讓復(fù)習效率最大化是每個高三數(shù)學教師必須面對，且始終密切關(guān)注的問題.為了讓一輪復(fù)習達到既夯實基礎(chǔ)，又提升能力的目的，筆者認為，以課本例題為素材，巧妙改造為高考母題進行針對性地強化訓練，可以達到鞏固記憶、啟迪思維、形成能力和提高素養(yǎng)的多重效能.

2 對“高考母題”的解讀

所謂的“高考母題”，可以是教材中的一些典型例習題，也可以是這些例習題的變形，它對應(yīng)高中數(shù)學知識中最基本、最典型、最關(guān)鍵的知識點，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力和問題解決能力的源泉.以“高考母題”為載體進行訓練，可以幫助學生快速厘清概念、把握原理、掌握規(guī)律，實現(xiàn)知識向能力的飛躍，讓知識與能力呈現(xiàn)螺旋上升的趨勢.

3 以“高考母題”為驅(qū)動提高復(fù)習效率的策略

3.1 善用“高考母題”，一題多解

善用“高考母題”進行一題多解的訓練，可以讓學生從多角度、多方位、多層次的分析和嘗試中厘清問題本質(zhì)，活化思維，以達到觸類旁通之效.在這個過程中，教師應(yīng)關(guān)注講解的開放性和發(fā)散性，鼓勵學生解法的多樣化，這樣才能以題帶知識點和解題技巧，這才是復(fù)習課的最佳效果.

例1已知圓C：x2+y2=r2，證明：過圓C上的一點M(x0，y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.

拋出問題后，筆者放手讓學生去自主探究、合作討論，激勵學生大膽聯(lián)想和猜想.正是由于有了足夠的思考和探究時空，學生生成了多種證明方法，才有了如下登臺展示的精彩場面.

生1：我運用了斜率法.

過程如下：

x0x+y0y=r2

①

當x0=0時，易知切線方程為y=r(或y=-r)滿足①式；當y0=0時，易知切線方程為x=r(或x=-r)，同樣滿足①式.

綜上所述，過點M的切線方程為x0x+y0y=r2.

圖1

從“高考母題”這一探索點開始，學生展開了思考和探究，學生的思維從被動轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃樱瑥囊话阈圆呗缘絼?chuàng)意求解方法，靈活地運用向量、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識.正是由于為學生創(chuàng)建的深度思考的氛圍，才能讓學生在不斷探索中擁有無窮的思維創(chuàng)造力，這對提升學生的思維品質(zhì)和數(shù)學核心素養(yǎng)意義重大，同時有效地溝通了多個知識點，實現(xiàn)了知識間的有機融合，進而達到完善自身認知體系的目的.

3.2 善用“高考母題”，一題多變

倘若僅僅是就題論題式解答，既使求解過程再完美，也不過是掌握了一個問題，但一題多變的訓練有助于消除這一弊端.所謂的一題多變并非若干個獨立題目的簡單堆砌，而是具有內(nèi)部關(guān)聯(lián)的多個習題，意在激發(fā)學生的探究興趣，開拓思路，深化學生對基礎(chǔ)知識的理解，培養(yǎng)解題能力.因此，一輪復(fù)習中教師應(yīng)不拘泥于一道習題，活用典型問題，進行深入剖析和精細設(shè)計，做到一題求變，將高考母題拓展為多個值得學生探究的數(shù)學問題，讓高考母題真正成為學生思維拓展的有效素材.這樣，不僅可以讓知識更加透徹，還能開闊學生的解題視野，更重要的是能提高一輪復(fù)習的效果.

例2線段AB的長為2a，且其兩個端點A，B分別在互相垂直的兩條直線上滑動，動點M為AB的中點，試求點M的軌跡.

經(jīng)過討論和交流，學生很快探究得出本題的解法，更進一步地，筆者設(shè)計以下變式：

變式2線段AB的長為2a，且其兩個端點A，B分別在夾角為θ(0<θ<90°)的兩條直線上滑動，動點M為AB的中點，試求點M的軌跡.

復(fù)習課無法回避“炒冷飯”的尷尬局面，而如何在“翻炒冷飯”的過程中調(diào)動學生的思維，為“冷飯”增添新的“佐料”，讓舊知識“炒”出新意，讓學生在一輪復(fù)習中保持熱情是教師的重要關(guān)注點.本例中，教師善于以“變”促學，讓變式問題不斷上升，使學生興趣盎然.通過解決變式，有助于學生在一輪復(fù)習中將基礎(chǔ)知識形成網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)，內(nèi)化為自己的基本技能，感悟數(shù)學思想方法，同時還可以提高學生的自主探究能力.

3.3 善用“高考母題”，一題多用

學生聽懂一道習題并不意味著掌握，真正的掌握應(yīng)該是利用此問題的解法去解決新的問題，也就是實現(xiàn)一題多用，這才是真正意義上的領(lǐng)悟和掌握.因此，在一輪復(fù)習中，為了實現(xiàn)觸類旁通，在探究和解答完高考母題之后，還需引導(dǎo)學生站在研究和剖析的角度審視問題，進一步回顧、總結(jié)和提煉，從而深化認識，提高復(fù)習效能.

例3試求出平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為2的動點M的軌跡方程.(具體解答過程略.)

本題推廣引申后，可得如下命題：平面內(nèi)到定點A和B的距離之比為定值λ(λ>0，λ≠1)的動點的軌跡是一個圓.(這就是著名的“阿波羅尼斯圓”，這一結(jié)論就是阿波羅尼斯軌跡定理，這一問題頻繁出現(xiàn)于近幾年的高考試題之中，可見，是高考熱點問題之一.)

進一步地，筆者提出以下問題：

圖2

問題2如圖2，已知平面直角坐標系xOy中，直線l：y=2x-4，點A(0，3).設(shè)圓C的半徑為1，且圓心C在直線l上.若圓C上存在一點M使得|MA|=2|MO|，試求出圓心C的橫坐標a的取值范圍.

問題1和問題2背景相差甚遠，但題目中均涉及到“阿波羅尼斯圓”，這一知識點是解題的突破口.正是由于之前的總結(jié)和提煉，學生可以很快突破難點，尋得解法，靈活運用相關(guān)知識點解決問題.

4 總結(jié)

總之，一輪復(fù)習的主要目標是夯實基礎(chǔ)，提升能力.教師只有切實精心準備，以具有代表性的“高考母題”為指引，在深度和廣度上下足功夫，實施一題多解、一題多變、一題多用，才能讓學生真正做到做一題會一類，做一類通一法，才能幫助學生構(gòu)建知識體系，提高思維能力，達到真正提高一輪復(fù)習效果的目的.