一類退化尖點環(huán)附近Melnikov函數(shù)展開式

尚德生，王政

(山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山東 淄博 255049)

在平面分支理論研究中，同宿和異宿分支的研究是奇閉軌分支研究中的一個非常復(fù)雜而又有意義的課題。當(dāng)一個給定系統(tǒng)的奇閉軌同宿或者異宿于有限個非退化的雙曲鞍點時，已經(jīng)有很多相對比較完善的理論和應(yīng)用結(jié)果[1-3]。但是當(dāng)奇閉軌同宿或異宿于非雙曲鞍點，或者更加復(fù)雜的退化奇點(如退化鞍點或者尖點)時的分支問題研究，卻是一個非常復(fù)雜而有意義的挑戰(zhàn)。對于奇點是冪零鞍點和冪零尖點的情形下的奇閉軌分支問題，學(xué)者都進行了比較系統(tǒng)的討論，并給出了具體的同宿軌附近的Melnikov函數(shù)的展開式[2,4-5]，并對一些不同類型的相關(guān)微分系統(tǒng)作了討論和應(yīng)用[6-8]。但是對更進一步的退化奇點情形的同宿或異宿分支問題，至今還沒有見到比較系統(tǒng)的研究。本文在文獻[2,4]的啟發(fā)下，對一類具有退化尖點的同宿軌附近的Melnikov函數(shù)的展開式進行探討，并給出m=1情形下展開式前幾項的系數(shù)。

考慮微分系統(tǒng)

(1)

式中：φ(x)是次數(shù)大于2m的解析函數(shù)；p(x,y),q(x,y) 為x,y的多項式。顯然原點O(0,0) 是未擾動系統(tǒng)(即ε=0 時)的一個退化尖點，這里假設(shè)ε=0時,未擾系統(tǒng)具有連接尖點O(0,0)的同宿軌。

因為未擾系統(tǒng)是一個哈密爾頓系統(tǒng)，且系統(tǒng)的哈密爾頓函數(shù)為

(2)

圖1 未擾動系統(tǒng)(1)尖點環(huán)附近軌線分割圖Fig.1 Orbit division near the cuspidal loop of the unperturbed system(1)

在周期區(qū)域Lh:H(x,y)=h,0<|h|?1 內(nèi)擾動系統(tǒng)(1)的極限環(huán)可由周期擾動下的一階Melnikov函數(shù)M(h,δ) 的零點來確定。

下面討論系統(tǒng)(1)的一階Melnikov函數(shù)

(3)

首先，當(dāng)0<|h|?1時，在原點附近存在唯一的解析函數(shù)x=θ(u) ，使得

(4)

成立。

若設(shè)

(5)

則將式(5)代入式(4)后，借助數(shù)學(xué)計算軟件Mathimatica可根據(jù)需要遞推求得前面各項的系數(shù)ej,j=2,3,… 。

(6)

式中：

∈Cω。

記

(7)

(8)

式中

(9)

引理1對非負整數(shù)i=0,1,2,…,j=0,1,2,…，有Iij(h,u)滿足如下遞推公式:

(10)

(11)

因為對非負整數(shù)i,j存在唯一的k,l,r,s，使得i=(2m+1)k+r,j=2l+s，其中0≤r≤2m,0≤s≤1 成立。這樣根據(jù)引理1的遞推公式，容易得到引理2。

(12)

式中:

由于當(dāng)i=2m時，有

(13)

證明首先討論當(dāng)h<0 時的情形。對

(14)

通過變量變換

(15)

可將式(14)化為

(16)

根據(jù)泰勒展開式

(17)

是與u0無關(guān)的收斂級數(shù)的和，而

|h|j∈Cω。

(18)

這樣，一方面對式(18)關(guān)于h求偏導(dǎo)數(shù)，得

(19)

另一方面，由式(14)取u0=1，再關(guān)于h求偏導(dǎo)數(shù)，得

(20)

同樣，經(jīng)過變換(15)，可將式(20)化為

(21)

這樣，當(dāng)4r+2(2m+1)s<3(2m+1)-4 時，結(jié)合式(19)、式(21)得

而當(dāng)4r+2(2m+1)s>3(2m+1)-4時，由于

所以結(jié)合式(19)、式(21)，可以得到

下面再討論當(dāng)h>0 時的情形。利用

(22)

先經(jīng)過變量變換

(23)

可將式(22)化為

同樣利用泰勒展開式

(24)

其中

是與u0無關(guān)的值，而

(25)

這樣，一方面對式(25)關(guān)于h求偏導(dǎo)數(shù)，得

(26)

另一方面，對式(22)取u0=1，再關(guān)于h求偏導(dǎo)數(shù)，得

(27)

(28)

這樣，當(dāng)4r+2(2m+1)s<3(2m+1)-4 時，結(jié)合式(26)、式(28)可得

當(dāng)4r+2(2m+1)s>3(2m+1)-4時，由于

所以結(jié)合式(26)、式(28)，可以得到

這樣，根據(jù)式(8)，結(jié)合引理2及引理3可得

(29)

因此，利用式(6)、式(7)，并將式(29)代入式(6)，可以得到Melnikov函數(shù)在h=0 附近的一般展開式。

定理1在未擾系統(tǒng)具有式(1)形式的尖點環(huán)的假設(shè)下，尖點環(huán)附近的Melnikov函數(shù)展開式為

M±(h,δ)=

(30)

結(jié)合文獻[2,4]的證明可知，若取m=1，則可得系統(tǒng)(1)展開到前八項的表達形式。

推論1在m=1時，系統(tǒng)(1)在尖點環(huán)Lh=0附近的Melnikov函數(shù)展開式為

并且展開式的系數(shù)為:

=0 ，