橫向遷移，縱向類比
——基于一類閱讀理解題命制的思考

江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)浦頭鎮(zhèn)高漢中學(xué) 周 鵬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》對學(xué)習(xí)評價(jià)提出明確要求，要求評價(jià)關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)展與變化。怎樣在命題評價(jià)中融入課堂教學(xué)過程中產(chǎn)生的新情境、新問題、新思路、新方法、新結(jié)果，彰顯命題對學(xué)生學(xué)法指導(dǎo)的延伸？好的命題除卻考查核心知識與基本技能之外，還能留有余味，使得學(xué)生在潛移默化中把問題解決的辦法凝練成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解決問題的方式方法。

從命題的區(qū)分評價(jià)效能角度分析，一般解答題常因?qū)W生靈動思維而異，出現(xiàn)精彩的一題多解，而一類按照閱讀試題材料中規(guī)定的思考方向，限制了思維的靈活性，但閱讀中呈現(xiàn)思考過程，站在學(xué)生思考解決問題的角度分解難點(diǎn)，培育現(xiàn)場學(xué)習(xí)力，限制其方法選用，可以更加精準(zhǔn)地與命題制定的雙向細(xì)目表中知識考查、能力應(yīng)用銜接。（比如，命題者原本是想利用幾何圖形性質(zhì)來考查兩直線平行，結(jié)果學(xué)生卻用解析法求證，這就導(dǎo)致考試結(jié)果與預(yù)期考查的效度和信度失真。）

下面呈現(xiàn)新近參加的區(qū)期末調(diào)研測試命題中試題初稿編寫到定稿打磨的兩個(gè)案例，并圍繞著如何編制這類閱讀理解題進(jìn)行思考，希望對同行們有所啟發(fā)。

一、命題案例

案例一：【初稿試題】解答題：

(1)如圖所示，點(diǎn)D、E分別為線段CB、AC的中點(diǎn)，若ED＝6，求線段AB的長度。

(2)若點(diǎn)C在線段AB的延長線上，點(diǎn)D、E分別為線段CB、AC的中點(diǎn)，DE＝6,求AB的長度。

【命題意圖】結(jié)合課標(biāo)中理解線段中點(diǎn)意義的要求，著重考察整體思想，分類討論思想，落實(shí)課標(biāo)中義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)使學(xué)生獲得發(fā)展所必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo)。

【命題反思】基于七年級上冊第六章“平面圖形的認(rèn)識”的篇幅，在期末測試卷中安排這道解答專項(xiàng)考查有與本卷壓軸題中線段計(jì)算討論重復(fù)之嫌，對另一重要基本圖形角度的認(rèn)知考查篇幅明顯縮水，命題在倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)欣賞”上怎么做到“入乎其內(nèi)，出乎其外”，怎么在命題研制中倡導(dǎo)課堂教學(xué)成果擴(kuò)大，設(shè)計(jì)可以考查學(xué)生學(xué)習(xí)過程的試題呢？

筆者回憶起了課堂教學(xué)中的一個(gè)片段，在一次第六章（蘇科版義務(wù)教育教科書七年級）習(xí)題講評課上講解問題“點(diǎn)B在直線AC上，AC=10cm，BC=6cm，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是AC、BC的中點(diǎn).求線段MN的長”，在老師提示注意題目中點(diǎn)B在直線AC上的條件，并未確定點(diǎn)B的位置的暗示下，多數(shù)同學(xué)畫出了下文的圖1、圖2，順利解決了問題。

我正準(zhǔn)備進(jìn)入下一道習(xí)題講評時(shí)，生1高舉小手說道：“在未提供圖形的角的求解中也可以借鑒剛才線段與點(diǎn)的位置學(xué)到的分類方法。”教者追問：“你能具體舉例怎么將方法遷移到角度運(yùn)用中嗎？”生1同學(xué)信心十足地走上講臺，在黑板上寫下：已知同一平面內(nèi)∠AOB=90°，∠AOC=60°，求∠COB的度數(shù)。學(xué)生們仔細(xì)思考后課堂上響起了陣陣掌聲。教者隨即調(diào)整了講評計(jì)劃，探究問題：“如果進(jìn)一步類比線段中點(diǎn)提出∠BOC、∠AOC的平分線夾角也可遷移求解嗎？”

基于與生1互動中產(chǎn)生的靈感，命題時(shí)想把線段和角解答兩題合一，著力考查學(xué)生從具體的問題情境中獲取信息的能力，兼顧滲透類比、分類等基本的思想方法，終稿量身打造為如下閱讀分析題。

【終稿試題】先閱讀材料，從閱讀中學(xué)方法，再細(xì)心解答：

【讀一讀】解決問題“點(diǎn)B在直線AC上，AC=10cm，BC=6cm，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是AC、BC的中點(diǎn)。求線段MN的長”。小明畫出了圖1所示圖形，過程如下。

圖1

李老師畫出圖2，并寫下批語：注意“點(diǎn)B在直線AC上”的條件哦！

圖2

【想一想】寫出線段MN的正確求解過程。

【做一做】用類似求解線段MN的方法完成下題。

已知同一平面內(nèi)∠AOB=90°，∠AOC=60°，

圖3

(1)填空∠COB=___°；

(2)如果OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接寫出∠DOE的度數(shù)為___°；

(3)試問在（2）的條件下，如果將題目中∠AOC=60°改成∠AOC是銳角，其他條件不變，你能求出∠DOE的度數(shù)嗎？若能，請你寫出求解過程；若不能，請說明理由。

【改編意圖】試題雖然加大了閱讀量，但模擬出的課堂情境再現(xiàn)了考試需要的公平環(huán)境，加之情境的貼近也有效地緩解了考生的畏難情緒，更重要的是從試題中學(xué)方法，從李老師的補(bǔ)充圖形和批語中感悟出未能提供圖形的幾何試題常需分類可以遷移到填空∠COB的度數(shù)有兩種情形，求解中凸顯的借助線段和差，巧用中點(diǎn)將變量向已知量AB轉(zhuǎn)化為解決終稿試題（3）指明解題路徑和方向，“授之以魚，不如授之以漁”的同時(shí)達(dá)成“舉一隅反三隅”遷移。

案例二：【初稿試題】在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，求BC的長。

【命題意圖】結(jié)合勾股定理考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。

【命題反思】考慮到已知三角形兩邊，三角形的形狀并不能確定，所以試題未提供圖形，事實(shí)上，隨著三角形形狀變化會發(fā)生位置的變化，分類的難點(diǎn)直接呈現(xiàn)會不會成為思維不嚴(yán)密的學(xué)生解題時(shí)的攔路虎，能不能呈現(xiàn)學(xué)生研究討論的過程，分解難點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)思想的滲透更自然些呢？能不能降低搭設(shè)解決初稿試題的腳手架，從學(xué)生學(xué)習(xí)三角形中三條重要線段認(rèn)知儲備出發(fā)，分解難點(diǎn)，通過借鑒呈現(xiàn)高線探究的過程，讓學(xué)生參照試題中討論自然生成分類的思想呢？

【終稿試題】先閱讀材料，再按照閱讀材料中討論的方法解決問題：讀一讀小明同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文片段：《高線的與眾不同的發(fā)現(xiàn)》。

研究問題：“兩個(gè)三角形中有兩組邊對應(yīng)相等，第三組邊上的對應(yīng)高相等，兩個(gè)三角形是否全等？”

小剛畫出兩個(gè)形狀相同的三角形，很快證明了全等。

小明的疑惑是：從已知條件出發(fā)，畫出的兩個(gè)三角形一定會形狀相同嗎？

研究三角形中三條重要線段之后，我發(fā)現(xiàn)三角形的高線與角平分線、中線的不同在于高線的位置隨三角形形狀的變化而變化，具有不確定性……

做一做：從小明的疑惑出發(fā)，畫圖舉出反例說明研究問題中的兩個(gè)三角形全等是假命題。

議一議：解決“等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，求等腰三角形頂角度數(shù)”問題時(shí)，小剛畫出了一個(gè)銳角等腰三角形，求得頂角為30°。判斷小剛的解答是否正確，如果正確，請你說明理由，如不正確，請結(jié)合小論文中的思考將解答補(bǔ)充完整。

想一想：在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，求BC的長。

用一用：在△ABC中，高AD和BE所在的直線交于點(diǎn)H，且BH=AC，則∠ABC的度數(shù)為_____。

【命題反思】試題通過數(shù)學(xué)小論文的形式設(shè)置閱讀情境，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律螺旋式上升提出四個(gè)問題，在問題解決的初始階段借助小明的疑問引發(fā)學(xué)生思考，在舉出反例的應(yīng)用中引領(lǐng)學(xué)生感知三角形形狀不確定時(shí)其高線所在位置也不確定這一難點(diǎn)，類比解決問題時(shí)借鑒判斷小剛的解題過程是否正確，從高線概念的同化和異化中自然生成對高線AD位置的討論的思想，在知識運(yùn)用的變遷中學(xué)生會把現(xiàn)場感悟的思想方法形成能力，遷移運(yùn)用，解決新的問題。讓學(xué)生提前知道課堂的學(xué)習(xí)內(nèi)容，清楚課堂學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，確定課堂學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)，整合學(xué)習(xí)資源的支撐點(diǎn)，明確學(xué)習(xí)過程中的疑惑點(diǎn)，厘清合作交流的探究點(diǎn)，找準(zhǔn)解決問題的方法點(diǎn)等。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，提升了自覺學(xué)習(xí)能力，找到學(xué)習(xí)切入點(diǎn)，合作探究，主動自覺；提升了分析解決問題的能力，依據(jù)自身特點(diǎn)，選擇適合的學(xué)習(xí)方法，收集整合資源，舉一反三；提升了思維判斷能力，對問題進(jìn)行分析、判斷、假設(shè)、求證、解決，思維嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)生學(xué)習(xí)由被動變?yōu)橹鲃?，變?yōu)樽灾?、合作、探究；由無序變?yōu)橛行颍杂X，目標(biāo)明確，路徑清晰，有層次，有梯度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

教師在組織概念教學(xué)時(shí)，要設(shè)法降低思維門檻，經(jīng)過初等化處理轉(zhuǎn)換到學(xué)生思維可觸之處。以命題游戲的形式呈現(xiàn)是許多教師的選擇，將命題游戲運(yùn)用于課堂，將抽象的數(shù)學(xué)問題游戲化，讓學(xué)生手腦并用，使思維得到發(fā)展，因此，教師在組織教學(xué)時(shí)，可根據(jù)需要設(shè)計(jì)一些特色鮮明的游戲，并把它融合到課堂中去，利于教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一種寬松、和諧的課堂氣氛，誘導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機(jī)，學(xué)生在無比興奮中，不知不覺地學(xué)會了知識，提高了能力。

命題無獨(dú)有偶，近年中考中也呈現(xiàn)了一些獨(dú)具新意，通過閱讀材料展現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程，并按照學(xué)習(xí)過程中的方法解決新問題的試題，如鹽城2017年中考卷第27題、北京2018年中考卷第26題等。

綜上所述，試題或者習(xí)題的編寫除了從生活中捕捉數(shù)學(xué)問題，從教材中深挖經(jīng)典問題，從教研中思辨這些常規(guī)途徑之外，亮點(diǎn)命題不走平凡路，從課堂中發(fā)現(xiàn)，從學(xué)生研題解題中來收集素材，命制鮮活情境的重過程、重思維，指引學(xué)生在感悟?qū)W習(xí)方法中漸進(jìn)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的閱讀理解題會持續(xù)升溫，按照試題呈現(xiàn)的規(guī)定解法遷移解決一類問題也是命題的一個(gè)重要立意和價(jià)值取向。

二、案例反思

（一）過程呈現(xiàn)，方向明確

整合學(xué)習(xí)結(jié)果檢測與過程探究的契合度，通過模擬課堂呈現(xiàn)問題情境設(shè)計(jì)一類按照習(xí)題中規(guī)定解法解決新的問題的試題，以學(xué)生熟悉的課堂片段為切入點(diǎn)，既幫助學(xué)生克服了畏難情緒，調(diào)動了學(xué)生的興趣，又激發(fā)了學(xué)生的解題動機(jī)，過程中展現(xiàn)的思維碰撞、方法思考降低了解題難度，利于學(xué)生明確考點(diǎn)，把握解題方向。學(xué)生在公平熟悉的問題情境中便于開展思考，從閱讀材料研讀中提煉一類問題的解題思路方法，并類比該思路方法，形成解題策略，“讀一題，會一類，通一片”，從而達(dá)到在試題中學(xué)方法，提升現(xiàn)場學(xué)習(xí)力的考查目的。通過過程呈現(xiàn)中的橫向和縱向遷移，學(xué)生在解決問題的過程中能真正將類比、轉(zhuǎn)化、歸納等思想方法內(nèi)化為自己研究數(shù)學(xué)的手段。

（二）凸顯主體，感悟思想

此類試題通過再現(xiàn)課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，常以學(xué)生討論的形式闡述對問題的深入理解，并考查學(xué)生能否通過展開聯(lián)想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、類比遷移等手段將已有的經(jīng)驗(yàn)有效連接。這類試題的結(jié)構(gòu)形式上本身就提供了一種范例，一種問題求解的模型，一種類比學(xué)習(xí)的指導(dǎo)，一種問題解決的反思……牽引著學(xué)生思考，讓學(xué)生在“解題中學(xué)會解題” ，伴隨著問題的解決，學(xué)生主體對思想方法的認(rèn)識從感性到理性螺旋式上升。學(xué)生結(jié)合題中呈現(xiàn)的知識點(diǎn)和探求線索，深度思考中會夯實(shí)對一類思想方法的感悟理解，最終會達(dá)成自主運(yùn)用思想方法發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析解決問題的課程目標(biāo)，形成自主學(xué)習(xí)的能力。

章建躍教授推崇簡潔流暢、回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)的“真正數(shù)學(xué)題”，遷移到教學(xué)，命題同樣適用。值得一提的是提到模型，就有技巧、定式的偏見，我想模型教學(xué)，不是追求簡單的記憶與模仿，而是著力于模型的理解與活用，始于知識理解，歷經(jīng)知識遷移，終于知識創(chuàng)新，命題亦是如此.

命題不僅需要從教材出發(fā)，與經(jīng)典對話，還需從學(xué)情出發(fā)，與學(xué)生對話。在命題中可以推薦介紹優(yōu)秀的學(xué)習(xí)方法，比如案例1，從線段的討論求解中學(xué)習(xí)解決角度求解的方法達(dá)成舉一反三，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決類似的問題。案例2以數(shù)學(xué)小論文中“小明的疑惑”為問題呈現(xiàn)形式，既引領(lǐng)學(xué)生把握問題本質(zhì)，建立有效模型類比解決問題，又呼喚學(xué)生要通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)寫作來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

拓寬命題的資源庫，從課堂生成中編寫一類按照情境中的方法解決問題的試題，需要教師俯下身子，換換位置，在課堂上多讓學(xué)生說說、想想、試講，在課后讓學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)小論文寫作，多積累收集素材。長此堅(jiān)持收獲的不僅是點(diǎn)燃學(xué)生參與數(shù)學(xué)的熱情，還可讓試題的呈現(xiàn)形式更加豐富，讓一類從教學(xué)實(shí)踐中編擬的從問題解決中學(xué)方法的試題更具生機(jī)。更需要教師從日常課堂教學(xué)出發(fā)，常態(tài)化引領(lǐng)學(xué)生主體討論“你是怎么想的？你是怎樣想到的?你還能怎么想？”。在有效的互動中，于學(xué)生思維發(fā)散處形成命題靈感，于學(xué)生思維障礙處捕捉命題素材，讓這類教考結(jié)合、考研結(jié)合、動靜結(jié)合，按照指定方法解題的試題更具活力，讓學(xué)生在解題過程中把握一次新的學(xué)習(xí)機(jī)會，在掌握運(yùn)用一類數(shù)學(xué)問題解決的“通法、通式”中，讓數(shù)學(xué)思想方法自然生長。

針對學(xué)生思維的薄弱環(huán)節(jié)，定點(diǎn)打鐵，在命題中嘗試編制這類閱讀理解試題，有助于學(xué)生建更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)拉長思維的過程，將數(shù)學(xué)新問題中涉及的知識、類型、思想、方法、策略與元認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)方面建構(gòu)實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，解決問題的同時(shí)，原有的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)必將得到改組和重建。通過命題引領(lǐng)課堂教學(xué)變革，為學(xué)生提供一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的空間，孩子會在與數(shù)學(xué)同行之旅中精彩不斷。