指向思維生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)實(shí)踐與思考*

浙江省湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心 浙江省湖州市南潯區(qū)和孚中學(xué) 褚水林

1 引言

數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，是數(shù)學(xué)知識(shí)的“根”，是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)核.數(shù)學(xué)核心概念是數(shù)學(xué)概念的主體與核心，是進(jìn)行判斷推理的關(guān)鍵，在整個(gè)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中占了主干地位，并起到了邏輯的連貫性與一致性作用，與其他基本數(shù)學(xué)概念一起，成為數(shù)學(xué)的重要組成部分.數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)為學(xué)生的認(rèn)知、核心素養(yǎng)培養(yǎng)提供了廣闊的思維平臺(tái).然而，核心概念教學(xué)還未引起足夠重視，未能從整體視角建構(gòu)核心概念教學(xué)，輕概念的學(xué)習(xí)過(guò)程，重立竿見(jiàn)影的解題訓(xùn)練，輕概念間的聯(lián)系，重單純的模仿記憶.這樣的核心概念教學(xué)，不利于學(xué)生對(duì)核心概念本質(zhì)的理解，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，不利于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成.那么，在“雙減”背景下如何重構(gòu)核心概念教學(xué)，發(fā)揮核心概念教學(xué)的作用與價(jià)值？筆者提出指向思維成長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)，讓概念教學(xué)為學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)、思維生長(zhǎng)、生命成長(zhǎng)助力，發(fā)揮核心概念課應(yīng)有的育人價(jià)值.

2 詮釋?zhuān)褐赶蛩季S生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念最重要的特征是它們都被嵌入在組織良好的概念體系中.在一個(gè)概念體系中，有些概念處于核心位置，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯(lián)系，符合上述核心概念的特征，我們稱(chēng)這些概念為核心數(shù)學(xué)概念[1].數(shù)學(xué)核心概念居于學(xué)科中心，是學(xué)科結(jié)構(gòu)的主干部分，具有整體性、結(jié)構(gòu)性、生長(zhǎng)性等特征.基于核心概念的特征、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、核心素養(yǎng)的目標(biāo)要求，數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)重視概念的生長(zhǎng)發(fā)展過(guò)程、學(xué)生思維的生長(zhǎng)過(guò)程.指向思維生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)，基于數(shù)學(xué)育人價(jià)值，通過(guò)創(chuàng)設(shè)一定情境，以問(wèn)題引領(lǐng)為主線，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生感受學(xué)習(xí)核心概念的必要性，經(jīng)歷概念的形成、應(yīng)用、精致過(guò)程，從而理解核心概念本質(zhì)，生成概念系統(tǒng)，體驗(yàn)概念的價(jià)值，自然生長(zhǎng)知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)，從而不斷獲得思維方式和思維品質(zhì)的發(fā)展，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維逐步從低階思維向高階思維發(fā)展，以思維生長(zhǎng)助力學(xué)生成長(zhǎng)，最終達(dá)到師生思維共同生長(zhǎng)之目標(biāo).

3 實(shí)踐：指向思維生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)路徑

指向思維生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)，在遵循一般概念的教學(xué)基礎(chǔ)上，還有自身的特殊要求，從工具性理解向關(guān)系性理解過(guò)渡.從整體觀視角學(xué)習(xí)概念，首先需要研究“為什么學(xué)習(xí)此概念”，知道概念生成的背景和引入理由，激活學(xué)生情感需求和認(rèn)知需求[2]；其次需要研究“學(xué)習(xí)概念的主要內(nèi)容”，經(jīng)歷概念形成過(guò)程，揭示概念的本質(zhì)特征，提升思維活躍度和含量；再次需要研究“學(xué)了概念有什么用”，挖掘概念學(xué)習(xí)蘊(yùn)含的思想方法，知道它在建構(gòu)知識(shí)或解決問(wèn)題中的作用，建立相關(guān)概念之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)體系，提升思維的聯(lián)系性、深刻性.筆者以初中方程起始課(浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第5章第1節(jié)“一元一次方程”)教學(xué)為例，探索思維生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)實(shí)踐路徑.

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

問(wèn)題1：小明今年13歲，老師今年的年齡減去10歲再除以2剛好為小明的年齡，你能算出老師的年齡嗎？

問(wèn)題2：小明今年13歲，老師今年的年齡36歲，請(qǐng)問(wèn)幾年后小明的年齡是老師年齡的一半？

教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧方程的概念，再引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題(用算術(shù)解法或方程解法).

追問(wèn)：通過(guò)比較，試說(shuō)出列算式和列方程兩種方法的特征？

列算式：列出的算式表示解題的計(jì)算過(guò)程,只能用已知數(shù).對(duì)于數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的問(wèn)題,列算式比較困難.

列方程：方程是根據(jù)題中等量關(guān)系列出的等式.已知數(shù)、未知數(shù)都可以參與運(yùn)算,思維方式是順向思維，解決問(wèn)題相對(duì)比較方便.

設(shè)計(jì)意圖：從師生年齡的角度入手，激發(fā)學(xué)生的求知欲，激活舊知，自然引入新知，起到先行組織者作用.本問(wèn)題設(shè)計(jì)兩問(wèn)讓學(xué)生自我評(píng)判列算式、列方程難易程度如何，第一設(shè)問(wèn)列算式、列方程難易程度差不多，第二設(shè)問(wèn)列方程優(yōu)于列算術(shù).通過(guò)比較，讓學(xué)生初步感知和體驗(yàn)，逐步體會(huì)從算式到方程的進(jìn)步，感受方程在解決問(wèn)題過(guò)程中的重要性.

3.2 活動(dòng)探究，生成概念

活動(dòng)1：嘗試列方程.

例1根據(jù)下列問(wèn)題數(shù)量關(guān)系列方程：

問(wèn)題3：2021年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)中中國(guó)運(yùn)動(dòng)員的表現(xiàn)出色，其中跳水隊(duì)獲得金牌7枚，是射擊隊(duì)獲得金牌數(shù)的2倍少1.射擊隊(duì)獲得多少枚金牌？

設(shè)射擊隊(duì)獲得x枚金牌，可列出方程：.

問(wèn)題4：小強(qiáng)、小杰、張明參加投籃比賽，每人投了20次.小強(qiáng)投進(jìn)10個(gè)球，小杰比張明多投進(jìn)2個(gè)，三人平均每人投進(jìn)14個(gè)球.問(wèn)小杰和張明各投進(jìn)多少個(gè)球？

設(shè)張明投進(jìn)x個(gè)，可列出方程：.

問(wèn)題5：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為28米，長(zhǎng)比寬多3米，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為多少米？

①設(shè)長(zhǎng)方形的寬為a米，則長(zhǎng)為(a+3)米，可列出方程：；

②設(shè)長(zhǎng)方形的寬為a米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為b米，根據(jù)題意，可列出方程：.

問(wèn)題6：長(zhǎng)方形的面積為28平方米，長(zhǎng)比寬多3米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為多少米？

設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m米，可列出方程.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)不同背景問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)歷“找等量關(guān)系，列方程”的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，同時(shí)為學(xué)生自主建構(gòu)一元一次方程及相關(guān)概念做準(zhǔn)備.

活動(dòng)2：識(shí)別特征，形成概念.

學(xué)生按照未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)分別進(jìn)行分類(lèi)：按未知數(shù)個(gè)數(shù)(即“元”)，可分為一元、二元；按未知數(shù)的次數(shù)，分為一次、二次.此時(shí)教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些方程的共性：方程的兩邊都是整式；特性：未知數(shù)的個(gè)數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù).

你能否再舉一些具有這些特征的方程的例子?

在學(xué)生歸納、概括這三個(gè)方程的本質(zhì)屬性基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生嘗試對(duì)一元一次方程下定義.

設(shè)計(jì)意圖：從方程整體的視角，提供豐富的方程例子，學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較再分類(lèi)，逐步歸納屬性.通過(guò)觀察所列方程的共同特征，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力，滲透數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng).

問(wèn)題9：類(lèi)比一元一次方程定義，方程④2(a+b)=28，⑤a-b=3，⑥m(m-3)=28，這三個(gè)方程分別可以稱(chēng)為什么方程？能否給這些方程下定義？

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比一元一次方程定義，讓學(xué)生抓住方程的“元”“次”嘗試給二元一次方程、一元二次方程下定義，體現(xiàn)概念的生長(zhǎng)、思維的生長(zhǎng).

3.3 應(yīng)用遷移，理解概念

活動(dòng)3：辨析概念.

(1)下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？

①5x=0；②1+3x；③y2=4+y；④3m+2=1-m.

活動(dòng)4：嘗試檢驗(yàn)，體驗(yàn)方法.

例2利用問(wèn)題2引入一元一次方程解的嘗試探究：

小明今年13歲，老師今年的年齡36歲，請(qǐng)問(wèn)幾年后小明的年齡是老師年齡的一半？

表1

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)嘗試用逼近法求方程解的活動(dòng)，既讓學(xué)生感受解方程的一般方法，又自然引出方程解的概念.

3.4 反思總結(jié)，構(gòu)建概念系統(tǒng)

問(wèn)題：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)算式和方程在解決問(wèn)題中的作用有哪些新的認(rèn)識(shí)？

我們通過(guò)怎樣方法學(xué)習(xí)一元一次方程？

師生共同梳理歸納，形成結(jié)構(gòu)圖，如圖1.

圖1 一元一次方程概念結(jié)構(gòu)體系網(wǎng)絡(luò)圖

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生梳理總結(jié)所學(xué)知識(shí)、方法并以思維導(dǎo)圖形式呈現(xiàn)，使之形象化、結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化，促進(jìn)對(duì)新概念的深度理解和深度思維.

4 反思：指向思維生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)啟示

4.1 理解教材，把握數(shù)學(xué)核心概念本質(zhì)

思維生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)核心概念課，關(guān)鍵在于深度理解核心概念、遷移應(yīng)用概念并能建構(gòu)概念體系.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需要整體解讀教材，明白教材的編寫(xiě)意圖，并對(duì)不同版本的教材進(jìn)行精選和整合.

初中階段方程起始課不同教科書(shū)課題名稱(chēng)不盡相同，如人教版的課題“從算術(shù)到方程”，浙教版的課題“一元一次方程”，不同的課題意味目標(biāo)立意也有所側(cè)重.方程起始課教學(xué)從整體觀、系統(tǒng)觀的思維創(chuàng)造性地用教材，本課例在浙教版提供的學(xué)習(xí)素材基礎(chǔ)上，增加了算術(shù)解法與方程解法比較的內(nèi)容，讓學(xué)生體會(huì)到從算式到方程的進(jìn)步；在列方程時(shí)增加了不同類(lèi)型的整式方程，通過(guò)對(duì)列出方程的分類(lèi)逐步獲得一元一次方程的概念，在此基礎(chǔ)上生長(zhǎng)二元一次方程、一元二次方程，體現(xiàn)了低起點(diǎn)、高立意，體會(huì)方程的價(jià)值和方程思想，體驗(yàn)到核心概念的生長(zhǎng)過(guò)程.

4.2 創(chuàng)設(shè)情境，感受學(xué)習(xí)核心概念的必要性

核心概念教學(xué)不僅要知其然，而且知其所以然.通過(guò)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題需要的分析，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，產(chǎn)生核心概念學(xué)習(xí)的情感需求；通過(guò)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的分析，讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)核心概念學(xué)習(xí)的思維需求.通過(guò)問(wèn)題1、問(wèn)題2師生年齡問(wèn)題情境，采用“一題多解”的方式，讓學(xué)生感受算術(shù)法與方程法的區(qū)別，初步體會(huì)方程法的優(yōu)越性，逐步實(shí)現(xiàn)從算術(shù)法到方程法的思維轉(zhuǎn)換，體會(huì)方程思想.

4.3 設(shè)計(jì)活動(dòng)，經(jīng)歷核心概念的形成過(guò)程

史寧中教授指出，抽象是從許多事物中舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過(guò)程，是形成概念的必要手段[3].數(shù)學(xué)概念的形成往往是從具體到抽象、從特殊到一般的過(guò)程，數(shù)學(xué)核心概念學(xué)習(xí)成為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的重要載體.因此，數(shù)學(xué)核心概念盡量以“概念形成”的方式學(xué)習(xí)，使學(xué)生真正經(jīng)歷辨別—分化—抽象—概括—表示等思維活動(dòng)過(guò)程.在一元一次方程的概念形成教學(xué)中，通過(guò)列方程、給所列方程分類(lèi)、再聚焦到一元一次方程的共同屬性歸納抽象，從整體到局部，從共性到特性，從整式方程到一元一次方程，類(lèi)比一元一次方程對(duì)二元一次方程、一元二次方程初步認(rèn)知，體現(xiàn)方程的整體性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的自然形成過(guò)程、生長(zhǎng)過(guò)程.

4.4 搭建支架，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的自然生長(zhǎng)

核心概念教學(xué)追求的是思維的自然生長(zhǎng)，追求思維動(dòng)力、思維品質(zhì)、思維能力得到自然、必然生長(zhǎng).一是營(yíng)造環(huán)境，激發(fā)學(xué)生思維動(dòng)力.需要產(chǎn)生的一種心理反應(yīng)就是動(dòng)機(jī)，學(xué)生的需要，就是激發(fā)學(xué)生思維動(dòng)機(jī)的出發(fā)點(diǎn).教學(xué)中立足學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)、思維起點(diǎn)、情感需求，營(yíng)造和諧的師生關(guān)系，從而產(chǎn)生思維的動(dòng)機(jī)，增強(qiáng)激發(fā)思維的內(nèi)驅(qū)力.二是設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，引發(fā)學(xué)生思考，提升思維品質(zhì).本案例通過(guò)問(wèn)題1、問(wèn)題2，引發(fā)學(xué)生對(duì)算術(shù)方法與方程方法比較，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)方程的必然性；通過(guò)問(wèn)題3～6的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷列方程的過(guò)程，感受方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種模型，初步形成建立方程模型解決問(wèn)題的意識(shí)；通過(guò)問(wèn)題7～9，逐步歸納一元一次方程的本質(zhì)屬性，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力；通過(guò)問(wèn)題2引導(dǎo)學(xué)生首次經(jīng)歷一元一次方程解的嘗試探究，方程解的概念、嘗試檢驗(yàn)解融合在一起，學(xué)生的創(chuàng)新思維、深度思維得到培養(yǎng).三是思維導(dǎo)圖，形成思維結(jié)構(gòu)化.核心概念教學(xué)注重概念間的聯(lián)系，以思維導(dǎo)圖建構(gòu)概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，以此促進(jìn)概念本質(zhì)理解，促進(jìn)學(xué)生深度思維、結(jié)構(gòu)化思維.

教育的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)就是讓學(xué)生全面發(fā)展、健康成長(zhǎng).指向思維生長(zhǎng)的核心概念教學(xué)，要站在學(xué)生的生命視角，重構(gòu)核心概念教學(xué)結(jié)構(gòu)，以“內(nèi)容問(wèn)題化、問(wèn)題活動(dòng)化、活動(dòng)思維化”為關(guān)鍵要素，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)核心概念的必要性，經(jīng)歷核心概念的形成、應(yīng)用過(guò)程，讓學(xué)生養(yǎng)成從核心概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從概念的聯(lián)系中創(chuàng)新思維，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓概念教學(xué)為學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)、思維生長(zhǎng)、生命成長(zhǎng)賦能，發(fā)揮核心概念課育人價(jià)值.