重過程，促思維
——以“直線與圓的位置關(guān)系”一課教學(xué)為例

筅甘肅省清水縣第五中學(xué) 王建蘭

1 引言

在教學(xué)中，要引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生參與學(xué)習(xí)，拓展學(xué)生參與的范圍和程度，給予學(xué)生充分的思考空間和時(shí)間，在師生互動(dòng)和生生互動(dòng)中迸發(fā)智慧的火花，提高課堂效率[1].針對(duì)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)，重視學(xué)習(xí)過程的教學(xué)方式，筆者進(jìn)行了一些思考和實(shí)踐，下面以“直線與圓的位置關(guān)系”一課教學(xué)為例，談一談自己的實(shí)踐，與各位同行進(jìn)行交流.

2 導(dǎo)入：提出問題——明確研究的方向

師：我們知道生活中處處都是數(shù)學(xué)，但是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的都是服務(wù)生活，讓我們看一看下面幾個(gè)問題.

問題1：有一艘輪船的航線是往返于A和B兩個(gè)碼頭，為了能縮短往返時(shí)間，現(xiàn)在需要設(shè)計(jì)一個(gè)最短的航線，請說一說你的理由.

生1：我覺得最短的航線是沿著線段AB兩端點(diǎn)之間的直線航行，理由是兩點(diǎn)之間線段最短.

師：講得非常好，但是在A碼頭附近有一個(gè)圓形的海島，阻礙了輪船的直線航行.

生2：那就只能繞著這個(gè)海島航行.

生3：但是如果這個(gè)圓形的海島不影響航行的話，就可以繼續(xù)直線航行.

生4：我覺得可以分成兩種情況，第一種，如果這條航線不經(jīng)過這個(gè)海島，輪船可以直線航行；第二種，如果要穿過這個(gè)海島，就要改變航線.

師：大家講得都有道理，那我們嘗試把這條航線和海島抽象成直線和圓，就可以探討直線與圓的位置關(guān)系.（引入課題）

3 歸納直線與圓的位置關(guān)系

師：大家想一想，能不能描述一下點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？一共有幾種呢？

生5：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可以分為點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外和點(diǎn)在圓上三種.

師：非常好，那根據(jù)你的思考，直線與圓的位置關(guān)系有幾種呢？能不能試試把圖形畫出來，并說明你的理由？

生6：我畫出了直線和圓的三種關(guān)系.（如圖1）

圖1

師：你畫的理由是什么呢？有什么標(biāo)準(zhǔn)嗎？

生7：我是根據(jù)直線和圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來分的，分為1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)和沒有公共點(diǎn).

師：好的，那為什么直線和圓不能有3個(gè)、4個(gè)……公共點(diǎn)呢？

生8：不在同一條直線上的3個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，所以直線與圓不能有3個(gè)公共點(diǎn).

師：太精彩了，生8采用了反證法和我們說明，當(dāng)一些問題正面無法證明的時(shí)候，我們也可以采取反證法進(jìn)行證明.那么你能給直線與圓的位置關(guān)系下個(gè)定義嗎？

生9：按照直線與圓的位置不同，利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以分為相交、相離、相切三種情況.

師：總結(jié)得很全面，那么生活中有沒有直線與圓位置關(guān)系的例子呢？

生10：汽車的輪胎與地面就像直線與圓相交.

生11：從太陽日出的過程中就能抽離出直線與圓的相交、相切到相離.

師：你們講得都很好，當(dāng)鋸子鋸物體時(shí)，你們知道有哪些直線與圓的位置關(guān)系呢？

生12：鋸子的刀刃剛接觸到物體時(shí)是相切；當(dāng)鋸子開始切割時(shí)就成為了相交，而當(dāng)鋸?fù)晡矬w時(shí)就是相離.

4 直線與圓的位置關(guān)系的判定

師：剛才我們認(rèn)識(shí)了圓與直線的位置關(guān)系，那么大家回憶一下，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是如何判定的？

生13：如果圓的半徑是r，同一平面內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離表示為d，當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，即d>r時(shí)，點(diǎn)在圓的外面；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離和半徑相等，即d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離比半徑小，即d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓的里面.

師：很好，我們通過符號(hào)語言描述了點(diǎn)與圓的關(guān)系，那么我們進(jìn)行聯(lián)想和類比，能不能描述出直線與圓的位置關(guān)系呢？

學(xué)生進(jìn)行討論交流，畫圖探討.

生14：如圖2，如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離表示為d，若圓心到直線的距離小于半徑，即d＜r，則直線和圓的位置為相交；若圓心到直線的距離等于半徑，即d=r，則直線和圓的位置為相切；若圓心到直線的距離大于半徑，即d>r，則直線和圓相離.

圖2

師：有道理，那么你是怎么想到這樣比較的方法的呢？你可以選擇直線與圓的一種位置關(guān)系為例來說一說.

生15：我選直線和圓相離時(shí)來說一下我的做法，當(dāng)d>r時(shí)，作l的垂線OT，點(diǎn)T顯然在圓的外面，那么在這條直線上任意選一點(diǎn)A，連接OA，根據(jù)垂直線段最短的原理，可以得到OA比圓心到直線的距離長，也比圓的半徑長，因此直線上的任意一點(diǎn)都在圓的外面，所以直線與圓的位置是相離的.

師：很好，當(dāng)圓心到直線的距離比圓的半徑長時(shí)，直線上的點(diǎn)一定在圓的外面，直線與圓沒有公共點(diǎn).反過來，如果直線與圓沒有公共點(diǎn)，那么直線與圓相離還成立嗎？

生16：成立，因?yàn)楫?dāng)直線與圓相離時(shí)，直線上的任意一點(diǎn)都在圓外.

師：很好，那直線與圓相切和相交的情況你們也能分析嗎？

生17：我們可以采用同樣的作l的垂線的方法，利用垂線段進(jìn)行比較，就可以知道當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切，當(dāng)d＜r，直線與圓相交，反過來也是成立的.

師：這樣的證明方法是正確的.剛才我們利用了垂線段和垂足來表述直線與圓的關(guān)系，那么在這三種關(guān)系中，垂足和圓有什么關(guān)系呢？

生19：在直線和圓相交、相切及相離時(shí)，垂足分別在圓內(nèi)、圓上和圓外.

師：很好，其實(shí)這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，我們把直線與圓的關(guān)系與點(diǎn)和圓的位置關(guān)系進(jìn)行了相互轉(zhuǎn)化.

5 解決直線與圓的位置關(guān)系的典型性問題

師：下面我們嘗試?yán)脛偛潘鶎W(xué)的知識(shí)完成練習(xí).

（1）若圓O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，根據(jù)下列條件，判斷直線與圓的位置關(guān)系：

（2）在△ABC中，∠C為直角，AC的長度為8，BC的長度為6，若以C為圓心畫一個(gè)r為半徑的圓，當(dāng)r分別滿足什么條件時(shí)，直線AB與圓C的關(guān)系分別是相交、相切、相離？

師：下面請大家解答這樣一道題.

已知如圖3，∠ABC的平分線上有一點(diǎn)P，BC與圓P相切，求證：圓P與AB相切.

圖3

學(xué)生思考、討論.幾分鐘以后，有學(xué)生舉手.

生20：設(shè)圓P的半徑為r，點(diǎn)P到BC的距離為d1，點(diǎn)P到AB的距離為d2，因?yàn)锽P是角平分線，所以d1與d2相等.由已知條件可得BC與圓P相切，所以d1與r相等，等量轉(zhuǎn)換，可得d2也等于r，由此證明圓P與AB相切.

師：很好，由此我們可以總結(jié)判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，既可以根據(jù)定義、直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，也可以根據(jù)圓的半徑和圓心到直線的距離關(guān)系判斷.讓我們回到本課最開始的問題，往返于A，B兩個(gè)碼頭的輪船能否直線航線，我們是否能抽離出數(shù)學(xué)的模型呢？

生21：我們可以利用剛才所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行求解.

師：很好，那么同學(xué)們嘗試畫圖進(jìn)行解決.

學(xué)生開始動(dòng)筆.

師：很好，這道題的解決正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想.

6 總結(jié)反思

教師列出思考內(nèi)容，學(xué)生對(duì)這些問題進(jìn)行回顧與思考：

（1）本課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？又是通過什么方法進(jìn)行研究的呢？

（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系有哪些方法？

（3）如何應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系解決實(shí)際問題？

（4）經(jīng)過本課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)？

在學(xué)生進(jìn)行總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步予以歸納.

總之，在教學(xué)中，要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)，自主構(gòu)建知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.