基于單自由度等效線性化模型的RC 結(jié)構(gòu)地震易損性分析1

耿 飛 徐 超 溫增平

（中國地震局地球物理研究所, 北京 100081）

引言

地震風險分析包括地震危險性分析、地震易損性分析和地震災害損失估計3 個方面。地震易損性是指在給定地震強度水平下，結(jié)構(gòu)反應達到或者超越某種破壞狀態(tài)的條件概率。易損性分析是地震風險分析中連接地震危險性分析和地震災害損失估計的重要步驟。易損性的估計方法主要有經(jīng)驗方法和解析方法（周奎等，2011） ，經(jīng)驗方法主要依賴于專家經(jīng)驗，解析方法主要采用動力非線性計算方法。當前對于易損性的估計越來越依賴于計算機（Ellingwood 等，2007）?；谛阅艿目拐鹪O計采用了全概率模型，要求結(jié)構(gòu)的反應具有概率的含義，即結(jié)構(gòu)的易損性要具有概率的含義。傳統(tǒng)的靜力非線性方法如能力譜方法，雖然不同大小的反應譜值代表了不同發(fā)生概率的地震動，但是反應譜方法得到的結(jié)構(gòu)性能是確定的，因此傳統(tǒng)的靜力非線性方法難以適用于基于性能的結(jié)構(gòu)易損性估計。一般通過計算機采用動力非線性方法計算結(jié)構(gòu)反應的概率分布，進而得到解析的易損性曲線。解析易損性的主要缺點在于計算工作量較大且耗時久（周奎等，2011）。若有近似方法來計算結(jié)構(gòu)的動力反應，既可以得到結(jié)構(gòu)反應的概率分布，同時結(jié)果又能夠達到足夠的精度，那么就可以大大減少計算量。

等效線性化方法是將非線性單自由度體系等效成具有等效周期和等效阻尼比的線性體系，并進行最大非線性位移反應求解（蘇亮等，2011），是一種適用于抗震性能設計、計算結(jié)構(gòu)非線性地震峰值響應的工程實用化方法（曲哲等，2010），國內(nèi)外已有大量相關(guān)研究。Rosenblueth 等（1964）基于簡諧荷載作用下單自由度系統(tǒng)的雙線性滯回模型，首先提出了利用最大變形處的割線剛度來確定系統(tǒng)周期的變化，并利用運動循環(huán)滯回曲線所圍成的面積與阻尼消耗能量相等的關(guān)系，確定了等效阻尼比。Gulkan 等（1974）指出在地震荷載作用下多數(shù)時間內(nèi)位移遠小于最大反應，因此Rosenblueth 和Herrea 確定的等效阻尼比值過大，導致對最大位移反應的估計偏小。Gulkan 和Sozen 利用最大變形處的割線剛度確定等效周期，運用Takeda 滯回模型結(jié)合振動臺實驗，得到關(guān)于等效阻尼比的經(jīng)驗公式。Shibata 等（1976）將單自由度系統(tǒng)的等效線性化方法擴展到多自由度系統(tǒng)，提出了著名的等代結(jié)構(gòu)法。Iwan（1980）利用彈性單元和庫侖滑動單元的組合得到滯回模型，并利用12 條地震動記錄進行時程分析，得到了等效周期和等效阻尼比的經(jīng)驗公式。Kowalsky（1994）利用最大變形處的割線剛度確定系統(tǒng)等效周期的變化，并利用Takeda 滯回模型得到了等效阻尼比。Mirand 等（2002）對5 種等效線性化模型結(jié)果和彈塑性時程反應結(jié)果進行了對比研究，指出不同等效線性化模型的精度。Lin 等（2008）和Miranda 等（2004）利用強度折減系數(shù)，計算不同周期和不同強度折減系數(shù)的單自由度系統(tǒng)的最大反應，對比彈塑性時程反應結(jié)果，通過統(tǒng)計方法得到了基于強度的等效線性化經(jīng)驗公式。Goda 等（2010）研究了不同地震類型、地震區(qū)域以及Bouc-Wen 滯回模型不同參數(shù)對等效線性化參數(shù)的影響，并通過統(tǒng)計方法得到了基于強度折減系數(shù)的等效線性化模型。FEMA-440（FEMA，2005）基于ATC-40（ATC，1996）反應譜法規(guī)定的流程，利用等效線性化方法改進了等效周期和等效阻尼比的計算公式。

李妍等（2005）對5 種等效線性化模型的計算精度進行了統(tǒng)計分析，研究了不同延性、不同結(jié)構(gòu)周期以及不同阻尼比對這些方法計算精度的影響。曲哲等（2011）分析了結(jié)構(gòu)周期、延性系數(shù)以及恢復力模型等因素對等效線性化模型的影響，并通過對大量地震動記錄下動力彈塑性分析結(jié)果的擬合，提出了能夠綜合反映各方面參數(shù)影響的單自由度等效線性化模型。蘇亮等（2011）提出了一種確定等效線性化模型系統(tǒng)參數(shù)的標準粒子群優(yōu)化算法。曲哲等（2010）將等效線性化方法應用于多自由度結(jié)構(gòu)，對結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件進行等效線性化，利用振型分解反應譜法計算結(jié)構(gòu)的峰值反應。

從等效線性化方法研究的現(xiàn)狀可以看出，對于等效線性化的研究大多集中于等效線性化模型的參數(shù)求解和不同等效線性化模型的比較，對于將等效線性化方法用于實際結(jié)構(gòu)地震反應分析的研究較少，也缺少將等效線性化方法應用于結(jié)構(gòu)易損性分析的研究。本文將利用多條地震動記錄，采用5 種典型的等效線性化模型對不同高度的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進行增量動力分析（IDA），得到不同高度的結(jié)構(gòu)在不同強度地震作用下的反應和易損性，并與OpenSees 程序分析的結(jié)果進行比較，研究將單自由度等效線性化模型應用于鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的地震易損性分析在高度上的適用性。

1 等效線性化方法

等效線性化方法是指利用一個擁有較低剛度（或者較長自振周期）和較高阻尼比的等效線彈性結(jié)構(gòu)來估計原非線性結(jié)構(gòu)在地震作用下的最大變形反應，使原非線性結(jié)構(gòu)的最大變形反應與等效線彈性結(jié)構(gòu)的最大變形反應相等。

圖1 單自由度系統(tǒng)Fig. 1 Single degree of freedom system

圖2 割線剛度Fig. 2 Secant stiffness

圖3 雙線性滯回曲線Fig. 3 Bilinear hysteretic curve

當屈服后剛度系數(shù)α =0，式（4）、（5）可分別表示為：

2 簡化的單自由度模型

要進行基于單自由度等效線性化模型的易損性分析，首先需要得到結(jié)構(gòu)簡化的單自由度模型。多自由度系統(tǒng)在地震作用下的運動方程為：

3 結(jié)構(gòu)模型與等效單自由度系統(tǒng)

為檢驗采用不同等效線性化模型進行結(jié)構(gòu)易損性分析的精度及其在結(jié)構(gòu)高度上的適用性，設計3 棟不同高度的RC 框架結(jié)構(gòu)，高度分別為5 層、10 層和15 層，根據(jù)《建筑抗震設計規(guī)范》（GB 50011-2010）（中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設部等，2010）、《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（JGJ 3-2010）（中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設部，2011 ）的要求進行設計，滿足我國現(xiàn)行抗震設計規(guī)范。主要設計參數(shù)如下：建筑場地二類，抗震設防烈度為8 度，設計基本地震加速度0.2g，設計地震分組第2 組，框架抗震等級2 級。結(jié)構(gòu)平面尺寸均相同，且首層層高均為4.5 m，其余層高為3.6 m，結(jié)構(gòu)平面和5 層結(jié)構(gòu)側(cè)立面如圖5 所示?；炷翉姸鹊燃墳镃30，梁、柱截面受力主筋選用HRB335，箍筋選用HPB235，樓面荷載為4.0 K N/m2。 樓板厚度為120 mm，梁截面尺寸為3 50×600 mm，柱截面尺寸及配筋如表1 所示。

表1 柱尺寸及配筋Table 1 Sizes and reinforcement of columns

圖4 廣義力-位移關(guān)系的雙折線化Fig. 4 Bilinear model of generalized load-response curve

圖5 結(jié)構(gòu)平面及側(cè)立面示意圖Fig. 5 Structural plane and side elevation diagram

采用OpenSees 程序?qū)Y(jié)構(gòu)進行靜力推覆和增力動量分析（IDA）以獲取結(jié)構(gòu)的等效單自由度模型和非線性動力時程結(jié)果。由于結(jié)構(gòu)平面對稱，因此僅選用中間的一榀框架進行分析。梁柱采用基于位移的纖維截面梁柱單元進行模擬?；炷敛牧线x用Concret 01，鋼筋材料選用Steel 02，屈服后強度比b值取0.01，本構(gòu)曲線從彈性到塑性轉(zhuǎn)變的控制參數(shù)R0 取18，其他參數(shù)取默認值。

通過OpenSees 計算得到結(jié)構(gòu)的基本自振周期分別為0.703 s、1.047 s 和1.788 s，通過SAP2000 驗算得到結(jié)構(gòu)的基本自振周期分別為0.753 s、0.932 s 和1.894 s。二者計算結(jié)果相近，驗證了OpenSees 計算模型的合理性。

4 地震記錄選取及結(jié)構(gòu)易損性分析

4.1 地震記錄選取

有學者曾做過研究，對于中等高度的建筑，選取10～20 條地震記錄進行增量動力分析可以得到較為精確的地震需求估計（吳巧云等，2012）。對于結(jié)構(gòu)的破壞影響較大的都是大地震，且等效線性化模型進行計算時速度較快，綜合考慮以上因素，本文通過NGA 數(shù)據(jù)庫挑選了相當于二類場地的66 條震級大于6.5 級、斷層距小于35km 的地震記錄，用于增量動力分析（IDA），地震動記錄詳見耿飛（2013）。

4.2 易損性分析

結(jié)構(gòu)的易損性表示結(jié)構(gòu)在不同強度地震作用下，結(jié)構(gòu)的反應達到或超越某種破壞狀態(tài)的條件概率。為了得到結(jié)構(gòu)的易損性，首先需經(jīng)過增量動力分析（IDA）得到結(jié)構(gòu)在不同地震強度下的最大反應，然后確定結(jié)構(gòu)最大反應的概率分布情況，最后結(jié)合定義的結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)即可得到結(jié)構(gòu)的易損性。

4.2.1 結(jié)構(gòu)概率地震反應分析

對結(jié)構(gòu)進行IDA 分析，采用不同等效線性化模型和OpenSees 程序計算在不同峰值加速度（PGA）的地震輸入下結(jié)構(gòu)的反應。不同結(jié)構(gòu)在不同強度地震作用下，頂點位移的統(tǒng)計均值和最大層間位移角的統(tǒng)計均值關(guān)系如圖6 所示。圖中等效線性化模型計算的層間位移角由單自由度模型的最大頂點位移根據(jù)一階振型求出，因此等效線性化模型計算出的最大頂點位移曲線和最大層間位移角曲線的形狀相同。若真實結(jié)構(gòu)僅有一階振型反應，則圖中OpenSees 計算得到的最大頂點位移和最大層間位移角曲線形狀應該相同。通過比較OpenSees 和其他幾種等效線性化模型計算得到的最大頂點位移和最大層間位移角曲線的相對位置，可以看出：（1）相對于OpenSees 計算結(jié)果，R&H 方法和退化方法總是低估了結(jié)構(gòu)的最大頂點位移，G&S 方法和Kowalsky 方法總是高估了結(jié)構(gòu)的最大頂點位移反應，Iwan 方法和OpenSees 計算出的頂點位移結(jié)果相近。（2）隨著結(jié)構(gòu)高度的增加，OpenSees 計算的最大層間位移角相較其它5 種等效線性化模型不斷增大。（3）隨著高度增加，OpenSees 計算的最大層間位移角曲線形狀相對于最大頂點位移曲線形狀開始發(fā)生變化，且這種變化隨著高度的增加而增大，這說明高階振型的影響隨著高度的增加而增大。

圖6 頂點位移統(tǒng)計均值和最大層間位移角統(tǒng)計均值關(guān)系圖Fig. 6 The relationship between mean values of roof displacement and mean values of inter-story drift ratio

本文結(jié)構(gòu)的地震反應參數(shù)由最大層間位移角θd表示。通過對IDA 的結(jié)果進行對數(shù)回歸分析，可以得到結(jié)構(gòu)的最大層間位移反應θd均值與地震動的峰值加速度PGA 成對數(shù)線性關(guān)系：

式中，a、b為參數(shù)。根據(jù)不同等效線性化模型、不同高度結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果對公式（16）擬合得到參數(shù)a、b和標準差 β（表2） 。通過對比標準差 β 可以看出，10 層結(jié)構(gòu)地震反應的對數(shù)標準差明顯較5 層結(jié)構(gòu)大，15 層結(jié)構(gòu)地震反應的對數(shù)標準差和10 層結(jié)構(gòu)相比變化不大，OpenSees 計算結(jié)果的對數(shù)標準差最小。

表2 對數(shù)回歸分析的參數(shù)結(jié)果Table 2 Results of parameters from logarithmic regression analysis

4.2.2 易損性曲線

由于結(jié)構(gòu)的破壞和最大層間位移角密切相關(guān)，因此本文將結(jié)構(gòu)的最大層間位移角和結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)對應起來。參考李應斌等（2003）關(guān)于結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)的定義，本文所采用的結(jié)構(gòu)極限破壞狀定義如表3 所示。在給定地震強度PGA=x的條件下，結(jié)構(gòu)反應 θd達 到或超過某種破壞狀態(tài) θc的概率為：

表3 結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)對應的最大層間位移角Table 3 The maximum inter-story drift ratio corresponding to the damage states of the structure

式（18）即為易損性函數(shù)，其中 μlnθd為結(jié)構(gòu)反應對數(shù)的均值。將式（16）和表2 中的參數(shù)、表3 定義的破壞狀態(tài)代入式（18）即可得到結(jié)構(gòu)對特定破壞狀態(tài)的失效概率。不同結(jié)構(gòu)采用不同方法計算得到的易損性曲線如圖7 所示。

圖7 3 棟不同高度結(jié)構(gòu)的易損性曲線Fig. 7 Fragility curves of 3 structures with different heights

通過對比不同結(jié)構(gòu)在不同破壞狀態(tài)下的易損性曲線可知：對5 層結(jié)構(gòu)，相較于OpenSees 計算結(jié)果，R&H 方法和退化方法低估了結(jié)構(gòu)的易損性，G&S 方法和Kowalsky 方法高估了結(jié)構(gòu)的易損性，Iwan 方法和OpenSees 計算結(jié)果最接近，說明不同的等效線性化模型結(jié)果具有明顯的差異。對于10 層結(jié)構(gòu)，OpenSees 計算結(jié)果不再一直介于5 種等效線性化模型的結(jié)果之間，隨著地震強度的增大，OpenSees 計算得到的易損性結(jié)果逐漸大于5 種等效線性化模型的結(jié)果。對于15 層結(jié)構(gòu)，隨著地震強度的增大，OpenSees 計算得到的易損性結(jié)果明顯大于5 種等效線性化模型的結(jié)果。

對于5 層結(jié)構(gòu)， Iwan 模型的結(jié)果和OpenSees 計算得到的易損性結(jié)果最為接近，等效線性化模型的估計結(jié)果準確。對于10 層結(jié)構(gòu)，5 種等效線性化模型的計算結(jié)果和OpenSees 計算結(jié)果之間出現(xiàn)偏差，可以大致的估計出結(jié)構(gòu)易損性。對于15 層結(jié)構(gòu)，5 種等效線性化模型的計算結(jié)果和OpenSees 計算結(jié)果之間有著明顯差別，此時用等效線性化模型估計結(jié)構(gòu)的易損性會出現(xiàn)明顯偏差。綜上，隨著結(jié)構(gòu)高度的增加，結(jié)構(gòu)地震反應中高階振型反應的影響逐漸增大，而基于單自由度的等效線性化模型無法考慮高階振型的影響，從而低估了結(jié)構(gòu)的最大地震反應和易損性。因此當結(jié)構(gòu)的高度超過一定程度時，單自由度等效線性化模型難以適用于易損性估計。

5 結(jié)論

本文主要采用5 種基于單自由度的等效線性化模型和OpenSees 程序分別對5 層、10 層和15 層共3 棟結(jié)構(gòu)進行IDA 分析，得到了不同地震強度下結(jié)構(gòu)的最大反應以及不同破壞狀態(tài)下的易損性曲線。通過對結(jié)果進行分析比較，得到基于單自由度等效線性化模型的易損性分析在高度上的適用性。主要的結(jié)論如下：

（1）不同等效線性化模型的計算結(jié)果差別明顯，模型選擇對結(jié)果準確性具有重要影響。Iwan 模型對于高階振型影響不大的結(jié)構(gòu)計算結(jié)果較為準確，且計算結(jié)果偏于保守。從平均值看，由統(tǒng)計方法得到的等效線性化公式結(jié)果要優(yōu)于各種基于半理論的模型。

（2）隨著結(jié)構(gòu)高度增加，高階振型的影響越來越大且不可忽略，當結(jié)構(gòu)高度達到一定程度時，基于單自由度的等效線性化模型會過低的估計結(jié)構(gòu)的反應而造成對易損性的低估。

（3）對于10 層以下結(jié)構(gòu)，Iwan 模型和OpenSees 計算得到的易損性曲線差別不大，等效線性化模型適用于結(jié)構(gòu)的易損性估計；對于10 層以上結(jié)構(gòu)，由于高階振型的影響較大，等效線性化模型估計結(jié)構(gòu)的易損性會逐漸出現(xiàn)較大的誤差。

（4） 對于10 層及以下的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，用等效線性化模型估計結(jié)構(gòu)易損性可以在保證結(jié)果精度的同時大大減少計算量，是一種實用的計算方法。