“指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的可視化學(xué)習(xí)”的課堂實(shí)踐

江蘇省無錫市堰橋高級中學(xué) 郭桂霞

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是人教版選修性必修第一冊內(nèi)容，分為兩個課時，“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時是學(xué)生學(xué)習(xí)了直線方程、圓的方程之后的后繼知識，學(xué)生已具有一定的觀察、分析和解決一些相關(guān)問題的能力。而推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法對雙曲線、拋物線方程的推導(dǎo)具有直接的類比作用，為學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線內(nèi)容提供了理論基礎(chǔ)和基本模式，是一個重要的數(shù)學(xué)建模示范。本文從知識導(dǎo)入、知識建構(gòu)、知識運(yùn)用三方面教學(xué)實(shí)錄與評析談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中通過設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考，提升學(xué)生思維，主動建構(gòu)模型，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、知識導(dǎo)入

情境1：播放“嫦娥五號”探測器發(fā)射升空的視頻，當(dāng)屏幕上出現(xiàn)探測器運(yùn)行的軌跡時，學(xué)生齊聲呼喚軌道是橢圓。

（評析：背景材料緊跟時代步伐，迅速抓住學(xué)生的注意力，能讓學(xué)生觸景生情，激發(fā)探索熱情，認(rèn)識到建模的必要性，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)從生活中來，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。）

情境2：幾何畫板展示圓被壓扁的過程

生眾：橢圓。

師：以上圖形從感性上看都給我們橢圓的印象，從數(shù)學(xué)理性的角度上看，它們是嚴(yán)格意義上的橢圓嗎？為了進(jìn)一步研究橢圓，我們將利用解析幾何的思想，用代數(shù)的方法來研究幾何問題，所以我們要研究橢圓的方程，這就是我們要研究的課題：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（評析：設(shè)置情境,引入疑惑,激發(fā)學(xué)生對問題的思考與反思，給出研究課題的必要性。讓學(xué)生能從數(shù)學(xué)的眼光思考問題，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性。）

二、知識建構(gòu)

師：如何求橢圓方程？關(guān)于橢圓你有哪些了解？

生眾：橢圓定義。

（評析：讓學(xué)生能主動地根據(jù)先前認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有選擇性地知覺外在信息，讓思維有增長的起點(diǎn)。）

師：橢圓的定義是什么？

生1：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)FF的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

師：常數(shù)有要求嗎？

生2：常數(shù)2a必須大于FF。

師：為什么？

生3：如果常數(shù)等于FF，軌跡為線段FF；若常數(shù)小于FF，軌跡不存在。

（評析：讓學(xué)生了解知識的內(nèi)涵與外延，這是思維增長的必經(jīng)過程。）

師：我們不會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，回顧一下如何求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

生4：建立坐標(biāo)系、設(shè)點(diǎn)、找等量關(guān)系、代入坐標(biāo)、化簡。

（評析：通過復(fù)習(xí)舊知識，并采用同化法，喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的提取，從而找到了知識的“生長點(diǎn)”。）

師：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？

生5：以FF所在直線為x軸，以過F與FF垂直的直線為y軸。

生6：以FF所在直線為x軸，以FF中垂線為y軸。

師：有兩種建系的方法，大家覺哪個更好呢？為什么？

生7：第二個，圖形更對稱，感覺后面的運(yùn)算可能更簡單一點(diǎn)。

（評析：尊重學(xué)生思路，發(fā)揮學(xué)生主體性，并讓學(xué)生學(xué)會思考思路的合理性與思路的優(yōu)化、能優(yōu)化的原因，培養(yǎng)學(xué)生思維的不斷深入。）

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系：以直線FF為x軸，線段FF的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系。

（2）設(shè)點(diǎn)P(x,y)：設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn),FF=2c，F(xiàn)(-c,0),(c,0)。

師：如何化簡這個方程呢？大家可討論討論。

生8：直接兩邊平方；

生9：移項(xiàng)后兩邊平方；師：我們選哪種方法？生10：第二種，一邊一根式，對稱一些。

（評析：前面建系的對稱性已在學(xué)生思維里有了意識，主動去優(yōu)化方法，思維有所增長。）

在黑板上用方案2加以推導(dǎo)。在化簡得出方程(a-c)x+ay=a(a-c)后師：能否把式子寫得更簡潔些？

師：大家觀察式子的特征，若x，y是一次的話，是什么曲線的方程？

生11：直線的截距式方程。

生12：與x軸的交點(diǎn)為(-a,0)，(a,0)，與y軸的交點(diǎn)為(-b,0)，(b,0)。

師：一次是直線，二次是曲線表示橢圓，數(shù)學(xué)很奇妙。

（評析：滲透了自然美、對稱美、簡潔美，幫助學(xué)生記憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。）

師：這里a，b，c的等量關(guān)系和大小關(guān)系如何？

師：那么方程是否會具有對稱性呢？

生13：好像有，x，-x分子是平方，的平方一樣，y，-y的平方一樣。

它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，a是最大的（既然b=a-c，那么我們是否能在圖中找到以a,b,c為邊的直角三角形呢？結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)△OFB）

（評析:讓學(xué)生從數(shù)的角度感受到對稱性，體會形與數(shù)的統(tǒng)一。）

生眾：圓。

（評析：從代數(shù)的角度觀察橢圓與圓的區(qū)別，對情境2的直觀感知的嚴(yán)謹(jǐn)化。）

師：橢圓可圓可扁，焦點(diǎn)在軸上的橢圓該如何表示？

（評析：類比焦點(diǎn)在軸上的橢圓，讓學(xué)生利用已有知識,在做中學(xué),類比學(xué),并把新知識同化到原有知識。）

三、知識運(yùn)用

例1：判斷下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個軸上，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)：（過程略）

師：能幫我們總結(jié)一下求焦點(diǎn)的方法嗎？

生15：先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再看分母大小確定焦點(diǎn)位置，再利用c=b-c求出，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)。

（評析：通過具體實(shí)例讓學(xué)生能根據(jù)分母的大小判斷焦點(diǎn)位置，會求橢圓方程中的基本量a,b,c的方法。）

變式：求適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦 點(diǎn) 是F(-2,0)，F(xiàn)(2,0)且過點(diǎn)P(2,3)。（2）焦距為4，且過點(diǎn)P(2,3)。

師：對于（1），你能說出解題思路和主要過程嗎？

生17：2a=PF+PF,直接求出a，c=2，b=a-c求出b。

（評析：掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用的思想方法——定義法和待定系數(shù)法；求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，焦點(diǎn)位置不確定，能主動分類討論。）

例2：已知一輛運(yùn)油車上的儲油罐截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)之和為3m，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(過程略)

（評析：與課程導(dǎo)入相呼應(yīng)，解決實(shí)際問題。讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，讓學(xué)生面對實(shí)際問題時，能用數(shù)學(xué)的思維去分析、建立模型并解決。）

教學(xué)反思：本課是圓錐曲線的方程的起始課，通過在課堂上讓學(xué)生直觀感受橢圓形狀，判斷橢圓的方法，讓學(xué)生感受直觀的不足、研究橢圓方程的必要，讓學(xué)生的思維從具體到抽象，從淺層到深入，思維的發(fā)展可視化。在研究未知的橢圓方程時，引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)的圓的方程的求法，主動類比研究橢圓,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識。橢圓方程出來后,讓學(xué)生從數(shù)與形兩個角度感受對稱性，體會數(shù)學(xué)形與數(shù)的統(tǒng)一，感受數(shù)學(xué)的美，讓學(xué)生能在后續(xù)的雙曲線中主動尋找數(shù)學(xué)的美，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)美并創(chuàng)造美的能力，感受大自然美的同時能嘗試用數(shù)學(xué)建模的思想給予美的詮釋。

數(shù)學(xué)是一種思維活動，數(shù)學(xué)教育是思維的教育。在知識的導(dǎo)入與生成過程中，通過設(shè)置高質(zhì)量的問題，讓學(xué)生充分思考，尋求思路的合理性，主動優(yōu)化思路，讓思維的增長有土壤，教師搭好腳手架，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識，在做中學(xué)，類比學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思維不斷走向深入，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。