高斯白噪聲激勵(lì)下微懸臂梁的瞬態(tài)均方響應(yīng)研究

張文花，李俊林，謝秀峰，董安強(qiáng)

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)在儀器測(cè)量、航天航空、生物醫(yī)學(xué)和環(huán)保等領(lǐng)域有巨大的應(yīng)用前景[1-2]。而微懸臂梁作為MEMS的重要組成部分，對(duì)它的研究是必不可少的[3]。微懸臂梁在物流運(yùn)輸，倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存等工作過(guò)程中容易受到隨機(jī)激勵(lì)產(chǎn)生振動(dòng)，盡管科研人員對(duì)微懸臂梁進(jìn)行了大量而廣泛的研究工作，但是對(duì)微懸臂梁在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)等方面的研究工作還存在不足，這使得MEMS在實(shí)際生活中的應(yīng)用缺乏相關(guān)理論支持，從而使得MEMS不能被廣泛的應(yīng)用。因此，研究微懸臂梁在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)是有意義的。

丁建寧等通過(guò)對(duì)微懸臂梁進(jìn)行研究，建立了梁的方程[4]。武潔等研究了微懸臂梁系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，建立了系統(tǒng)連續(xù)模型，得到了振動(dòng)控制方程，并分析了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響[5]。許銳彬通過(guò)有限元建模方法研究了微懸臂梁系統(tǒng)在受到簡(jiǎn)諧振動(dòng)和突然沖擊時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[6]。本文將在前人工作的基礎(chǔ)上研究微懸臂梁的瞬態(tài)均方響應(yīng)。自上世紀(jì)七十年代以來(lái)，科研人員對(duì)線(xiàn)性或非線(xiàn)性系統(tǒng)的均方響應(yīng)進(jìn)行了大量的研究，并取得了重大進(jìn)展。Grigoriu用平穩(wěn)高斯輸入求得線(xiàn)性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)[7]。謝秀峰等研究了隨機(jī)激勵(lì)下非線(xiàn)性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)[8-9]。Peng 推導(dǎo)了非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下線(xiàn)性系統(tǒng)均方響應(yīng)的封閉解[10]。然而，他們?cè)u(píng)估均方響應(yīng)的求解方法總是在時(shí)域或頻域上進(jìn)行。Hu指出響應(yīng)的極點(diǎn)留數(shù)法可以通過(guò)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算得到，進(jìn)而可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)[11]。

綜上所述，本文將采用極點(diǎn)留數(shù)法，在復(fù)平面上求解MEMS中微懸臂梁在高斯白噪聲隨機(jī)激勵(lì)下的瞬態(tài)均方響應(yīng)的封閉解。最后，通過(guò)對(duì)瞬態(tài)均方響應(yīng)的分析，討論了阻尼比及噪聲強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)均方響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 集總參數(shù)建模

MEMS中常用的建模方法是集總參數(shù)建模[12-13]，而集總參數(shù)建模的核心是彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)。由于微懸臂梁在MEMS中的特殊地位，作為一彈性元件，在小變形情況下，其彈性系數(shù)可以用常量k來(lái)代替，振動(dòng)時(shí)的阻尼來(lái)自材料內(nèi)阻尼c.故微懸臂梁振動(dòng)系統(tǒng)可以用質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)來(lái)模擬。如圖1所示。

圖1 彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)模型Fig.1 Spring mass damping system model

當(dāng)質(zhì)量受到高斯白噪聲隨機(jī)激勵(lì)g時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(1)

2 系統(tǒng)的響應(yīng)

(2)

式中，h(t)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)：

(3)

故方程(1)的拉普拉斯變換為：

(4)

(5)

(6)

它的極點(diǎn)留數(shù)公式為：

(7)

μ=-ζω0+iωd

(8)

(9)

對(duì)方程(7)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，得：

(10)

(11)

3 自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)

考慮了白噪聲隨機(jī)激勵(lì)g(t)是零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，Sg(ω)和Rg(ω)分別是功率譜密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)，有如下關(guān)系：

(12)

(13)

零均值的隨機(jī)響應(yīng)激勵(lì)也是零均值，則X(t1)X(t2)的期望為：

E[X(t1)X(t2)]=

(14)

當(dāng)t1=t2=t時(shí)，可以得到在t時(shí)的均方位移

E[X2(t)]=

(15)

4 平穩(wěn)響應(yīng)的協(xié)方差

把方程(13)代入方程(15)中，得：

(16)

由于時(shí)間變量τ1和τ2可以分離，則

(17)

令：

(18)

(19)

(20)

式中，

(21)

(22)

(23)

由上可知，C1(ω)=-(A1(ω)+B1(ω))，對(duì)方程(20)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，得：

(24)

令:

(25)

對(duì)方程(25)進(jìn)行拉普拉斯變換得，

本文筆者將微課應(yīng)用到成人繼續(xù)教育中，將信息化教學(xué)手段融入了傳統(tǒng)教學(xué)中，從而形成了線(xiàn)上線(xiàn)下的混合式教學(xué)模式。這種混合式教學(xué)模式是一種優(yōu)秀的教學(xué)模式，它綜合了MOOC的優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)了MOOC缺乏管理機(jī)制的缺陷，利用現(xiàn)有大量的MOOC資源，降低了微課制作的工作量，突現(xiàn)了“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的優(yōu)勢(shì)。

(26)

(27)

式中，

(28)

(29)

(30)

(31)

令g(t，ω)=y1(t1，ω)y2(t2，ω)，則 ：

(32)

C1(ω)C2(ω)

(33)

5 瞬態(tài)均方響應(yīng)

將方程(33)代入方程(32)，可以得到在t時(shí)的均方位移為：

(34)

其中：

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

由上可知，E9是獨(dú)立于時(shí)間t的平穩(wěn)項(xiàng)，將方程(23)和方程(30)代入方程(43)得，

(44)

也可以寫(xiě)成平穩(wěn)響應(yīng)公式，

(45)

式中，H(ω)為系統(tǒng)的復(fù)頻響函數(shù)。

記方程(35)-(38)這四項(xiàng)的和為N(t)，則N(t)為非平穩(wěn)響應(yīng)項(xiàng)；記方程(39)-(42)這四項(xiàng)的和為C(t)，則C(t)為交叉響應(yīng)項(xiàng)。所以方程(34)可以寫(xiě)：

E[X2(t)]=N(t)+C(t)+E9

(46)

此外，方程En(t) (n=1，2，…，9)有如下關(guān)系

(2)E3(t)=E4(t)，E5(t)=E7(t)，E6(t)=E8(t)

通過(guò)使用上面的關(guān)系可以得到，

N(t)=2{Re[E1(t)]+E3(t)}

(47)

C(t)=4Re[E5(t)]

(48)

因此，計(jì)算E[X2(t)]，只需要計(jì)算E1(t)，E3(t)，E5(t)和平穩(wěn)項(xiàng)E9.如果SF(ω)是數(shù)值給定的，那么積分項(xiàng)E1(t)，E3(t)，E5(t)和E9必須用數(shù)值計(jì)算。對(duì)于解析函數(shù)SF(ω)，只要它能被表示成極點(diǎn)留數(shù)形式，就可以推導(dǎo)出E[X2(t)]的精確閉式解。

[-ζ2ω2+2(ζω0sinωdt)2+ζω0ωdsin2ωdt]

(49)

(50)

(51)

(52)

由上可知，微懸臂梁的瞬態(tài)均方響應(yīng)為：

(53)

方程(53)中所示的E[X2(t)]與之前通過(guò)其他方法(Caughey和Stumpf 1961)獲得的是相同的。

對(duì)于高斯白噪聲激勵(lì)情況，C(t)=-2N(t)，即Re[E5(t)]=-Re[E1(t)]-E3(t).

6 瞬態(tài)均方響應(yīng)分析

本文所研究的微懸臂梁系統(tǒng)所選取的數(shù)值為：質(zhì)量m=10；無(wú)阻尼固有頻率ω0=5；阻尼比ζ=2%；噪聲強(qiáng)度S0=0.01.

如方程(46)所示，瞬態(tài)均方響應(yīng)是非平穩(wěn)項(xiàng)N(t)、交叉項(xiàng)C(t)和平穩(wěn)項(xiàng)E9的和。根據(jù)瞬態(tài)均方響應(yīng)、非平穩(wěn)、交叉項(xiàng)和平穩(wěn)項(xiàng)的表達(dá)式畫(huà)出圖像如圖2所示。通過(guò)圖像可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t變大時(shí)，N(t)和C(t)趨于零，而E[X2(t)]趨于一個(gè)固定值，完全由E9決定。

圖2 瞬態(tài)均方響應(yīng)Fig.2 Transient mean square response

可以得到靜止初始條件時(shí)刻的一些特征：N(0)=E9，C(0)=-2E9，E[X2(0)]=0.

為了研究系統(tǒng)的特性，下面分別代入阻尼比不同的值和噪聲強(qiáng)度不同的值，并得出相應(yīng)的結(jié)果。其結(jié)果如圖3-圖4所示。其中，圖3為噪聲強(qiáng)度S0=0.01時(shí)阻尼比不同的情況，從圖3中可以看出，當(dāng)t變大時(shí)，瞬態(tài)均方響應(yīng)先增大后趨于平穩(wěn)。當(dāng)阻尼比較大時(shí)，瞬態(tài)均方響應(yīng)較小，且瞬態(tài)均方響應(yīng)趨于平穩(wěn)的時(shí)間短。當(dāng)阻尼比趨近于零時(shí)，瞬態(tài)均方響應(yīng)隨著時(shí)間的增加而趨于無(wú)界。圖4為阻尼比為ζ=2%時(shí)噪聲強(qiáng)度不同的情況。從圖4中可以看出，當(dāng)t變大時(shí)，瞬態(tài)均方響應(yīng)先增大后趨于平穩(wěn)。當(dāng)噪聲強(qiáng)度大時(shí)，瞬態(tài)均方響也大，且瞬態(tài)均方響應(yīng)趨于平穩(wěn)所用的時(shí)間比較長(zhǎng)。當(dāng)噪聲強(qiáng)度趨近于零時(shí)，瞬態(tài)均方響應(yīng)也趨于零。

圖3 瞬態(tài)均方響應(yīng)在不同阻尼比下的變化規(guī)律Fig.3 The variation law of transient mean square response under different damping ratio

圖4 瞬態(tài)均方響應(yīng)在不同噪聲強(qiáng)度下的變化規(guī)律Fig.4 Variation law of transient mean square response under different noise intensity

7 結(jié)論

本文的主要是利用了極點(diǎn)留數(shù)法，推導(dǎo)出了微懸臂梁在以高斯白噪聲功率譜密度函數(shù)為特征的隨機(jī)激勵(lì)下的瞬態(tài)均方響應(yīng)的封閉解。該方法的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是在求解過(guò)程有效地避免了在時(shí)域計(jì)算積分的繁瑣。最后通過(guò)對(duì)瞬態(tài)均方響應(yīng)的分析，給出了阻尼比和噪聲強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)均方響應(yīng)的影響規(guī)律。研究表明，當(dāng)阻尼比較大時(shí)，瞬態(tài)均方響應(yīng)較小，且瞬態(tài)均方響應(yīng)趨于平穩(wěn)的時(shí)間短。當(dāng)噪聲強(qiáng)度較大時(shí)，瞬態(tài)均方響也較大，且瞬態(tài)均方響應(yīng)趨于平穩(wěn)所用的時(shí)間比較長(zhǎng)。