變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用探討

黃 翔，李小新

（1.安徽中醫(yī)藥大學(xué)醫(yī)藥信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230012；2.池州學(xué)院大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院 安徽 池州 247000）

變限積分函數(shù)是一種特殊的函數(shù)表示方法，它用定積分的形式解決了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)存在性問題.教學(xué)中，變限積分函數(shù)的求導(dǎo)問題是教學(xué)的重點與難點，也是考試常考知識點，因此對變限積分函數(shù)的求導(dǎo)方法探討是教學(xué)研究的熱點之一.

文傳軍等[1]將積分變限的函數(shù)求導(dǎo)問題歸納為公式型、乘積型和換元型，并給出了通用的基于復(fù)合函數(shù)形式的含積分變限函數(shù)求導(dǎo)方法.宋傳靜[2]由易到難依次給出五個求導(dǎo)公式，并結(jié)合例題比較五個公式的解題過程的難易度.朱忠華[3]結(jié)合實例講解變限積分函數(shù)的求導(dǎo)以及其在微積分各主要內(nèi)容中的應(yīng)用.熊良鵬等[4]探討了變限積分函數(shù)的求導(dǎo)性質(zhì)在極限計算及積分不等式證明兩類問題的應(yīng)用.侯玉雙等[5]針對學(xué)生在學(xué)習(xí)變限積分函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時通常出現(xiàn)的三類錯誤，結(jié)合牛頓-萊布尼茲公式，提出了變限積分函數(shù)求導(dǎo)的F-方法.品希大[6]探討了一元函數(shù)變限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的教學(xué)方式，舉例并歸類說明不同類型題目如何正確用積分函數(shù)求解.陸宜清[7]介紹由變限積分函數(shù)所衍生的積分函數(shù),討論了變限積分函數(shù)在證明定積分性質(zhì)方面的應(yīng)用.

本文例舉變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式在近十年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽和碩士研究生入學(xué)考試試題中若干應(yīng)用，以期對同學(xué)們后續(xù)課程學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)競賽、考研、進(jìn)行學(xué)術(shù)研究等方面提供必要幫助.

1 定義與公式

如果函數(shù)f(t)在區(qū)間[a,b]上可積，x∈[a,b]，則變動上限的積分是關(guān)于x的函數(shù)，稱為變上限積分函數(shù).同理稱為變下限積分函數(shù)，統(tǒng)稱為變限積分函數(shù).

變限積分函數(shù)求導(dǎo)問題是高等數(shù)學(xué)課程考查的重點，在張磊等[8]中可以查閱以下求導(dǎo)公式，在此不給證明.

需要指出的是，公式（1）是溝通導(dǎo)數(shù)與定積分的橋梁，是后面公式的基礎(chǔ)，公式（2）是公式（1）的推廣，是變限積分函數(shù)求導(dǎo)的一般公式，在平時教學(xué)中應(yīng)用較多，特別注意，該公式是被積表達(dá)式中不含有求導(dǎo)變量x時才能使用；公式（3）是被積函數(shù)含參變量的積分函數(shù)的求導(dǎo)公式，顯示積分函數(shù)求導(dǎo)過程中，求導(dǎo)與求積次序可以互換，公式（4）是含參變量的變限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式，作為其推廣，公式（5）是對被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)含參變量的變限積分函數(shù)求導(dǎo).

特別地，對于含參變量的變限積分函數(shù)的求導(dǎo)一般可通過“變量分離和變量替換”將含參變量的變限積分函數(shù)轉(zhuǎn)換成直接可以用公式（1）、（2）求解的形式.

2 應(yīng)用舉例

3 結(jié)論

變限積分函數(shù)是一類非常重要的特殊函數(shù)，它的求導(dǎo)公式必須熟練掌握并能進(jìn)行各方面的應(yīng)用。應(yīng)用時要注意區(qū)分積分變量、函數(shù)參變量以及函數(shù)的復(fù)合形式，采用變量分離和變量替換時與常義積分相似，需要遵循“換元必?fù)Q限”的原則.公式（5）更具有一般性、直接性、適用范圍廣的優(yōu)勢，但是也具有形式復(fù)雜，記憶理解困難的特點.在教學(xué)中，建議根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)，講解深度需難易結(jié)合，既能吸引學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又能避免學(xué)生產(chǎn)生畏難、排斥心理.