具有階段結(jié)構(gòu)的SIS型傳染病模型的動力學(xué)性質(zhì)*

劉晗嫣，謝景力，舒 晴

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000)

捕食者-食餌模型是種群動力學(xué)中的重要模型，不管是捕食者種群還是食餌種群均容易受外界因素影響，如疾病、階段結(jié)構(gòu)、恐懼因子和避難所等[1-3].近年來，學(xué)者們偏向于將不同的影響因素結(jié)合起來，分析各個因素對捕食者-食餌模型的綜合影響.例如，楊鑫等[4-6]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的單一種群傳染病模型，劉芳等[7-11]研究了具有階段結(jié)構(gòu)或SIS型傳染病的捕食者-食餌模型.筆者擬在捕食者-食餌模型中引入疾病和階段結(jié)構(gòu)[9]，并分析Beddington-DeAngelis型功能反應(yīng)對新模型的動力學(xué)性質(zhì)的影響.

1 模型的建立

假設(shè)食餌和捕食者種群的自然死亡率不受外界因素的影響，僅成年捕食者有捕獲能力，建立如下捕食者-食餌模型:

(1)

其中:S(易感者)和I(染病者)為食餌種群；X和Y分別表示捕食者種群的幼年和成年階段；q為食餌種群的自然增長率；n和m分別為捕食者和食餌種群的自然死亡率；γ表示染病率；μ表示食餌染病的死亡率；g表示捕食者幼年到成年的轉(zhuǎn)化率；λ1，λ2分別表示成年捕食者捕獲未染病食餌和染病食餌的轉(zhuǎn)換率，0<λ1<1,0<λ2<1.模型(1)中所有參數(shù)均為正數(shù).S，I，X，Y滿足如下初始條件:

S(0)=S0≥0,I(0)=I0≥0,X(0)=X0≥0,Y(0)=Y0≥0.

(2)

捕食者和食餌相互作用流程如圖1所示.

圖1 捕食者和食餌相互作用流程Fig. 1 Flow Chart of Predator-Prey Interaction

2 正解的存在性和解的有界性

定理1對于系統(tǒng)(1)，在初始條件(2)下，正解存在.

證明對于系統(tǒng)(1)，在初始條件(2)下，對于?t>0，有

即正解存在.證畢.

定理2對于系統(tǒng)(1)，在初始條件(2)下，解是一致有界的.

證明令h(t)=S(t)+I(t)+X(t)+Y(t)，則

q(S+I)-mS-(μ+m)I-nX-nY≤q(S+I)-θk,

其中k=min{1,m,μ+m,n}，θ∶=S+I+X+Y，于是

由常數(shù)變易法，可得

3 平衡點的存在性

對于系統(tǒng)(1)，存在零平衡點E0=(0,0,0,0)，當(dāng)q=m時邊界平衡點E1=(1,0,0,0)存在.

邊界平衡點E2=(S2,I2,0,0),E3=(S3,0,X3,Y3)和正平衡點E*=(S*,I*,X*,Y*)滿足如下存在性定理:

定理3當(dāng)m

定理4當(dāng)q>m且(α1+mb)gλ1>qbgλ1+cng+cn2時，平衡點E3存在.

定理3證明對于平衡點E2，由系統(tǒng)(1)可得

易得

若m0,I2>0，平衡點E2存在.證畢.

定理4證明對于平衡點E3，由系統(tǒng)(1)可得

化簡可得

若q>m，(α1+mb)gλ1>qbgλ1+cng+cn2，則S3>0，X3>0，Y3>0，平衡點E3存在.證畢.

定理5證明對于平衡點E*，由系統(tǒng)(1)可得

化簡可得

(3)

4 平衡點的穩(wěn)定性

4.1 平衡點的局部穩(wěn)定性

(1)零平衡點E0的穩(wěn)定性.通過在E0點的Jacobi矩陣可得跡和行列式分別為

tr(E0)=q-2m-2n-g-μ,det(E0)=-n(q-m)(μ+m)(g+n).

若qm，則零平衡點為鞍點.

(2)邊界平衡點E1的穩(wěn)定性.通過在E1點的Jacobi矩陣可得特征值為

λ11=q-m=0,λ12=γ-(μ+m),λ13=-(g+n),λ14=-n,

于是邊界平衡點E1是非雙曲的.

(3)邊界平衡點E2的穩(wěn)定性.通過在E2點的Jacobi矩陣可得特征值為

于是邊界平衡點E2也是非雙曲的.

(4)邊界平衡點E3的穩(wěn)定性.通過在E3點的Jacobi矩陣可得跡和行列式分別為

其中

引理1[12]若det(E3)<0，則E3為鞍點；若tr(E3)>0,det(E3)>0，則E3不穩(wěn)定；若tr(E3)=0,det(E3)>0,則E3是中心；若tr(E3)<0,det(E3)>0，則E3局部漸進穩(wěn)定.

(5)正平衡點E*的穩(wěn)定性.通過在E*點的Jacobi矩陣可得跡和行列式分別為

其中S*,I*,X*,Y*為方程組(3)的解.

引理2[12]若det(E*)<0，則E*為鞍點；若tr(E*)>0,det(E*)>0，則E*不穩(wěn)定；若tr(E*)=0,det(E*)>0，則E*是中心；若tr(E*)<0,det(E*)>0，則E*局部漸進穩(wěn)定.

4.2 平衡點的全局穩(wěn)定性

取

定理6當(dāng)q

證明邊界平衡點E3=(S3,0,X3,Y3)的Lyapunov函數(shù)為

W=W1+W2+W3+W4.

其中：

取

證畢.

定理7當(dāng)q

證明正平衡點E*=(S*,I*,X*,Y*)的Lyapunov函數(shù)為

V=V1+V2+V3+V4.

其中：