帶有通脹風險的退休后最優(yōu)投資-年金化時刻決策

伍慧玲, 王 靜, 王秀國, 李嬋娟

(1.中央財經(jīng)大學 中國精算研究院,北京 102206; 2.中華聯(lián)合財產(chǎn)保險股份有限公司,北京 100071; 3.中央財經(jīng)大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院,北京 102206; 4.內(nèi)蒙古大學 經(jīng)濟管理學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

0 引言

確定繳費型養(yǎng)老計劃，以退休時刻為分界點，可以分為退休前累積期(accumulation phase)和退休后領取期(decumulation phase)兩個不同的階段。退休前累積期的管理目的為處理金融風險、背景風險和工資波動風險等，以最大化退休時刻的投資回報。然而，確定繳費養(yǎng)老計劃的風險管理，不光出現(xiàn)在退休前的累積期。在退休時刻，在允許的情況下，退休者可以選擇不購買終身年金，而選擇延遲購買年金。在退休時刻至年金化時刻或死亡時刻之間，退休者可定期從養(yǎng)老基金賬戶里抽出一定的財富用于日常消費支出，剩余的財富可根據(jù)自己的偏好進行風險投資，目的是盡可能地提高年金化時刻的財富水平，或者最大化決策周期內(nèi)的累積消費效用與年金化效用(或遺產(chǎn)效用)之和。

按優(yōu)化目的的不同，退休后的優(yōu)化管理研究方向大致可以分為三類：第一類為最小化破產(chǎn)概率，第二類為最大化自退休時刻到死亡或年金化時刻的累積消費或遺產(chǎn)的CARACRRA效用均值之和，第三類為最小化退休時刻到死亡或年金化時刻的消費水平(財富水平)與目標值的二次效用均值，也稱為目標定位型模型。由于本文的研究方向屬于第三類, 為了節(jié)省篇幅, 對第一類的研究論文, 讀者可參考文獻[1,2]。對于第二類研究方向, 讀者可參考[3～5]，在此不再敘述。

第三類模型也稱為目標定位型(target-based)模型。在目標定位型模型里，退休者對自己未來各時刻的投資回報或者消費水平設定目標值，未來各時刻的目標值和真實值之間的差距用二次效用測量，然后選擇最優(yōu)的策略，以最小化自退休時刻開始到購買年金或死亡時刻為止，所有差距的折現(xiàn)效用均值之和。Gerrard, Haberman和Vigna[6]事先設定強制年金時刻以及消費水平，不考慮退休者遺產(chǎn)效用，研究了退休后最優(yōu)投資問題。他們給出了自然目標函數(shù)，這種目標函數(shù)形式使得在某個時刻，如果財富水平達到了目標水平，那么自這個時刻開始只需進行無風險投資，財富水平就會一直和目標水平完全一致。Emms和Haberman[7]不考慮死亡率風險，以每個時刻無風險回報為參考值，然后用財富水平與參考值的比值為研究對象，采取最優(yōu)的投資策略，最小化每個時刻比值的折現(xiàn)效用均值之和。Gerrard, Haberman和Vigna[8]考慮退休者的隨機死亡概率和遺產(chǎn)效用，為退休者求出了最優(yōu)的投資-消費策略和自然目標函數(shù)形式。Emms[9]推廣了Gerrard, Haberman和Vigna[8]的研究成果，且將相對比值思路引入到目標定位模型，將實際財富和目標財富的比值以及實際消費水平和目標消費水平的比值作為研究對象，選擇最優(yōu)的投資-消費策略，最小化從退休時刻開始，到死亡時刻或強制年金時刻為止的財富比值和消費比值的折現(xiàn)二次效用均值之和。Gerrard, H?gaard和Vigna[10]不考慮遺產(chǎn)效用，選擇最優(yōu)的投資-消費-年金化時刻決策，最小化年金時刻或死亡時刻之前的消費水平和消費目標差距的折現(xiàn)效用均值之和。Dadashi[11]固定年金化時刻, 采取自然目標函數(shù), 不考慮遺產(chǎn)效用, 選擇最優(yōu)的投資組合策略，最小化財富水平和自然目標水平的累積二次效用均值。在[11]一文中， 風險資產(chǎn)投資策略不允許賣空，且投資金額限定在一個范圍內(nèi)，終端財富不能低于某個警戒值，該文利用策略迭代方法(policy iteration method)求出了最優(yōu)解。 上述模型都是連續(xù)時間模型，為彌補研究空缺，Lin, Zeng和Wu[12]和Wu等[13]在離散時間框架下研究了退休后的動態(tài)投資策略，兩者都是固定年金化時刻，不考慮如何選擇最優(yōu)化年金化時刻。上述論文均沒有考慮通貨膨脹風險對退休后的優(yōu)化決策的影響，為此，伍慧玲和董洪斌[14]推廣了Gerrard, Haberman和Vigna[6]的結果, 固定年金化時刻，考慮了帶通脹風險的退休后最優(yōu)投資決策，研究了通貨膨脹對投資策略、自然目標函數(shù)以及破產(chǎn)概率的影響。然而，文獻[14]是基于連續(xù)時間框架進行研究的，且僅研究了最優(yōu)投資策略。

和上述論文都不一樣，本文擬在離散時間動態(tài)多期模型框架下，求解帶有通貨膨脹風險的退休后最優(yōu)投資和年金化時刻。和連續(xù)時間模型不同，我們證明了若通脹過程是隨機的，那么自然目標函數(shù)在離散時間框架下是不存在。另外，我們建立了離散時間框架下的最優(yōu)年金化時刻判別標準，并詳細分析了通貨膨脹指標、風險偏好以及折現(xiàn)率對最優(yōu)年金化時刻的影響。

1 模型描述與求解步驟

1.1 模型描述

In+1=ZnIn

(1)

(2)

(3)

其中Qn=1/Zn是衡量通貨緊縮變化幅度的指標，這些指標的經(jīng)濟含義在后面的模型結果性質分析中將會用到。

1.2 求解步驟

考慮到通脹風險的存在，退休者想找一個最優(yōu)的年金時刻和一系列投資策略，評價的標準是使得終身的真實消費均值的累積和達到最大。具體地說，若H*(0≤H*≤TS)是最優(yōu)的年金時刻，那么由時刻0開始到時刻H*-1為止的真實累積消費與真實財富水平購買終身年金后提供的終身消費保障之和達到最大。退休者通過下面兩個步驟達到自己的目標。

步驟1退休者根據(jù)個人情況，在每個時刻n,對投資后的真實財富設定目標值，記為Fn。 這個目標值的設定是為了監(jiān)督投資過程的回報，使得退休者在年金化時刻能有更多的財富用于購買終身年金。令為相對固定的年金時刻，退休者采取如下的目標定位型模型:

(4)

步驟2在生存期內(nèi)，因為選擇時刻H購買年金，退休者的終身累積真實消費的折現(xiàn)均值是:

(5)

最優(yōu)的年金化時刻H*應使得g(H)達到最大。在這里，我們假設平均死亡時刻Г大于強制購買年金時刻TS。 這個假設是合理的, 因為政府制定的強制年金時刻是為了保護大部分退休者的投資安全，因此，國民在退休時刻的平均剩余壽命要比延遲年金化的周期長。

2 模型求解

根據(jù)前文的求解步驟，本章節(jié)擬詳細地求解在通脹風險下的退休后最優(yōu)投資-年金化決策。為此, 我們首先相對固定H， 求解式(4)中的問題P(H)。為此，令

Vn(xn)=(Fn-xn)2

那么，首先根據(jù)貝爾曼優(yōu)化原理，我們得到Vn(xn)的遞歸方程為:

n=0,1,…,H-1

(6)

終端條件是:

VH(xH)=ε(FH-xH)2

(7)

此時，我們得到問題P(H)的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)，歸納到定理1中。

定理1問題P(H)的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)分別是:

(8)

Vn(xn)=An(xn)2-2Bnxn+Cn,n=0,1,…,H

(9)

其中，對于n=0,1,…,H-1以及終端條件，有

(10)

(11)

(12)

(13)

此時， 我們先求出了在最優(yōu)投資策略投資下，退休者在時刻0開始的每一期平均財富水平的遞歸方程，然后計算出使得(5)中的g(H)達到最大值的年金化時刻，記為H*。 對于第二步，我們可以利用數(shù)值分析手段，計算最優(yōu)的年金時刻，并探究一些參數(shù)對年金時刻的影響。

3 目標函數(shù)的選擇以及投資策略性質分析

我們先給出自然目標函數(shù)的定義，然后證明，當衡量通貨膨脹變化幅度的指標Zn是隨機時，自然目標函數(shù)不存在。

定義1目標函數(shù)序列{F0,F1,F2,…}稱為自然目標函數(shù)序列, 若在某個時刻n，財富水平Xn達到了目標函數(shù)值Fn，那么自時刻n開始，決策者只需要進行無風險投資，并且未來各時刻所得的財富水平都等于對應的預設目標函數(shù)。

定理2若通貨膨脹的變化幅度Zn是隨機的， 那么不存在自然目標函數(shù)。

就是當{Zk,k=0,1,2,…}是一個確定的只和時間有關的過程時，自然目標函數(shù)形式為:

Fn=(Bn/An)(Qn-1E(Qn-1))/E(Qn-1)2=Bn/An

(14)

下面我們根據(jù)(10)和(11)，計算式(14)中的Fn，結果歸納在定理3。

(15)

式(15)就是當前后兩期的通脹變化幅度{Zk,k=0,1,2,…}是一個確定過程時， 自然目標函數(shù)的表達式。式(15)表明，時刻n的目標值Fn是時刻H的目標值FH以及時刻n以后各期消費的折現(xiàn)值(以無風險利率為折現(xiàn)率)。 另外，當時刻n,n+1,…,H-1的通脹幅度越大，即未來的通脹情況越嚴重，那么當前時刻的目標值Fn就越大，以抵御未來的通脹； 當終端目標值FH越大，之前的目標值就越大； 當未來的累積消費金額越大，那么當前時刻的目標值就設置得越大。這些都是合乎常理的結論。

現(xiàn)在我們考察當{Zk,k=0,1,2,…}是一個確定過程且目標形式采取(15)時，投資策略和財富過程的形式。根據(jù)(3)和(8)，我們先有

再把(15)代入上兩式, 整理得

上面內(nèi)容主要分析了目標函數(shù)的性質，接下來我們開始分析問題P(H)的投資策略的性質，結果歸納在定理4中。

定理4問題P(H)的最優(yōu)投資策略的性質歸納如下：

抗戰(zhàn)建國與教育建國：抗戰(zhàn)時期福建的小學教育（1937—1939）………………………………………………張運君，肖楠楠（4，99）

(i)當通脹變化幅度{Zk,k=0,1,2,…}是一個確定過程且采取自然目標函數(shù)形式(15)時, 最優(yōu)投資策略隨著{Zk,k=0,1,2,…}的取值以及Fn-xn的增加而增加，因此預設的目標值也可以衡量退休者的風險厭惡程度。

(ii)當通脹變化幅度{Zk,k=0,1,2,…}是一個隨機過程時，令Qn=1/Zn，那么

(a)當Var(Qn)不變時，若Var(Qn)>E2(Qn)，那么E(Qn)越大，風險投資策略的值就越大；若Var(Qn)

(b)當E(Qn)不變時，若方差Var(Qn)越大，投資策略的值就越小。

定理4的結果表明，當通脹過程是一個確定過程時，若通脹漲幅越大或者通脹緊縮幅度越小，為了保持一定的財富和消費水平，在目標定位模型里，退休者會更積極地進行風險投資，以對沖通脹漲幅的增加帶來的負面影響。若通脹過程是一個隨機過程，那么，從理論上來說, 風險投資金額與通脹變化幅度的關系依賴于Var(Qn)與E2(Qn)的大小關系。 然而，在實際中，因為通貨膨脹或者通貨緊縮情況的波動性不會特別大，一般來說，Var(Qn)

4 最優(yōu)年金時刻的性質分析

4.1 參數(shù)設置

4.2 最優(yōu)年金時刻的數(shù)值分析

在上面的參數(shù)設置下，我們擬展開下面幾方面的敏感度分析。

(1)E(Qn)對年金化時刻的影響

為了探究通脹改變幅度的均值對最優(yōu)年金化時刻的影響，我們將其他參數(shù)固定，只改變E(Qn)的值。本文對于通脹范圍的選取, 以E(Qn)=0.979為標準, 貼近實際生活中通脹可能的波動情況，設定E(Qn)的取值范圍是0.8～1.2之間，步長為0.01，來測定退休者最優(yōu)的年金化時刻如何變化，得出的結果如表1。

表1 E(Qn)對年金化時刻的影響

當E(Qn)的值為0.979時，退休者最適合在66歲購買年金。隨著E(Qn)的增大，也就是通貨膨脹率的降低，退休者最優(yōu)的年金化時刻將向后推遲。當通脹增幅取較大值，即E(Qn)小于0.92時，退休者基本在退休后很快就進行年金化。這說明過大的通脹均值將給退休者帶來很大的投資壓力，他們對未來市場也持悲觀態(tài)度。此時，購買年金保險將會是一個很好的選擇，因為年金化后能夠獲得穩(wěn)定的保障，滿足生活所需的同時也減輕了自行投資的壓力。因此，在高通脹的情況下，通脹風險對退休者的年金決策起決定性作用。然而，當E(Qn)大于0.93時，退休者未面臨較大的通脹壓力，他們會選擇延遲購買年金，且最優(yōu)年金化時刻跨度從66歲到70歲。當E(Qn)大于1.19，呈現(xiàn)較嚴重通貨緊縮的狀態(tài)時，退休者甚至會選擇在政府強制年金化時購買年金，以換取更多的時間進行自主投資。綜上所述，我們可知通脹風險的存在確會讓退休者延遲購買終身年金，這在一定程度上解釋了年金之謎的成因。

(2)Var(Qn)對年金化時刻的影響

我們將均值E(Qn)固定為0.979，且將其他參數(shù)取值也固定，只改變Var(Qn)的數(shù)值，試圖看看Var(Qn)的取值變化對年金化時刻的影響。我們以Var(Qn)=0.00011為中心，讓Var(Qn)在小范圍內(nèi)上下波動，最優(yōu)年金化時刻的變動并不明顯。因此Var(Qn)對最優(yōu)年金化時刻的影響，與通脹均值相比不敏感一些。為了進行規(guī)律性探索，將Var(Qn)在更大范圍內(nèi)波動，得到的結果如表2。

表2 Var(Qn)對年金化時刻的影響

只有在Var(Qn)有了大幅度增長后，最優(yōu)的年金化時刻對Var(Qn)才比較敏感。 此時，Var(Qn)越大，退休者越傾向于提前購買年金。這表明，較大的通脹情況變動會加大退休者的財富風險，此時退休者希望能盡早通過年金化的方式獲得穩(wěn)定的消費保障。

(3)風險偏好對年金化時刻的影響

在目標定位型模型里，各期財富目標與投資所得的差距衡量著決策者的風險偏好。若各期財富目標定得較高，我們會認為決策者的風險厭惡程度較低，反之風險厭惡程度較高。在本模型中，由上面對財富目標水平的設置，我們知道消費倍數(shù)k值衡量這預設的財富目標水平的高低。因此, 我們改變消費倍數(shù)k的值， 考察k的取值對年金化時刻的影響。在這部分，消費倍數(shù)k的變動范圍在1～2之間，步長為0.01，得到的結果如表3。

表3 消費倍數(shù)k對最優(yōu)年金化時刻的影響

由表3可知，隨著消費倍數(shù)k的增加，退休者將會推遲購買年金。我們對表3的現(xiàn)象進行解釋。當k值設定較高時，退休者有較高的風險偏好，因此他傾向于通過承擔風險，以獲得更多財富。若過早購買年金獲得穩(wěn)定保障，退休者將會失去自行投資的機會，因此，若k值越大，退休者就越選擇將年金化時間延后。當我們設置初始值k為1.5時，退休者的最優(yōu)選擇是在66歲進行年金化。當k大于1.66時，再增加k的值，退休者最遲在67歲時購買年金，且不會再繼續(xù)延后。這是因為退休者可能會考慮自身的身體情況和投資能力，不希望因對財富的過多追求而在推遲年金化的過程中面臨更多風險。

(4)折現(xiàn)率對優(yōu)化決策的影響

折現(xiàn)率能反映退休者的行為特征，判斷他們是更有長遠的打算，還是比較注重現(xiàn)階段的滿足感。我們假設E(Qn)=0.979，同時固定其他的參數(shù)取值，讓折現(xiàn)率在0.02～0.15的范圍內(nèi)波動時， 最優(yōu)年金化時刻只有小幅變化， 如表4所示。隨著折現(xiàn)率的增加，退休者最優(yōu)年金化時刻將提前，這是養(yǎng)老計劃參與者更注重現(xiàn)階段消費帶來的滿足度，未來的消費對他們來說，時間越久，消費帶來的滿足度越小。在帶有通貨膨脹的情況下更是如此，退休者預期未來的財富很可能會貶值，也會更希望盡早消費，盡早年金化。

表4 當E(Qn)=0.979時, 折現(xiàn)率對最優(yōu)年金化時刻的影響

當E(Qn)的值減少到0.93時，此時通脹水平會有所提高，我們保持其他參數(shù)不變，再讓折現(xiàn)率在0～0.15的范圍內(nèi)波動，步長為0.001，得到的結果如表5。

表5 當E(Qn)=0.93時,折現(xiàn)率對最優(yōu)年金化時刻的影響

當E(Qn)=0.93時，我們?nèi)阅艿玫浇Y論，即折現(xiàn)率越高，最優(yōu)年金化時刻將會提前。綜合對比表4和表5，我們發(fā)現(xiàn)，通脹率的大小將影響年金化時刻對折現(xiàn)率的敏感性。 在高通脹均值的情況下，退休者最佳購買年金時刻為61～67歲，時間跨度變長，并且折現(xiàn)率的較小改變，也將引起年金時刻的變動。

5 結論

本文在動態(tài)多期的目標定位模型框架下，引入隨機通脹風險，研究了退休后投資和年金化時刻優(yōu)化決策問題，并分析了通脹風險的相關指標對投資和年金化策略的影響，這是本文的特色和創(chuàng)新工作。在上述模型設置下，我們得到了最優(yōu)投資策略的顯式解，并證明了若通脹過程為隨機的，那么在現(xiàn)有相關研究里經(jīng)常使用的自然目標形式不再存在。當通脹過程退化到確定過程時, 我們得到了自然目標形式。理論研究表明:(1)風險投資金額會隨著通貨緊縮增幅的均值增加而減少，由于通貨緊縮增幅與通貨膨脹增幅是倒數(shù)關系，因此，從某種意義上來說，風險投資金額會隨著通貨膨脹增幅的均值增加而增加，以對沖通脹的增加帶來的負面影響;(2)通貨膨脹或通貨緊縮指標取值的波動性越大，最優(yōu)投資金額越少。通過數(shù)值分析方法，我們得到的結論歸納如下:(1)通脹情況的存在的確會讓退休者延遲購買年金, 這從一定程度上可以解釋年金之謎. 當通脹程度較大時，退休者基本在退休后很快就購買終身年金；當通脹程度不高時，退休者更愿意延遲購買年金;(2)年金化時刻對通貨緊縮漲幅的方差Var(Qn)的敏感程度不如E(Qn)高，總的來說，Var(Qn)越大，退休者越傾向于提前購買年金;(3)若退休者的風險偏好越高，他就越傾向于選擇將年金化時刻延后;(4)隨著折現(xiàn)率的增加，年金化時刻會提前。若E(Qn)越小，年金化時刻對折現(xiàn)率的改變就越敏感。