統(tǒng)一坐標(biāo)法巧解直線運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問(wèn)題

張祥贊，周 勛

貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴陽(yáng) 550025

直線運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問(wèn)題是以生活情景為原型，通過(guò)抽象加工處理的一類物理模型。該模型的情境性和綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、推理分析能力以及抽象思維能力都提出了較高的要求，是教學(xué)的重點(diǎn)、學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。此類問(wèn)題的研究對(duì)象一般為兩個(gè)物體，加速度恒定不變，是勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的情景化應(yīng)用。水平直線運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問(wèn)題是該類問(wèn)題的一般表現(xiàn)形式，針對(duì)該類問(wèn)題的變式有多質(zhì)點(diǎn)做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問(wèn)題和在斜面上運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問(wèn)題等。

1 當(dāng)前解決此類問(wèn)題的主要方法及弊端

（1）物理分析法。此方法過(guò)程詳細(xì)，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，但對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程列式繁瑣，求解過(guò)程中需要細(xì)心認(rèn)真以及嚴(yán)密的邏輯思維，某一環(huán)節(jié)的出錯(cuò)將會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果錯(cuò)誤。

（2）圖像法。圖像雖可直觀、清晰地表現(xiàn)物體的運(yùn)動(dòng)情況，正確畫出圖像后問(wèn)題就可迎刃而解，但作圖考究、繁瑣，不規(guī)范的作圖會(huì)對(duì)問(wèn)題的求解產(chǎn)生影響，此外作圖需要較多時(shí)間才能完成。

（3）數(shù)學(xué)函數(shù)法。利用兩物體間的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系s=at+bt+c進(jìn)行求解。此法是數(shù)理結(jié)合的典型代表，需要將數(shù)理方法融會(huì)貫通，對(duì)數(shù)理思維的要求相對(duì)較高。該法中間過(guò)程繁瑣，數(shù)理分析相對(duì)復(fù)雜。

（4）相對(duì)運(yùn)動(dòng)法。運(yùn)動(dòng)和靜止具有相對(duì)性，合理地選取參考系，會(huì)使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。相對(duì)運(yùn)動(dòng)的分析對(duì)于邏輯思維要求相對(duì)較高，在求解過(guò)程中如不能明確物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程及位置關(guān)系，將會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。

上述是以往解決直線追擊相遇問(wèn)題的常用方法及其弊端，此類求解方法皆是利用質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間間隔的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解，需對(duì)每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)逐一討論，面對(duì)復(fù)雜的多運(yùn)動(dòng)過(guò)程，列式繁瑣，對(duì)于不同質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和空間沒(méi)有統(tǒng)一，這也是此類方法最大的弊端。

2 統(tǒng)一坐標(biāo)法原理的界定

采用一維坐標(biāo)系Ox描述質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)，使坐標(biāo)軸原點(diǎn)與參考系的參考點(diǎn)重合，坐標(biāo)軸與質(zhì)點(diǎn)軌跡重合，則做直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為

由此可看出，質(zhì)點(diǎn)的位置矢量隨時(shí)間變化的過(guò)程中位置坐標(biāo)是時(shí)間的函數(shù)，位置矢量的矢端與位置坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。

與此同時(shí)，規(guī)定某一質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。由于時(shí)間的流向是單向的，計(jì)時(shí)起點(diǎn)的規(guī)定就相當(dāng)于時(shí)間坐標(biāo)軸的建立，從而建立了時(shí)空坐標(biāo)系，將時(shí)間與空間進(jìn)行了統(tǒng)一。該時(shí)空坐標(biāo)不僅僅適用于質(zhì)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，還適用于不同質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，用同一時(shí)空坐標(biāo)即可描述不同質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。因此，將該方法稱為“統(tǒng)一坐標(biāo)法”。

3 統(tǒng)一坐標(biāo)法在直線運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

在質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中建立時(shí)空的統(tǒng)一坐標(biāo)描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，兩質(zhì)點(diǎn)A、B的時(shí)空坐標(biāo)可分別表示為（x，t）（x，t），若兩質(zhì)點(diǎn)相遇，則意味著兩質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻處在同一空間位置，即x=x、t=t，這就是追擊相遇的條件?，F(xiàn)用該法求解直線運(yùn)動(dòng)的追擊相遇案例。

例1（2017·南昌模擬）如圖1所示，直線MN表示一條平直公路，甲、乙兩輛汽車原來(lái)停在A、B兩處，A、B間的距離為85 m，現(xiàn)甲車先開始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=2.5 m/s，甲車運(yùn)動(dòng)6s時(shí)，乙車立即開始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度 a=5.0 m/s，求：（1）乙車運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間被甲車追上；（2）兩輛汽車相遇處距A處的距離。

圖1 兩汽車在平直的公路上運(yùn)動(dòng)

以甲車的起點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立Ox坐標(biāo)系，取沿平直公路向右為正，如圖2所示。

圖2 建立水平Ox坐標(biāo)系

以乙車開始向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。設(shè)甲車為質(zhì)點(diǎn)1，乙車為質(zhì)點(diǎn)2，兩車均做勻變速運(yùn)動(dòng)，其中 a=2.5 m/s，a=5.0 m/s。質(zhì)點(diǎn) 1 的初始條件為 t =-t=-6 s時(shí)，x=0，v=0，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

質(zhì)點(diǎn)2的初始條件為t=0時(shí)，x=85 m，v=0，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

若兩物體相遇，則相遇條件為

設(shè)相遇時(shí)刻為 t ＇，則 1 .25×（t'+6）=85+2.5t'

求得相遇時(shí)刻：t＇=4 s，t＇＇=8 s

兩時(shí)刻均有意義，說(shuō)明兩車相遇兩次。t＇=4 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1追上質(zhì)點(diǎn)2相遇（甲車追上乙車），t＇＇=8 s，質(zhì)點(diǎn)2追上質(zhì)點(diǎn)1再次相遇（乙車追上甲車）。

第一次相遇點(diǎn)距A處的距離

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選取問(wèn)題。①在選取坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)盡量讓所有質(zhì)點(diǎn)都落在坐標(biāo)系的正半軸上，質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)系的負(fù)半軸上雖可求解，但引入負(fù)號(hào)會(huì)使計(jì)算變復(fù)雜。②兩質(zhì)點(diǎn)初始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻不同步時(shí)選擇運(yùn)動(dòng)滯后的質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，方便討論求解；如果選取先運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則滯后運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在前一段時(shí)間間隔內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)，那么需要采用分段函數(shù)的方式進(jìn)行討論，將使得問(wèn)題的求解更加復(fù)雜，也未能體現(xiàn)本法的簡(jiǎn)便性。③可選取一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初始位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)和該質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，也可選取一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，另一質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。

在該例題中，選取甲車的初始位置A處作為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)還可選取甲車開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，雖可采用分段函數(shù)討論求解，但求解過(guò)程繁瑣，未能體現(xiàn)統(tǒng)一坐標(biāo)法的簡(jiǎn)便性，對(duì)于其他的選取方式也是同樣不能體現(xiàn)本法的簡(jiǎn)便性。

在長(zhǎng)為200 m的斜面上，一滑輪愛(ài)好者以6 m/s的速度和30 cm/s的加速度從斜面底端滑上斜面，到達(dá)最高點(diǎn)折返后加速度大小不變；另一人在前者從底端出發(fā)時(shí)以7.2 km/h的速度和30 cm/s的加速度從斜面頂端滑下。求多長(zhǎng)時(shí)間后兩人相遇以及相遇時(shí)兩人各自走過(guò)的路程。

建立以斜面底端為原點(diǎn)，沿斜面向上的Ox坐標(biāo)，如圖3所示。以兩人開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。設(shè)滑上斜面的人為質(zhì)點(diǎn)1，另一從斜面頂端滑下的人為質(zhì)點(diǎn)2。其中a=a=-0.3 m/s，初始條件分別為 t=0 時(shí)，x=0，v=6 m/s；x=200 m，v=-2 m/s，則兩質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

圖3 沿斜面建立Ox坐標(biāo)系

對(duì)比常規(guī)解法：若采取常規(guī)方法求解，需要先討論在甲車開始運(yùn)動(dòng)的前t=6 s內(nèi)兩車是否

設(shè)相遇時(shí)刻為 t＇，則

由此求得相遇時(shí)刻：t＇=25 s，即 25 s后兩人相遇。

（2）對(duì)（1）（2）兩式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到兩質(zhì)點(diǎn)的速度方程

由此可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)1在t＇'=20 s時(shí)速度為零，到達(dá)最高點(diǎn)，隨后折返向下運(yùn)動(dòng)；將t＇'=20 s代入質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可求得質(zhì)點(diǎn)1運(yùn)動(dòng)的最高坐標(biāo)為

再將t＇=25 s，代入其中一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（代入質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程），可求得兩人相遇時(shí)的坐標(biāo)為

則兩人相遇時(shí)各自走過(guò)的路程分別為

對(duì)比常規(guī)解法：該例題中兩質(zhì)點(diǎn)的相遇可能是在質(zhì)點(diǎn)1上升的過(guò)程中，也可能是在質(zhì)點(diǎn)1折返后下降的過(guò)程中，若采用常規(guī)的方法求解需要分別討論質(zhì)點(diǎn)1上升和下降的過(guò)程，運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，列式繁瑣，稍有不慎極易出錯(cuò)。采用統(tǒng)一坐標(biāo)法，在同一時(shí)空坐標(biāo)中描述兩質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)于兩質(zhì)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程均適用，使該類問(wèn)題迎刃而解。

①統(tǒng)一坐標(biāo)法在求解追擊相遇問(wèn)題的過(guò)程中，利用相遇條件x=x，得到關(guān)于時(shí)間的一元二次方程，通過(guò)方程是否有解判斷出兩質(zhì)點(diǎn)是否相遇，如方程有解即可求出相遇時(shí)刻，若關(guān)于t時(shí)間的一元二次方程有兩個(gè)正解，則說(shuō)明兩質(zhì)點(diǎn)相遇兩次（例1）；若有一正解，則相遇一次（例2）；若無(wú)解，則不相遇。②部分讀者可能會(huì)誤認(rèn)為“統(tǒng)一坐標(biāo)法”就是前文提到的“數(shù)學(xué)函數(shù)法”，將兩者混為一談。兩者雖都是數(shù)理結(jié)合，表達(dá)形式相似，但卻有著本質(zhì)的區(qū)別。統(tǒng)一坐標(biāo)法利用時(shí)空坐標(biāo)將時(shí)刻和空間位置進(jìn)行了統(tǒng)一，把質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)看作是時(shí)間的函數(shù)，從而對(duì)不同質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述；而“數(shù)學(xué)函數(shù)法”和以往的其他方法則是利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間間隔和空間位移關(guān)系描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，僅描述單一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要分別進(jìn)行討論。

4 總結(jié)

通過(guò)對(duì)使用統(tǒng)一坐標(biāo)法求解直線運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問(wèn)題的歸納、概括，發(fā)現(xiàn)該法能夠便捷有效地解決此類問(wèn)題，尤其是非單一運(yùn)動(dòng)過(guò)程、物理方程過(guò)多、計(jì)算量大的追擊相遇問(wèn)題。從以上兩個(gè)頗具代表性的例題中可以看到，僅僅只需要列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、利用相遇條件即可求解直線運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問(wèn)題。但值得注意的是，位置坐標(biāo)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選取問(wèn)題，兩者的選取遵循簡(jiǎn)便計(jì)算的原則，根據(jù)具體條件靈活選取。與解決直線運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問(wèn)題的常規(guī)方法相比，“統(tǒng)一坐標(biāo)法”具有一定的優(yōu)勢(shì)，該法巧妙，簡(jiǎn)便有效，是數(shù)理方法結(jié)合的典型代表?！敖y(tǒng)一坐標(biāo)法”巧妙地利用了數(shù)學(xué)工具，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，優(yōu)化了解題的程序，對(duì)啟發(fā)學(xué)生積極思考，多學(xué)科知識(shí)交叉融合，有積極的意義。