基于對偶方程有限元法的電阻參數提取

張 程，徐小宇，任卓翔

（1.中國科學院微電子研究所，北京 100029；2.中國科學院大學，北京 100049；3.索邦大學，巴黎 75006）

集成電路加工工藝不斷更迭，器件特征尺寸不斷減小，集成度的不斷提高使得電路信號延遲，功耗等問題不斷加劇。就集成電路設計中的電路參數提取環(huán)節(jié)而言，寄生電容與電阻會產生RC 延遲，影響電路信號的同步。電路參數提取的結果必須達到一定的精度才能保證電路能夠實現(xiàn)其設計功能。以手機、顯示器的顯示屏信號線等特定電路為例，為保障各個像素點的同步刷新，各個線路上的信號延遲必須保持同步，這就需要精確地對電路進行電阻和電容參數提取分析[1-9]。

電阻和電容等參數提取通常采用有限元法等數值算法[10-12]，根據目標問題對應的物理系統(tǒng)建立偏微分方程以及設定適當的初始條件，通過場分析獲取電路系統(tǒng)的電阻參數。由于求解精確度要求的提高，需要將求解域剖分非常細密的網格才能得到較為理想的解，使得計算效率低下[13-14]。在近年來電磁學對偶方法的發(fā)展與應用的基礎上，該文引入電流場對偶方程方法[10,15]，以提升場求解與參數提取的效率，并通過實際算例求解驗證所提出方法的精確性與高效性。

1 穩(wěn)恒電流場的對偶有限元法

1.1 穩(wěn)恒電流場的控制方程

其中，σ為導電媒質的電導率。根據電荷守恒定律，從電流場中任一閉合曲面S流出的電流應等于單位時間內該面所包圍空間V的電荷的減少量，即：

將所研究閉合面不斷縮小至一點，得到：

其中，ρ為電荷密度，i為電流源。設空間某點的標量電勢為v，則有e=-gradv。進而可以得到：

將以上所得方程與靜電場方程進行類比[11,15]，d為電位移矢量，ε為介電常數，靜電場問題可以描述為：

可以看出，靜電場與穩(wěn)恒電流場在數學形式上十分相似。根據麥克斯韋方程組，穩(wěn)恒電流場與靜電場均為無旋場，滿足：

對于靜電系統(tǒng)，電容提取需要模擬導體間的靜電場，其電場分布與系統(tǒng)中各帶電體的相對位置、形狀、尺寸和電介質的分布有關，其能量分散在導體周圍的空間中。電阻提取需要模擬導體內的穩(wěn)恒電流場。對比于靜電場，由于電流、能量總是被約束在導電線路中，穩(wěn)恒電流場的計算分析相對容易。

1.2 對偶格式的有限元法控制方程

實際問題中的研究區(qū)域多為不規(guī)則幾何體，為了更好地適應不同的復雜結構，三維有限元法可采用四面體單元網格對所研究的空間Ω進行離散（如圖1 所示的四面體單元ijkl），并在各個離散單元上建立單元矩陣方程。

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通常，有限元法將單元節(jié)點上的標量電勢作為未知量，建立單元方程，如圖1中節(jié)點i上的電勢vi。對于體單元棱邊上的矢量電勢，同樣也可以作為未知量建立單元矩陣方程，如圖1中體單元棱邊ij上的uij，滿足：

圖1 有限元法四面體單元的節(jié)點編號及自由度位置

其中，矢量u可以理解為恒流場中的電流矢量位，通過式（4）與式（7），可以分別推導出二者相應的方程：

采用矢量電勢作為未知量會導致多值問題，因而，需要加入“連接”（link）結構來連通所有Dirichlet邊界（即有外加電壓的區(qū)域），也就是式（10）中的右端項所描述的部分。兩種方法對應的單元材料矩陣分別采用基于Whitney 棱單元ωe和面單元ωf的伽遼金方法來獲得[11]，即：

以上兩種方法分別稱為點單元法（又稱標量有限元法）和棱單元法（又稱矢量有限元法），它們構成對偶關系，因此也分別稱為原始（Primal）方法和對偶（Dual）方法。

2 電阻及電阻網絡

對多端口電路，端口兩兩之間存在互電阻，從而組成待提取的電阻網絡。對于具有n個端口的電路，當計算其第i個端口與其他端口之間的電阻時，可在第i個端口上施加1 V 的電壓，其他端口上施加0 V 電壓，通過上述恒流場分析計算得到各互電阻值Ri，也可推知，第i個端口自電阻的倒數等于與之關聯(lián)的所有互電阻倒數之和。當需要計算電路中所有互電阻時，則需要對所有端口逐一按照前述步驟進行一次計算。

以圖2中的三端口線路模型為例[10,16]，當給#1端口施加1 V電壓（作為主端口），而#2，#3施加0 V電壓（作為相關端口，或次端口，或從端口），可以計算得到電阻R12、R13，并以此推得自電阻R11，依次將其他端口作為主端口，計算互電阻與自電阻，從而得到電阻矩陣R。

圖2 兩種多端口線路模型示例

理論上，只需要計算出電阻矩陣的上三角部分（不含對角線）即可推得整個電阻矩陣，即：

在實際工程應用中，也可以通過該方式節(jié)省計算時間。

對于某些只需關心其中部分電阻的問題，根據需求設定相應的主端口即可。

3 算例驗證

3.1 算例模型

在實際電子工程設計中，電路連接線的模型結構有多種形式，這些連接線路擔負著電能輸送或者信號傳遞（或兼而有之）的任務，而針對電路連接線上的電阻參數提取對于電路整體的場分布、電能損耗、熱效應、信號延時等分析都有著重要意義。這里選取一種電路連接結構作為典型算例，如圖3所示。該連接結構整體材質為銅（電導率σ取5.998×107S/m），其總體輪廓為L 型，寬為1.70 cm，高為0.74 cm。提供4個端口接入電路。

圖3 一種金屬導線連接結構

3.2 建立連接

對于電流場的有限元對偶方程方法，在基于棱單元法計算電場分布時，為避免多值問題，需要預先建立各Dirichlet 邊界（也就是從端口到端口）及多連通域之間的連接，如圖4 所示。

圖4 各端口及多連通域之間的連接

3.3 電阻參數提取結果

依照上文所述提取電阻矩陣的流程，分別將電路中各個端口設為主端口,得到相應的場分布結果（如圖5 所示是以#1 作為主端口的示例），以及對應的電阻參數矩陣，如表1 所示。

表1 電阻參數提取結果

圖5 電場分布情況

3.4 隨網格加密的收斂性

一般情況下，以電路中#1 和#4 端口的互電阻提取為例，不斷加密所研究區(qū)域的網格，得到的電阻參數如表2 所示，并將其與參考值0.821 284 μΩ進行對比，參考誤差如表3 所示，可以看出，通過利用對偶方程方法，即使在稀疏的網格條件下也能夠獲得精確的解；隨著對研究區(qū)域剖分網格的不斷加密，原始解與對偶解的誤差不斷減小，并趨于一致。

表2 #1與#4端口互電阻參數提取結果

表3 #1與#4端口互電阻參數提取結果的參考誤差

將表2 中的平均解、原始解、對偶解隨網格加密的計算結果繪制成圖，如圖6 所示。由此可以發(fā)現(xiàn)，端口#1 和端口#4 之間互電阻的原始解與對偶解分別從上、下方收斂逼近至參考解，顯示出上、下界以及互補特性，這也表明對偶解與原始解分別低估和高估了電流系統(tǒng)的能量，同時采用原始方程和對偶方程兩種方法，取兩者解的平均值，可以在網格剖分較為稀疏的情況下獲得近似精確的結果。其中，參考解是利用有限元法，采用極為稠密的網格計算得到的，經驗上可以視為近似精確解。

圖6 端口#1、#4互電阻隨網格加密的變化

3.5 其他算例

該文將所提出的方法用于如下多種常見結構的電阻提取，進一步驗證了方法的有效性。

1）帶孔洞的導體兩端的等效電阻提取

算例如圖7 所示，所提取的線電阻值取為0.135 4 μΩ，具體如表4 所示。

表4 帶孔洞的導體電阻參數提取結果

圖7 帶孔洞的導體電阻提取算例

2）蛇形線路

蛇形線路常見于顯示屏的布線[10，16],可以視作兩端口的導體電路，如圖8 所示。所提取的電阻值取為5.245 8 μΩ，具體結果如表5 所示。

圖8 蛇形導體電阻提取

表5 蛇形導體電阻參數提取結果

4 結論

該文在利用有限元法提取電路電阻參數矩陣的基礎上引入了電流場的對偶方程方法，即點單元法與棱單元法，同時為了避免在采用矢量電勢作為未知量時會出現(xiàn)的多值問題，通過建立從端口到端口或多連通域的連接，以使所列的線性方程組有唯一解。

通過分析算例計算結果可以發(fā)現(xiàn)，隨著網格剖分的不斷加密，即所研究區(qū)域的單元數與節(jié)點數不斷增加，使用點單元法所得的原始解與使用棱單元法所得的對偶解有逐步收斂的趨勢，原始解從參考值的下界開始收斂，對偶解從參考值的上界開始收斂，兩者具有一定對稱性，也就是說，對于所研究的電流場問題，原始解與對偶解在電路系統(tǒng)中的能量具有互補關系，將該特性應用于相關電路的電阻參數提取過程中，能夠使計算效率得到大幅提升，即當所研究區(qū)域網格剖分較為粗糙時，同時采用這兩種對偶方法，取原始解與對偶解的平均值作為最終解，其結果具有相對較小的誤差，從而保證了最終的求解精度。若只利用有限元法進行計算，需要剖分非常精細的網格才能達到與參考值相當的計算精度，并伴隨急劇增加的計算量，當問題尺度較大時，求解效率大幅降低。綜上所述，通過利用對偶方程有限元法，不僅可以極大地提高電路電阻參數矩陣的提取效率，同時還能夠保證精確性，解決了針對復雜結構的電路電阻提取效率低、精度差的問題。