Qp,0空間的一個判別準(zhǔn)則

羅 允，王 芳，唐樹安，楊叢麗

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

0 引言及主要結(jié)果

解析函數(shù)的Banach空間理論在經(jīng)典和現(xiàn)代分析中具有重要的作用。在復(fù)泛函分析理論中，一個有趣的問題是研究解析函數(shù)的莫比烏斯不變類的等價刻畫。在解析函數(shù)類中，Qp空間是一個重要的莫比烏斯不變空間，有很多學(xué)者研究了這個空間的等價刻畫。 這個空間的函數(shù)的增長性也得到了很多很好的刻畫[1-2]， 但是反過來，由函數(shù)的增長性決定該函數(shù)的空間屬性的研究卻較少。本文將研究Qp空間的一個閉子空間，我們給出一些解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的增長性條件，使其屬于函數(shù)空間Qp,0。

如果f∈A且

(1)

這里z=x+iy,則稱解析函數(shù)f屬于函數(shù)空間Qp。

如果f∈Qp且

則稱解析函數(shù)f∈Qp,0。在(1)定義的范數(shù)下，Qp,0空間是Qp空間的子空間。Qp空間由Aulaskari等在文[3]中引進(jìn)，我們知道Q0是經(jīng)典的Dirichlet空間，Q1是BMOA空間且Q1,0是VMOA空間(更多細(xì)節(jié)和相關(guān)結(jié)果參見[4-8])。這里我們稱單位圓周S1上一個可積函數(shù)u屬于BMO空間，如果

(2)

這里I是S1上的一段子弧，|I|表示I的勒貝格測度，且

(3)

是函數(shù)u在I上的平均(見[5])。

如果單位圓周S1上一個可積函數(shù)u∈BMO且

(4)

我們稱u∈VMO(S1)(見[5])。

我們稱一個解析函數(shù)f屬于Hardy空間H2，如果f∈A且

如果單位圓內(nèi)的H2函數(shù)f限制在邊界S1上屬于BMO，則稱函數(shù)f屬于BMOA。類似的，可以定義VMOA。已知在BMO范數(shù)(2)下，VMOA是BMOA的一個閉子空間(更多細(xì)節(jié)和結(jié)果參見文[5])。

Danikas在文[9]中證明了下列結(jié)果：

定理A[9]設(shè)f是D上的解析函數(shù)，φ是關(guān)于r∈(0,1)的單調(diào)遞增函數(shù)，并且有

|f′(z)|≤φ(r)。

如果

則f∈VMOA。

一個自然的問題是當(dāng)導(dǎo)函數(shù)f′(z)滿足什么條件時，f∈Qp,0？本文研究這個問題并得到下面結(jié)果：

定理1 設(shè)0

|f′(z)|≤φ(r)。

如果

則f∈Qp,0。

定理2 設(shè)0

|f′(φω(z))|≤φ(r)。

如果

則f∈Qp,0。

缺項冪級數(shù)在解析函數(shù)空間的研究中起著重要作用。在文[3]中，Aulaskari等證明了下述結(jié)果。

(I)f∈Qp,

(II)f∈Qp,0,

利用定理1，我們將給定理AXZ一個新的證明。我們將在第1節(jié)證明定理1，在第2節(jié)證明定理2，在第3節(jié)證明定理AXZ。本文用符號AB表示存在常數(shù)C，使A≤CB；A?B表示存在常數(shù)C1、C2，使得C1A≤B≤C2A。

1 定理1的證明

本節(jié)我們將證明定理1，首先給出一些引理。

引理1[3]設(shè)ω,z=reiθ∈D，00，使得

我們也需要Qp空間的一個等價描述(見[3])。

引理2[3]設(shè)0

|φω(z)|2)pdxdy<∞，

|φω(z)|2)p=0。

現(xiàn)在我們開始定理1的證明。

定理1的證明設(shè)ω∈D，ω=ρeiφ。由引理1和引理2，我們得到

所以根據(jù)勒貝格控制收斂定理，

由此，我們推出

即f∈Qp,0，我們完成了定理1的證明。

2 定理2的證明

定理2的證明方法與定理1類似。

設(shè)0

所以根據(jù)勒貝格控制收斂定理，

因此，我們推出

即f∈Qp,0，我們完成了定理2的證明。

3 定理AXZ的證明

不同于文獻(xiàn)[3]中的證明，我們的方法直接利用定理1。在定理證明之前，我們首先給出下述引理。

定理AXZ的證明注意到Qp,0?Qp，我們只需要證明(I)?(II)。

令

易知φ(r)是r∈(0,1)的單調(diào)遞增函數(shù)，且有

由引理3，我們有

其中

根據(jù)定理1，有f∈Qp,0， 定理AXZ得證。

注記1：我們指出上述證明思想實際上已經(jīng)隱藏在文[3]中。