考慮傾角和側(cè)壓系數(shù)影響的巷道圍巖穩(wěn)定分析

張雷

(中鋼集團馬鞍山礦山研究總院股份有限公司， 安徽 馬鞍山市 243000)

0 引言

忽略巷道軸長的影響，可以近似將巷道圍巖的受力問題看作平面應(yīng)變問題，從而將巷道的受力問題簡化為雙向受壓無限寬板帶有中心圓孔的應(yīng)力分布問題。圓形孔洞圍巖的彈塑性分析是經(jīng)典的巖土力學(xué)問題，該問題最先由R.Fenner提出，在軸對稱荷載情況下，Kastner[1]將圍巖視為理想彈塑性介質(zhì)得到了圓孔圍巖的彈塑性解析解，后來，國內(nèi)外學(xué)者又對其進行了修正[2-4]。蔡海兵等[5]基于廣義Hoek-Brown準則，研究了在軸對稱荷載條件下巖體剪脹和塑性區(qū)內(nèi)的彈性變形對圍巖的影響。張小波等[6]基于Drucker-Prager準則和非關(guān)聯(lián)流動法則，研究了在軸對稱荷載條件下應(yīng)變峰后軟化與擴容對圍巖的影響。在非軸對稱荷載情況下，蔡曉鴻等給出了隧洞圍巖的塑性區(qū)分布解析解，但未考慮巖土體的軟化和剪脹性[7-8]；孫金山等[9]通過試算法找到了適當(dāng)?shù)膽?yīng)力函數(shù)，基于該應(yīng)力函數(shù)并考慮巖土體的剪脹和軟化特性，得到了圓形隧洞圍巖的彈塑性解析解，但只考慮了側(cè)壓系數(shù)為1～3的情況。

在工程上，一般將巷道的軸向方向與最大主應(yīng)力方向平行布置，這樣可以降低構(gòu)造應(yīng)力對巷道穩(wěn)定性的影響[10]。有時，受工程地質(zhì)條件影響，巷道的軸向往往與各應(yīng)力方向呈一定的傾角[11]，從而導(dǎo)致巷道變形較為劇烈。本文基于彈塑性理論，通過坐標(biāo)變換得到了側(cè)壓系數(shù)和巷道軸向傾角對巷道圍巖穩(wěn)定性的影響，并研究了巷道圍巖彈塑性交界處偏應(yīng)力主值的分布情況。

1 圓孔孔壁的應(yīng)力轉(zhuǎn)換及力學(xué)模型

深部礦體受到三向地應(yīng)力作用，即兩個水平方向的地應(yīng)力σh1、σh2和一個垂直方向的地應(yīng)力σv，基于三個地應(yīng)力主方向建立坐標(biāo)系如圖1所示。

本文在計算時基于如下假設(shè)：

（1）巷道圍巖視為均質(zhì)各向同性材料；

（2）塑性區(qū)的應(yīng)力取決于巖體的極限平衡 狀態(tài)；

（3）巷道為平面應(yīng)變問題且為小變形范疇[12]。

圖1 坐標(biāo)變換

計算時，可將巷道簡化為圓孔問題進行解析。由于圓孔的軸向方向往往不與三個主應(yīng)力方向平行，通過坐標(biāo)變換使得圓孔軸向與某一坐標(biāo)軸方向重合可以降低圓孔圍巖應(yīng)力場的分析難度。因此， 將基于三個地應(yīng)力主方向建立的坐標(biāo)系按照圖1所示方式進行兩次坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。

（1）在不改變坐標(biāo)原點位置的情況下先將基于三個地應(yīng)力主方向建立的坐標(biāo)系以σv為軸按右手定則旋轉(zhuǎn)角α，建立坐標(biāo)系（X1，Y1，Z1），在該坐標(biāo)系下各應(yīng)力分量為：

式中，[σlm]表示原坐標(biāo)系中各應(yīng)力分量，其中：

（2）同樣在不改變坐標(biāo)原點情況下，再將坐標(biāo)系（X1，Y1，Z1）以Y1為軸按右手定則旋轉(zhuǎn)角β，形成坐標(biāo)系（X，Y，Z），在該坐標(biāo)系下各應(yīng)力分量為：

式中：

由式（1）至式（4）得：

式中：

由式（5）得到在坐標(biāo)系（X，Y，Z）中，圍巖各應(yīng)力分量為：

忽略水平方向應(yīng)力的差異，即認為σh1=σh2，令σv=p0，σh1=σh2=λp0，λ為側(cè)壓系數(shù)。從而式（7）可簡化為：

將圓孔簡化為平面應(yīng)變問題，從而得到圓孔受力模型如圖2所示，圖中a為孔半徑，Rp為塑性區(qū)半徑，并令σy=q，σx=kq。

圖2 圓孔受力模型

由圖2及式（8）可知，當(dāng)忽略兩個水平主應(yīng)力的差異時，巷道圍巖的應(yīng)力分布情況與角α無關(guān)。

2 巷道圍巖應(yīng)力及位移彈塑性解

2.1 彈性區(qū)應(yīng)力與位移解

由圖2可知，巷道圍巖在彈性區(qū)的受力狀態(tài)可視為雙向受壓無限寬板帶有中心圓孔的應(yīng)力分布問題。將極坐標(biāo)軸設(shè)在水平位置，由彈性力學(xué)中的基爾斯解答可得到彈性區(qū)的應(yīng)力為[13]：

式中，θ表示與極軸的夾角，pa為彈塑性交界面的接觸壓力。

彈性區(qū)在極坐標(biāo)下的幾何方程為：

由圖1可知，σy=q，σx=kq，由式（9）和式（10）得到彈性區(qū)的位移表達式如下：

根據(jù)魯賓涅特方程得到塑性區(qū)半徑的計算公式如下[14]：

式中，?為圍巖的內(nèi)摩擦角，P1為支護力。當(dāng)支護力為0時:

將式（13）代入式（12）得：

2.2 塑性區(qū)應(yīng)力與位移解

結(jié)合前文假設(shè)條件（2），塑性區(qū)的平衡微分方程可寫為：

假設(shè)塑性區(qū)的圍巖所承擔(dān)的應(yīng)力為巖體自身能承擔(dān)的極限應(yīng)力，當(dāng)采用Mohr-Coloumb屈服準則時，結(jié)合前文假設(shè)條件（2），在極坐標(biāo)下塑性區(qū)的圍巖應(yīng)力滿足下式：

式中，σc為圍巖的單軸抗壓強度。當(dāng)r=Rp時，，結(jié)合式（15）與式（16）并令， 得到塑性區(qū)的應(yīng)力解：

塑性區(qū)內(nèi)的圍巖遵循非關(guān)聯(lián)流動法則，考慮剪脹效應(yīng)對塑性區(qū)的影響得到塑性區(qū)的應(yīng)變關(guān)系為：

式中，ψ為剪脹角。

假定塑性區(qū)中的應(yīng)變呈軸對稱分布，上式可以寫成：

由式（18）和式（19），忽略塑性區(qū)圍巖的彈性變形并結(jié)合彈塑性交界面徑向位移連續(xù)條件：，可解得塑性區(qū)的徑向位移為：

在彈塑性區(qū)交界處的應(yīng)力滿足式（16），結(jié)合式（9）與式（16），可以解得彈塑性交界面的接觸力為：

3 彈塑性交界處偏應(yīng)力場分布規(guī)律

巖體的穩(wěn)定性與巖體所處的偏應(yīng)力場有密切關(guān)系，偏應(yīng)力主要影響巖體的畸變，對巖體的破壞起重要作用。因此，分析巷道圍巖彈塑性交界面處的偏應(yīng)力狀態(tài)對巷道的支護設(shè)計具有一定的工程指導(dǎo)意義。

令r=Rp，利用彈性力學(xué)中的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，可由式（9）得到彈塑性交界處應(yīng)力的直角坐標(biāo)表達式：

由于本文采用平面應(yīng)變問題，故εz=0，由廣義胡克定律知：

由式（22）、式（23）得到：

由式（22）與式（24）即可得到圓孔圍巖彈塑性交界處在直角坐標(biāo)系下的各應(yīng)力分量值。一點的應(yīng)力狀態(tài)可分解為靜水壓力狀態(tài)和偏應(yīng)力狀態(tài)之和，即：

式中，δij為Kronecker符號，σ0為平均應(yīng)力，σ0δij為球形張量。

平均應(yīng)力為：

由式（23）知，τxz=τyz=0，故主偏應(yīng)力為：

式中，θσ為lode角，可由下式確定：

式中：

由上述公式即可算出彈塑性交界處各偏應(yīng)力主值。

4 算例

4.1 側(cè)壓系數(shù)和傾角對塑性區(qū)半徑的影響

基于上述公式以及數(shù)值計算軟件Matlab并以某礦圍巖力學(xué)參數(shù)作為依據(jù)來分析圓孔周圍的應(yīng)力、位移、塑性區(qū)分布情況及其影響因素。取垂直方向的地應(yīng)力為12 MPa，圍巖各力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 圍巖力學(xué)參數(shù)

由表1中的數(shù)據(jù)并結(jié)合式（14）即可算出圓孔塑性區(qū)半徑。圖3為不同傾角β和不同側(cè)壓系數(shù)λ下塑性區(qū)半徑在極坐標(biāo)下的分布情況。

圖3 塑性區(qū)半徑

由圖3可知，當(dāng)側(cè)壓系數(shù)為1時，塑性區(qū)形狀恒為圓形并且其大小不受傾角的變化而變化。并且當(dāng)側(cè)壓系數(shù)為1時，圖2所示的力學(xué)模型變?yōu)檩S對稱荷載情況，Kastner曾給出過較為經(jīng)典的軸對稱荷載下圍巖的塑性區(qū)分布情況，圖3所示的計算結(jié)果與Kastner解答得出的塑性區(qū)分布形狀及范圍相吻合。在不同傾角情況下，塑性區(qū)范圍均隨側(cè)壓系數(shù)λ的增大而增大。當(dāng)傾角β為15°時，在不同側(cè)壓系數(shù)下塑性區(qū)形狀近似呈圓形。隨著β的增大，在側(cè)壓系數(shù)不等于1的情況下塑性區(qū)形狀為橢圓形，當(dāng)側(cè)壓系數(shù)大于1時，塑性區(qū)形狀由“豎橢圓”狀變?yōu)椤皺M橢圓”狀。值得注意的是，當(dāng)側(cè)壓系數(shù)為0.5時，隨傾角的增加，塑性區(qū)形狀逐漸由橢圓形演化成“葫蘆狀”，其中在水平方向上塑性區(qū)半徑隨傾角的增大而減小，在豎直方向上塑性區(qū)半徑隨傾角的增大而增大?？偟膩碚f，側(cè)壓系數(shù)λ對圍巖塑性區(qū)范圍的影響較大，對塑性區(qū)的形狀影響較?。粌A角β對塑性區(qū)的形狀影響較大，而對塑性區(qū)的范圍影響較小。

4.2 側(cè)壓系數(shù)和傾角對孔壁位移量的影響

圍巖位移量大小可直接反應(yīng)圍巖穩(wěn)定性?；谑剑?0）計算得到塑性區(qū)內(nèi)圍巖的位移量情況，計算結(jié)果如圖4所示。

由圖4可看出，距離孔壁的距離越大，圍巖的位移量越小。當(dāng)傾角β為15°且側(cè)壓系數(shù)λ為0.5時，孔壁的位移量最小，結(jié)合圖3可知，此時塑性區(qū)半徑最小并且塑性區(qū)形狀近似為圓形。當(dāng)傾角β為15°且側(cè)壓系數(shù)λ為1.5時，孔壁的位移量最大。當(dāng)λ小于1時，傾角越大，孔壁的位移量越大；當(dāng)λ大于1時，傾角越大，孔壁的位移量越小。當(dāng)λ=1時，孔壁在水平方向的位移量與豎直方向上相等，并且孔壁的位移量不隨傾角的改變而改變，此時圍巖的塑性區(qū)半徑為圓形。

圖4 不同傾角及側(cè)壓系數(shù)下孔壁位移情況

4.3 彈塑性交界面偏應(yīng)力場分布情況

由式（25）至式（30）可得到彈塑性交界處各偏應(yīng)力主值的分布情況，計算結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，在彈塑性交界面處三個偏應(yīng)力主值隨側(cè)壓系數(shù)及傾角的改變而同步發(fā)生變化。

在水平方向上（θ=0°），當(dāng)側(cè)壓系數(shù)小于1時，三個偏應(yīng)力主值均隨傾角的增加而減小；當(dāng)側(cè)壓系數(shù)大于1時，三個偏應(yīng)力主值均隨傾角的增加而 增大。

在豎直方向上（θ=90°），彈塑性交界處的偏應(yīng)力場變化規(guī)律與水平方向恰好相反：當(dāng)側(cè)壓系數(shù)小于1時，三個偏應(yīng)力主值均隨傾角的增大而增大；當(dāng)側(cè)壓系數(shù)大于1時，三個偏應(yīng)力主值隨傾角的增加而減小。

根據(jù)圖5，當(dāng)側(cè)壓系數(shù)為1時，無論在水平方向還是在豎直方向上，彈塑性交界處的三個偏應(yīng)力主值均為定值且不隨傾角的變化而變化。這是因為當(dāng)側(cè)壓系數(shù)為1時，圖2所示的受力模型變?yōu)檩S對稱荷載情況，此時圍巖的應(yīng)力狀態(tài)只與半徑有關(guān)而與極角無關(guān)，故而出現(xiàn)上述情況。

圖5 彈塑性交界處偏應(yīng)力場分布情況

5 結(jié)論

根據(jù)上述分析可得出以下主要結(jié)論：

（1）通過應(yīng)力分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，得到了考慮軸向傾角的非等壓條件下巷道受力模型，采用Mohr-Coloumb屈服準則，推導(dǎo)了圓孔圍巖的彈塑性解析解。

（2）側(cè)壓系數(shù)對巷道塑性區(qū)范圍的影響較大，對塑性區(qū)的形狀影響較?。粌A角對塑性區(qū)的形狀影 響較大，而對塑性區(qū)的范圍影響較小?？妆趪鷰r在豎直方向上和水平方向上的位移量隨側(cè)壓系數(shù)的變化表現(xiàn)出不同的變化規(guī)律。

（3）圍巖彈塑性交界面處，在水平方向上，當(dāng)側(cè)壓系數(shù)小于1時，三個偏應(yīng)力主值均隨傾角的增加而減小，當(dāng)側(cè)壓系數(shù)大于1時，三個偏應(yīng)力主值均隨傾角的增加而增大。豎直方向上則相反。