以題生題 構(gòu)建框架 高效復(fù)習(xí)
——“圓與角平分線”生長(zhǎng)型復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

湖北省武漢市吳家山第二中學(xué) 李幽蘭 董沖沖

湖北省武漢市吳家山第三中學(xué) 阮 征

1 引言

圓是擁有最完美對(duì)稱性的平面幾何圖形，也是初中階段學(xué)生需要掌握的基本圖形.本研究為筆者主講的一節(jié)人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)“圓與角平分線”生長(zhǎng)型復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，從一道課本經(jīng)典例題出發(fā)，根據(jù)所要復(fù)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，踐行“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張，通過(guò)“變圖形”“變條件”“探結(jié)論”來(lái)體現(xiàn)知識(shí)的生長(zhǎng)性，架設(shè)生長(zhǎng)型路徑，深化基本圖形及其應(yīng)用，構(gòu)建知識(shí)框架，提升學(xué)生思維能力和幾何素養(yǎng).

2 “圓與角平分線”生長(zhǎng)型復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 內(nèi)容和內(nèi)容解析

2.1.1 內(nèi)容

通過(guò)對(duì)一道課本上關(guān)于圓的典型例題的深度挖掘與加工，復(fù)習(xí)圓的性質(zhì)及探討圓中角平分線的應(yīng)用.

2.1.2 內(nèi)容解析

本節(jié)課將從人教版教科書中的一道例題出發(fā)，深度挖掘該例題中線段的數(shù)量關(guān)系、線段位置關(guān)系、角的數(shù)量關(guān)系、面積關(guān)系等等，通過(guò)一系列“問(wèn)題串”，以“一題一課”的模式組織教學(xué)，通過(guò)添加線段設(shè)置變式，將問(wèn)題循序漸進(jìn)層層推進(jìn)，所設(shè)計(jì)變式涵蓋圓周角、圓心角、弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)、內(nèi)心、隱圓等知識(shí)，達(dá)到復(fù)習(xí)的目的和效果.

基于上述分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：深度挖掘課本習(xí)題，并通過(guò)變式訓(xùn)練復(fù)習(xí)圓的計(jì)算與證明中常用的思想方法.

2.2 目標(biāo)與目標(biāo)分析

2.2.1 目標(biāo)

(1)進(jìn)一步加深對(duì)圓中的基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用，如圓的對(duì)稱性、圓周角、圓心角、弦、圓內(nèi)接四邊形等.

(2)掌握?qǐng)A中的一個(gè)基本圖形及其基本結(jié)論，并能在復(fù)雜的圖形和問(wèn)題中加以運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和邏輯推理能力.

(3)通過(guò)對(duì)課本問(wèn)題的層層探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題的能力.

2.2.2 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)(1)的標(biāo)志是：學(xué)生能說(shuō)出圓周角定理、圓心角定理、圓的對(duì)稱性等，并能夠利用它們分析問(wèn)題.

達(dá)成目標(biāo)(2)的標(biāo)志是：學(xué)生能夠說(shuō)出該基本圖形的幾何特征，以及它所包含的基本結(jié)論，并且能夠從復(fù)雜圖形中抽象出基本圖形，并利用基本圖形解決復(fù)雜問(wèn)題.

達(dá)成目標(biāo)(3)的標(biāo)志是：學(xué)生能對(duì)課本上的基礎(chǔ)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)改編，設(shè)置變式，從而獲得更多更好的結(jié)論.

2.3 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

課本例題本身難度較低，學(xué)生易產(chǎn)生輕視感，從而導(dǎo)致缺乏解題后的歸納總結(jié)與反思，導(dǎo)致在解決較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，不能熟練地進(jìn)行知識(shí)遷移，不能用基礎(chǔ)圖形有效縮短條件與結(jié)論之間的距離.所以本節(jié)課教師要帶領(lǐng)學(xué)生充分挖掘課本例題所提供的基本圖形，并且引導(dǎo)學(xué)生在遇到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，聯(lián)想到已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而打開解題的思路.

基于上述分析確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：課本習(xí)題的總結(jié)歸納，變式訓(xùn)練的邏輯推理，以及對(duì)基本圖形的抽象與應(yīng)用.

2.4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

2.4.1 導(dǎo)思求學(xué)，引入例題

師：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟.好的數(shù)學(xué)問(wèn)題就像會(huì)下金蛋的母雞，可以帶給我們無(wú)盡的思考與收獲.那么，好的問(wèn)題從何而來(lái)呢？我們課本中就有很多這樣好的問(wèn)題.

例題(教材第87頁(yè)例4)如圖1，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求BC，AD，BD的長(zhǎng).

圖1

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成.由勾股定理、圓周角定理、圓心角定理易求出.

2.4.2合作探究，深挖例題

問(wèn)題1：從這個(gè)基本圖形(圖1)出發(fā)，你能得到哪些幾何結(jié)構(gòu)和度量性質(zhì)(角度、線段長(zhǎng)度、線段數(shù)量與位置關(guān)系、面積等)？并說(shuō)明理由.

基本圖形基本結(jié)論基本知識(shí)1.角度:∠ =∠ =90°,∠ =∠ =∠ =∠ =45°,……2.弧長(zhǎng):孤長(zhǎng):AD(= (= 3.線段:(1)位置: ⊥ , ⊥ ,……(2)長(zhǎng)度:CD= (3)數(shù)量關(guān)系:AB= AO= AD= BD,AC+BC= CD,……4.面積:S四ABCD= 5.圖形:△ABD是 三角形,圓具有 性

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生上臺(tái)展示及講解多種方法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本圖形，總結(jié)一般輔助線和解題方法：作垂線和補(bǔ)短法(旋轉(zhuǎn)法).

問(wèn)題2：如圖2,作∠BAC的平分線AE交⊙O于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連接BE，CE.例題中其他條件不變.你能求出AE的長(zhǎng)度及四邊形ACEB的面積嗎？

圖2

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，小組討論，學(xué)生上臺(tái)展示及講解.教師點(diǎn)撥并補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生比較和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1與問(wèn)題2之間的聯(lián)系.

問(wèn)題3：如圖3,連接BF，在問(wèn)題2條件下探究：

圖3

(1)點(diǎn)F是△ABC三條的交點(diǎn)，是△ABC的；

(2)∠AFB=；

(3)請(qǐng)直接寫出AD,BD,DF之間的數(shù)量關(guān)系：；

(4)請(qǐng)寫出點(diǎn)A,B,F與點(diǎn)D之間的關(guān)系：.

(5)你還能寫出其他結(jié)論嗎？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生探究隱圓及相關(guān)性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)課本例題深挖和推理的過(guò)程，也是在回顧圓的基本概念、性質(zhì)、定理,以及角平分線模型常見解題方法的回顧與鞏固.教師在幾何畫板中演示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行探究和積累經(jīng)驗(yàn)，為后面解決復(fù)雜問(wèn)題做好準(zhǔn)備，提供“腳手架”.

2.4.3 變式拓展，應(yīng)用提升

(2019武漢中考第9題)如圖4，AB是⊙O的直徑，M,N是弧AB(異于A,B)上兩點(diǎn)，C是弧MN上一動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D,∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C,E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是( ).

圖4

設(shè)計(jì)意圖：本題為2019年武漢市中考數(shù)學(xué)卷第9題，它與課本例題基本圖形十分吻合，出自課本，又高于課本.前面對(duì)課本例題的深挖和探究，為其做好充足的鋪墊，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)會(huì)容易找到思路和切入口，提高圖形感知能力和圖形抽象能力.

2.4.4課堂總結(jié)，溫故知新

本節(jié)課你有哪些收獲？

2.4.5板書設(shè)計(jì)

基本圖形基本知識(shí)圓心角、圓周角、弧長(zhǎng)、內(nèi)心、隱圓……基本方法垂線段法、旋轉(zhuǎn)法(補(bǔ)短)、連半徑……

3 生長(zhǎng)型復(fù)習(xí)課的教學(xué)思考

3.1 重視課本典例挖掘，探究題目變式拓展

學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)圓的基本知識(shí)與性質(zhì)，以及角平分線鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)的基本圖形，然而這些知識(shí)是零散的.課本中許多題目都極其經(jīng)典，值得我們教師去鉆研深挖它的變式，將它們聯(lián)系起來(lái)，產(chǎn)生新的知識(shí)火花，學(xué)生根據(jù)教師搭建的立體式、生長(zhǎng)型構(gòu)架中的“梯子”，重新認(rèn)識(shí)所要復(fù)習(xí)的知識(shí)，并通過(guò)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，看清數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到一定的認(rèn)知高度，形成“一覽眾山小”的體驗(yàn)，切實(shí)提高解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2 重視引導(dǎo)思考方向，合理把握思考空間

好的問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生思考的方向，學(xué)生從中得到啟發(fā).問(wèn)題1中給出表格，學(xué)生需要在表格右側(cè)填寫出相應(yīng)結(jié)論所鏈接的與圓相關(guān)的知識(shí)，并思考理由，既保留學(xué)生思維的開放性和探索力，又避免學(xué)生沒有方向和盲目摸索；既是復(fù)習(xí)舊知識(shí)，又是構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)；既指引學(xué)生思考的方向，又留有思考的空間.問(wèn)題1和問(wèn)題2存在圖形和方法上的類比和遷移，問(wèn)題2 中設(shè)計(jì)上沒有再讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和回顧，而是目標(biāo)明確，直接思考和求解兩題中相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，體現(xiàn)課堂高效以及符合學(xué)生思維特點(diǎn).

3.3 重視學(xué)生思維主體，引導(dǎo)學(xué)生積極探究

教師在課堂上整體把握學(xué)生的生長(zhǎng)空間，關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的一個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)，也就是思維的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、變化點(diǎn)、發(fā)展點(diǎn)這些關(guān)鍵點(diǎn)就像甘蔗一樣，它會(huì)留下一串串生長(zhǎng)節(jié).學(xué)生的生長(zhǎng)起點(diǎn)是思維的出發(fā)點(diǎn)，它是由學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)決定的，終點(diǎn)是思維的落腳點(diǎn)，它是由生長(zhǎng)目標(biāo)、發(fā)展方向決定的.問(wèn)題3中合理地拓展到三角形內(nèi)心，探究4個(gè)動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考和探究圓與隱圓之間的關(guān)系，將一個(gè)較難的問(wèn)題在一個(gè)個(gè)階梯式的設(shè)問(wèn)中恰當(dāng)自然地呈現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生在參與課堂活動(dòng)的過(guò)程中，提升自己的思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)自己的主體地位.

4 結(jié)語(yǔ)

教師應(yīng)鉆研教材，深挖典型例題，設(shè)計(jì)螺旋式變式題目，研究教法和學(xué)生，將“教”與“研”結(jié)合，從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，為思維發(fā)展鋪墊階梯，讓學(xué)生達(dá)到這一階段思維的終點(diǎn).