基于Markov過程的衛(wèi)星星座備份策略研究

駱天溯，趙靈峰，馮蘊雯，薛小鋒，路成

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072）

（2.中科院微小衛(wèi)星創(chuàng)新研究院通信衛(wèi)星總體研究所，上海 201203）

0 引 言

備份衛(wèi)星是星座正常運行的關(guān)鍵保障，對于維持星座性能有著十分重要的作用。若衛(wèi)星星座中有衛(wèi)星發(fā)生故障且未能及時更換，可能致使整個衛(wèi)星星座癱瘓進而降低星座可用度。因此，有必要對低軌衛(wèi)星星座備份策略進行研究，以保障星座中有衛(wèi)星發(fā)生故障時能夠獲得及時更換，在保證星座可用度的前提下降低備份費用。

近年來，為了解決星座備份衛(wèi)星數(shù)量優(yōu)化問題，避免備份衛(wèi)星過多造成備份成本過高和備份數(shù)量過少導(dǎo)致無法滿足星座可用度指標的問題，國內(nèi)外對星座備份策略進行了研究并取得了一定的成果。Wang Qinghua等研究表明，對于BDS系統(tǒng)增加MEO衛(wèi)星的備份數(shù)量可大幅提高星座系統(tǒng)魯棒性；T.J.Lang等、J.L.Palmade等對各國的導(dǎo)航衛(wèi)星星座備份策略進行了研究和建模；A.V.Sedelnikov等提出了一種可以讓備份衛(wèi)星在空間備份時保持軌道高度和正確姿態(tài)的方法。但上述研究未考慮不同數(shù)量的備份衛(wèi)星對星座可用度造成的影響。

J.F.Ereau等提出了基于Petri網(wǎng)的星座備份模型；C.Kelley等使用Markov模型來評估衛(wèi)星系統(tǒng)的生命周期成本，提出了綜合考慮采購、補給和運營成本因素下的星座備份模型；B.R.Sumter通過有限空間Markov決策過程建立了一個衛(wèi)星備份模型。上述研究在建立星座可用度計算模型時沒有考慮隨著時間的推移星座的持續(xù)運行導(dǎo)致性能的下降。

M.Dishon等提出了基于（，）庫存模型的衛(wèi)星備份策略；P.Jakob等提出了一種基于（，）庫存模型的同時考慮三種備份模式的兩級可用度模型；趙立都等基于星座系統(tǒng)可靠度和備份衛(wèi)星的可用性，分析了對備份衛(wèi)星的軌道高度和軌道傾角的要求；胡敏等進行了基于Petri網(wǎng)的Walker導(dǎo)航星座備份策略研究，給出了在軌和地面同時備份情況下的星座可用度計算模型；王爾申等提出了基于Markov過程的GNSS星座備份策略，并評估了不同數(shù)量的備份衛(wèi)星對星座可用度的影響；侯洪濤對GNSS系統(tǒng)進行了多層可用性分析并計算了考慮備份衛(wèi)星時的星座可用性。上述研究沒有考慮星座實際運行中的降級運行情況，使得星座可用性計算結(jié)果與工程實際存在差異。

為了解決以上問題，本文提出一種基于Markov過程的低軌星座備份策略，考慮星座中的故障衛(wèi)星不能及時更換時降級運行，計算星座在使用不同備份策略下的可用度，并以某真實低軌星座為例，結(jié)合其在軌運行數(shù)據(jù)提出最優(yōu)的備份策略。

1 問題描述與假設(shè)

星座可用性的概念具有很強的領(lǐng)域性和時代特點，根據(jù)具體的工程應(yīng)用場景，本文中星座可用性的定義為星座提供額定服務(wù)時間所占的百分比。星座備份策略主要包括在軌備份、停泊軌道備份以及地面?zhèn)浞菽Ｊ?，其中，在軌備份的衛(wèi)星與工作衛(wèi)星處于同一軌道面上，備份衛(wèi)星僅需通過簡單的相位變換即可替換故障衛(wèi)星；停泊軌道備份衛(wèi)星處于比星座軌道更低的停泊軌道上，需通過軌道漂移以及變軌替換故障衛(wèi)星；地面?zhèn)浞莸男l(wèi)星貯存在火箭發(fā)射基地或者衛(wèi)星制造工廠中，通過按需發(fā)射替換故障衛(wèi)星。對于衛(wèi)星數(shù)量不多的星座而言，在軌備份模式替換時間短，星座可用度高，是一種最為常見的備份方式。各國均采用在軌備份方式對其全球?qū)Ш叫亲M行備份，例如GPS、Galileo、GLONASS和北斗全球?qū)Ш较到y(tǒng)。本文在這一工程背景下開展基于Markov過程的低軌星座備份策略研究，該星座未采用備份衛(wèi)星時的軌位如圖1所示。

圖1 無備份衛(wèi)星的低軌星座布局示意圖（策略0）Fig.1 Constellation layout of a LEO constellation without spare satellites（Strategy 0）

該星座由7條軌道組成，每條軌道上有3顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星，由于在實際運行中沒有考慮衛(wèi)星備份，該星座可用度只有0.63，遠低于指標要求，需要綜合考慮備份費用和可用性要求，提出最優(yōu)的星座備份策略。

為了簡化建模過程，提高模型的工程適用性，對基于Markov過程的低軌星座備份模型合理地做出如下假設(shè)：

（1）假設(shè)衛(wèi)星的壽命服從指數(shù)分布，即衛(wèi)星全壽命周期故障率恒定。

（2）由于只考慮在軌備份模式，一旦基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星發(fā)生失效故障，該軌道上的備份衛(wèi)星能夠立即替換該失效衛(wèi)星，替換完成后認為星座的狀態(tài)沒有發(fā)生變化；如果失效的衛(wèi)星沒有被及時替換，星座的狀態(tài)就會發(fā)生變化。

（3）衛(wèi)星的任意一個部件失效都會導(dǎo)致整個衛(wèi)星不能正常工作。

（4）所有基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星與所有備份衛(wèi)星構(gòu)造相同，單星可用性相同。

2 單星可用度模型及求解

單顆衛(wèi)星的Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系圖Fig.2 Markov state transition process of a satellite

圖2中，0狀態(tài)表示衛(wèi)星正常工作狀態(tài)；1狀態(tài)表示衛(wèi)星故障狀態(tài)；為衛(wèi)星失效率，表示單位時間內(nèi)衛(wèi)星發(fā)生故障的概率；為衛(wèi)星維修率，表示單位時間內(nèi)衛(wèi)星由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)移成正常運行狀態(tài)的概率。在失效衛(wèi)星無備份衛(wèi)星進行替換時，維修過程通過在軌服務(wù)方式實現(xiàn)；當有備份衛(wèi)星進行替換時，維修過程通過備份衛(wèi)星替換故障衛(wèi)星實現(xiàn)。和的計算公式為

式中：為衛(wèi)星的平均無故障間隔；為衛(wèi)星的平均維修時間。

、與衛(wèi)星運行時間、維修時間、失效次數(shù)有關(guān)，計算公式為

根據(jù)可用性理論，單星的穩(wěn)態(tài)可用度計算模型為

3 星座可用度

3.1 星座可用度模型

綜上，共擁有條軌道的星座中第條軌道有T顆衛(wèi)星正常工作的概率為

3.2 星座可用度模型求解方法

當初始時刻=時，基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星星座的故障狀態(tài)向量為

其中，

式中：A 為基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星的單星可用度。

同理可得初始時刻=時備份衛(wèi)星星座的故障狀態(tài)向量為

其中，

式中：A 為備份衛(wèi)星的單星可用度。

當為任意正整數(shù)，Δ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移時間間隔時，=+Δ時刻基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星星座的故障狀態(tài)向量為

其中，

其中，

同理，在=+Δ時刻備份衛(wèi)星星座構(gòu)成的故障狀態(tài)向量為

4 案例分析

以構(gòu)型參數(shù)Walker 21/7/1：600 km，55°星座為例，考慮星座降級運行情況，將星座等級定義（定義中的衛(wèi)星包括基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星和備份衛(wèi)星）如下：

（1）：星座中全部21顆衛(wèi)星正常運行，即每條軌道上至少有3顆衛(wèi)星正常工作，此時星座可用度為；

（2）：星座中至少有20顆衛(wèi)星正常運行，此時星座可用度為；

（3）：7個軌道平面上均至少有2顆衛(wèi)星正常運行，此時星座可用度為；

（4）：7個軌道平面上有一個軌道平面少于2顆衛(wèi)星正常運行，此時認為星座不可用。

在不考慮備份衛(wèi)星的情況下，該星座在運行過程中的運行時間和故障數(shù)據(jù)如表1～表2所示。星座使用方提出的運行要求為：星座運行等級要求為級，星座可用度不低于0.99。在此要求下求出使星座備份費用最低的星座備份策略。

表1 某低軌星座基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星運行時間表Table 1 Operating schedule of baseline satellites of a LEO constellation

表2 某低軌星座基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星故障數(shù)據(jù)表Table 2 Satellite failure data of baseline satellites of a LEO constellation

從表1～表2可以看出：衛(wèi)星總運行時間為140 662 h，總故障時間為9 168 h，總故障次數(shù)為11次。

備份策略1中的星座由28顆衛(wèi)星組成，其中01號～21號為21顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；22號～28號為7顆備份衛(wèi)星?；A(chǔ)軌位衛(wèi)星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；備份衛(wèi)星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有1顆備份衛(wèi)星。備份策略1示意圖如圖3所示。

圖3 星座備份策略1示意圖Fig.3 Constellation spare strategy 1

備份策略2中的星座由35顆衛(wèi)星組成，其中01號～21號為21顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；22號～35號為14顆備份衛(wèi)星?；A(chǔ)軌位衛(wèi)星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；備份衛(wèi)星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有2顆備份衛(wèi)星。備份策略2示意圖如圖4所示。

圖4 星座備份策略2示意圖Fig.4 Constellation spare strategy 2

備份策略3中的星座由42顆衛(wèi)星組成，其中01號～21號為21顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；22號～42號為21顆備份衛(wèi)星?；A(chǔ)軌位衛(wèi)星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；備份衛(wèi)星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有3顆備份衛(wèi)星。備份策略3示意圖如圖5所示。

圖5 星座備份策略3示意圖Fig.5 Constellation spare strategy 3

通過星座運行時間（如表1所示）和衛(wèi)星失效數(shù)據(jù)（如表2所示），使用式（5）可以求出單星平均可用性為0.978 7，再根據(jù)式（8）可以求出不同備份策略下不同星座等級的星座可用度，當Δ取1 h時，算法在300Δ后趨于穩(wěn)定，使用第3節(jié)提出的模型以及求解方法分別對不同星座等級、不同備份策略下的星座可用度進行仿真，仿真結(jié)果如表3所示。

表3 不同備份策略和不同星座等級下星座可用度仿真結(jié)果Table 3 Simulation results of constellation availability under different spare strategies and different constellation levels

不同備份策略及不同星座等級對星座可用度的影響如圖6所示。

圖6 不同星座等級和不同備份策略對星座可用度的影響Fig.6 Impact of different constellation levels and different spare srategies on constellation availability

從圖6可以看出：星座備份策略和星座等級對星座可用度都有很大的影響。備份衛(wèi)星數(shù)量越多星座可用度越高，采用備份策略3時星座可用度幾乎為1，然而備份費用也是三種策略中最高的；星座性能要求越高星座可用度越低，當星座性能要求達到等級時星座可用度最低，星座性能達到等級時，備份策略0、備份策略1和備份策略2的星座可用度增加明顯；在星座性能為等級時，增加備份衛(wèi)星數(shù)量會顯著增加星座可用度；在可用度≥0.99的要求下，備份策略0和備份策略1的可用度未達到指標要求，備份策略3的可用度大于指標要求但備份費用過高。綜合考慮可用度指標要求以及備份費用，備份策略2是最優(yōu)選擇。

5 結(jié) 論

（1）在星座等級為級、可用度指標為0.99的要求下，備份策略2為最優(yōu)備份策略，即在每個軌道面上備份兩顆衛(wèi)星可以兼顧星座性能與經(jīng)濟效益；若不考慮經(jīng)濟效益則備份策略3可以達到最高的星座性能。

（2）對于備份策略0而言，星座等級從提升到帶來的星座可用度提升十分明顯；對于備份策略1、備份策略2和備份策略3而言，星座等級從提升到帶來的星座可用度提升更加明顯。