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    一題多解,培養(yǎng)發(fā)散性思維

    2022-08-15 07:24:52筅遼寧省大連開發(fā)區(qū)第九中學(xué)戴琳琳
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:一題本題條件

    筅遼寧省大連開發(fā)區(qū)第九中學(xué) 戴琳琳

    1 引言

    發(fā)散性思維是指大腦在思維時的一種擴散狀態(tài),它對創(chuàng)造力的形成具有直接影響.流暢、變通與獨特是發(fā)散性思維的主要特征.解題教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生從不同視角看待與思考問題,對學(xué)生解題能力的提升與發(fā)散性思維的形成具有顯著的促進作用[1].本文中,筆者以一道例題的解題教學(xué)為例,具體闡述如何在一題多解中培養(yǎng)發(fā)散性思維,為學(xué)生創(chuàng)新能力的形成奠定基礎(chǔ).

    圖1

    2 發(fā)現(xiàn)隱含條件,明晰解題思路

    數(shù)學(xué)解題時,不僅要有扎實的知識基礎(chǔ),還要有一雙火眼金睛,能從題設(shè)條件中挖掘出一些若明若暗的條件,這些隱含條件往往對解題具有決定性的作用.不少學(xué)生在考試中解題失敗的主要原因就是沒有能發(fā)現(xiàn)題中潛存的隱含條件,導(dǎo)致走了很多彎路,致使解題時無從下手或想得過于繁雜.本題看似簡短,但存在條件抽象、結(jié)構(gòu)靈活的特點,教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從題中的隱含條件(直角坐標系中的直角)的角度分析問題.

    解法1:取線段AB的中點C,并連接PC.

    解此解的核心是發(fā)現(xiàn)隱含的條件∠BOA=90°,而AB的中點就是外接圓的圓心;由∠POA=45°這個特殊角,可發(fā)現(xiàn)點P的坐標具有一定的特殊性;再從圓概念的內(nèi)涵出發(fā),很容易就聯(lián)想到用方程解決此問題.此解題過程主要建立在對圓的概念有深刻理解的基礎(chǔ)上,用這種方法突出清晰的思路與簡便的計算過程.

    3 夯實知識基礎(chǔ),筑牢解題根基

    研究發(fā)現(xiàn),中考中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的占比非常大.在中考試卷中,一般不會有怪題或偏題等,基本以常規(guī)的科學(xué)記數(shù)法、圖形、方程等為主,只要有扎實的基礎(chǔ)與一定的思維能力,基本上不存在大的問題.解本題時,只要對求點的坐標的方法有一定的認識,學(xué)生基本上都能想到利用過該點作輔助線的方式解題.這種看似按部就班的解題方法,卻對啟發(fā)學(xué)生的思維具有重要作用,學(xué)生在解題中不斷探索、前進,思維獲得相應(yīng)的成長.

    圖2

    求點的坐標最基本的方法之一是過該點作坐標軸的垂線.過點P作與x軸垂直的線段PD,或過點A作AH⊥PO,都是以這種基本解題方法為方向進行思考的.解題時,雖涉及了75°角的三角函數(shù)值,但對解題思路與結(jié)論并不產(chǎn)生影響.這種解題方法屬于常規(guī)思維下的解題方式,符合大部分學(xué)生的認知規(guī)律,教師通過這種方式的引導(dǎo),為培養(yǎng)大部分學(xué)生的發(fā)散性思維奠定了一定的基礎(chǔ).

    4 形成數(shù)學(xué)思想,以不變應(yīng)萬變

    教學(xué)向來都不是以會解題為最終目的,而是幫助學(xué)生獲得終身發(fā)展的能力.數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)方法、內(nèi)容或結(jié)構(gòu)等的系統(tǒng)認識.很多教師遇到過這樣的情況:學(xué)生的解題能力僅限于模仿的水平,一旦題設(shè)條件發(fā)生了變化,則無從下手.杜威認為:“高度概括并清晰的知識,才具備遷移的條件”[2].想讓學(xué)生形成靈活的解題與思維能力,首先要有良好的數(shù)學(xué)思想作為支撐.因此,新課標提倡我們要通過各種教學(xué)手段幫助學(xué)生構(gòu)建新的數(shù)學(xué)思想,讓學(xué)生在探索中形成良好的數(shù)學(xué)思維.

    圖3

    對于以坐標系為背景的幾何類題型,可將圖形的基本結(jié)構(gòu)作為思維的切入點,用一些基本圖形的性質(zhì)舉一反三,達到以一通百的效果.本題中,過點P分別作兩坐標軸的垂線后,就出現(xiàn)了學(xué)生所熟悉的正方形.從正方形的性質(zhì)出發(fā)思考本題,問題則迎刃而解.同樣地,換個角度,通過證明△APB是一個等腰直角三角形,與以上作正方形的原理一樣,都是以不變的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)付發(fā)生變化的問題,但解題的核心思想并沒有發(fā)生改變.

    5 利用數(shù)形結(jié)合,提升思維能力

    利用數(shù)形結(jié)合,可將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)量關(guān)系問題,也可將繁雜的數(shù)量關(guān)系問題簡化為直觀的幾何問題,它最大的特點就是將問題變得直觀、形象、通俗易懂.在初中,數(shù)形結(jié)合思想的運用一般與坐標系的建立、數(shù)軸、函數(shù)等密切相關(guān),本題亦可從此角度思考,解題將變得直觀、明了.

    解法4:如圖4所示,取AB的中點C,連接PC并延長與線段OA交于點H.站在函數(shù)的視角分析,點P為直線CP與PO的交點,已知直線OP的解析式為y=x.

    圖4

    數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中是運用得較多的一種數(shù)學(xué)思想,本題以函數(shù)圖象為思維的切入點,再從代數(shù)的角度分析與解決問題.復(fù)雜的問題經(jīng)轉(zhuǎn)化后變得更為直觀,容易理解.筆者發(fā)現(xiàn),學(xué)生在運用該思想方法時,常會因為圖形不標準、思維定式、邏輯不清等問題導(dǎo)致解題失敗.因此,教師在用這種方法啟發(fā)學(xué)生思維時,應(yīng)充分了解學(xué)生的實際情況,要求學(xué)生嚴格按照條件準確畫圖,才能把復(fù)雜的問題變得簡單化.

    6 教學(xué)思考

    數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)學(xué)科消耗了學(xué)生不少的時間與精力,有些學(xué)生因鮮少在數(shù)學(xué)解題中收獲成就感,而對學(xué)習(xí)漸漸失去信心.一題多解則能讓學(xué)生在發(fā)散性思維中從不同角度觀察與分析問題,多種解題方式中,總有一種方式是學(xué)生所擅長的,學(xué)生在豐富的解題方法中可感知到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,實現(xiàn)思維的步步登高,學(xué)習(xí)也不再那么單調(diào).

    一題多解會讓學(xué)生不斷地挑戰(zhàn)自己的思維,體驗非智力因素對學(xué)習(xí)的影響,并感知到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感.新課標提出:“教師要以不同形式的教學(xué)方式與探究活動,帶領(lǐng)學(xué)生感知與體驗數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造過程,實現(xiàn)創(chuàng)新意識的提升.”[3]這就要求教師充分發(fā)揮學(xué)生的自主性,讓學(xué)生在良好的情感體驗中進行解題訓(xùn)練,以形成良好的解題技巧與技能.

    同時,一題多解還能避免枯燥的重復(fù)練習(xí),本題的四種解題方法,從不同的角度思考與分析,分別帶給學(xué)生不一樣的學(xué)習(xí)體驗.眾所周知,“雙基”的掌握離不開一定量的實操,而一題多解完美地避免了反復(fù)演練帶來的枯燥感.

    總之,一題多解與發(fā)散思維的培養(yǎng)有著密不可分的聯(lián)系.基礎(chǔ)教育階段開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科的主要目的就在于發(fā)展學(xué)生的思維,而思維的發(fā)展又依賴于學(xué)生認知的發(fā)展.因此,我們應(yīng)想方設(shè)法帶領(lǐng)學(xué)生進入精彩的數(shù)學(xué)世界,讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)的豐富與多彩,體驗數(shù)學(xué)獨有的魅力,從而積極、主動地投身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,在“多變”的數(shù)學(xué)中感知“不變”的真諦,讓每個學(xué)生都能拋棄固有的思維模式,不斷創(chuàng)新,成為自信且善于探究的新一代.

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