基于增廣動態(tài)相量法的變壓器勵磁涌流頻率自適應仿真

龔 振 劉承錫 姚良忠 楊 波 莊 俊 黃曉輝

基于增廣動態(tài)相量法的變壓器勵磁涌流頻率自適應仿真

龔 振1劉承錫1姚良忠1楊 波2莊 俊2黃曉輝3

（1. 武漢大學電氣與自動化學院 武漢 430072 2. 中國電力科學研究院 南京 210003 3. 南京赫曦電氣有限公司 南京 210008）

電磁暫態(tài)仿真中，減小仿真步長可有效抑制非線性變壓器仿真過沖失真問題，但大容量變壓器的勵磁涌流過程往往衰減緩慢，勢必會造成仿真效率低，使得仿真時間明顯增加。該文建立了一種含有非線性勵磁支路的大容量變壓器動態(tài)相量多尺度電磁暫態(tài)模型，并提出一種動態(tài)相量磁鏈預測方法，通過不同仿真步長對磁鏈和電流進行精準預測和仿真，解決了分段線性化在大步長下出現(xiàn)的過沖失真問題，實現(xiàn)了勵磁涌流寬頻特征下依舊可以在不犧牲較多諧波的情況下采用大步長仿真的功能。當勵磁涌流剛發(fā)生時，磁鏈動態(tài)相量變化較大，利用較小仿真步長對磁鏈進行預測，從而根據(jù)電流-磁鏈曲線擬合關系求得勵磁涌流；當檢測到磁鏈頻譜集中在工頻附近時，磁鏈的動態(tài)相量形式將保持恒定，采用大仿真步長預測磁鏈，從而根據(jù)電流-磁鏈關系求得準確的勵磁電流，在采用大步長的同時解決了過沖失真問題，增加了仿真的計算效率。最后的仿真結果驗證了該文提出的變壓器模型及動態(tài)相量預測法的正確性和有效性。

動態(tài)相量預測法 勵磁涌流 非線性 過沖現(xiàn)象

0 引言

因電磁暫態(tài)仿真能有效呈現(xiàn)電力系統(tǒng)高頻暫態(tài)特性，是分析電力系統(tǒng)動態(tài)特性的最有效的工具[1-2]。大型電力變壓器具有成本高、需連續(xù)運行的特點，一般不適用于高成本的物理模擬，采用電磁暫態(tài)數(shù)字仿真呈現(xiàn)變壓器非線性特性一直是公認有效的方法。而隨著大規(guī)模交直流輸電系統(tǒng)的發(fā)展，直流輸電系統(tǒng)一極投入運行時，換流變壓器會出現(xiàn)空載合閘現(xiàn)象，以及另一極變壓器出現(xiàn)和應涌流，直流輸電系統(tǒng)可能導致主網(wǎng)交流變壓器出現(xiàn)嚴重飽和，從而引發(fā)勵磁涌流，使得高頻諧波饋入系統(tǒng)，有可能導致諧波保護誤動作[3-7]。變壓器鐵心具有飽和特性，因此變壓器電磁暫態(tài)仿真模型中含有非線性電感元件。文獻[8]提出基于變壓器J-A磁滯模型的高效電磁暫態(tài)模型，分析了不同仿真步長下J-A模型方程的數(shù)值特性，采用多速率仿真方法，使得仿真效率提高了1.6倍。分段線性化方法因為其簡單實用的特點成為被廣泛采用的非線性建模仿真方法，然而該方法在數(shù)值計算中采用較大步長容易造成過沖，從而引起失真現(xiàn)象。文獻[9-12]分析了分段線性化變壓器飽和特性，但是沒有討論如何避免采用大步長時分段線性化過沖失真問題。文獻[13]建立了含有非線性勵磁支路的變壓器仿真模型，利用預測校正法來抑制過沖，使得仿真步長從1μs增大至50μs，但是否適用于更大的仿真步長并未討論。文獻[14-16]分析了考慮多重電力電子開關器件動作的數(shù)值振蕩問題，提出基于后退歐拉法的電磁暫態(tài)仿真方法，通過計算步長的插值倒退，可以有效抑制振蕩問題，但是隨著倒退步驟的增多，仿真效率相比傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真并未得到較大提升。

近幾年，基于移頻理論的自適應步長仿真方法得到廣泛關注。為加快仿真速度，文獻[17-28]分別從動態(tài)相量法、移頻法、自適應移頻法對電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真進行改善，使得仿真步長可擴大至ms級，大大提高了仿真效率。移頻理論和自適應移頻理論由J. Marti[25-26]和K. Strunz[28]提出，其主要思想是對傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真所得實數(shù)瞬時值信號求取其解析信號，并對解析信號的頻譜移動一個工頻的固定頻率，因此在移頻后原始信號的頻譜大大降低，從而根據(jù)香農(nóng)采樣定理可以采用大步長仿真。而這些文獻中，變壓器模型僅采用傳統(tǒng)的理想變壓器模型，忽略了對變壓器非線性部分的建模，且其基于希爾伯特變換的移頻方法因其線性變換特點無法處理非線性問題[29]，本文所用方法可以有效解決此問題。

本文提出一種變壓器非線性多尺度建模方法，能夠在較大時間步長仿真情況下準確刻畫勵磁涌流非線性特征。提出了一種基于動態(tài)相量的預測法以對發(fā)生勵磁涌流時的磁鏈進行準確預測，既能采用毫秒級大步長仿真，又能避免分段線性化過沖失真現(xiàn)象，從而保證了仿真的高效性和準確性。本文研究思路為：以傳統(tǒng)電流源的方法進行變壓器非線性鐵心建模，采用包含所有諧波成分的增廣動態(tài)相量推導出線性電感伴隨模型。電流源的求取，首先采用代表0、1、2、3次諧波的磁鏈動態(tài)相量對磁鏈進行預測，根據(jù)動態(tài)相量的慢變特性，可以采用較大步長進行準確預測，從而根據(jù)流過鐵心的電流與磁鏈的曲線擬合關系求出勵磁電流。所以本文方法可以解決勵磁涌流寬頻情況下，在損失較少諧波成分的同時采用大步長仿真的難題。

1 分段線性化模型“過沖”現(xiàn)象

分段線性化作為傳統(tǒng)處理非線性仿真的方法具有簡單實用、計算量小的特點，但是如果采用較大仿真步長則容易產(chǎn)生過沖引起失真。磁鏈-電流關系滿足非線性特征，非線性磁化勵磁曲線如圖1a所示。過沖是指當采用較大仿真步長時，磁鏈采用線性化求取時與真實值出現(xiàn)較大偏差，如圖1b中的虛線所示。避免過沖問題的辦法為減小仿真步長，使得c點無限接近x點，但卻大大降低了仿真效率。因此，大步長情況下準確預測出磁鏈對避免過沖問題起到至關重要的作用。同時，采用對實數(shù)信號的梯形積分法在實現(xiàn)二階精度和效率方面占有優(yōu)勢，但是實數(shù)信號相較于復數(shù)域的動態(tài)相量始終為快變信號，而動態(tài)相量的慢變特點則可以有效提升仿真效率。于是本文采用動態(tài)相量法進行磁鏈預測。

2 動態(tài)相量仿真及預測

本文對非線性電感鐵心和漏感等變壓器元器件進行增廣動態(tài)相量建模，將非線性部分等效為電流源并聯(lián)在變壓器低壓側(cè)。所以變壓器模型分為線性電感建模和電流源建模。首先對線性電感（漏感）利用增廣動態(tài)相量建模，其機理表述如下。

2.1 增廣動態(tài)相量

該方法所得相量包含所有諧波分量和直流分量?？紤]一個實值周期函數(shù)，它用一系列表示不同頻率、具有不同振幅和相位差的無窮多個正弦波的和表示。時域波形()的傅里葉級數(shù)表示[17-21]為

式中，()和()為任意兩個實數(shù)信號。然而，式（3）只描述了階諧波的微分變換，針對包含多次諧波的信號，采用式（1）會很大程度地增加計算量，且無法包括所有頻次的諧波，從而造成失真。本文采用增廣動態(tài)相量法解決此問題。

對于在一個滑動時間窗(-,]內(nèi)的原始信號()，可以表示為以基頻為基底的形式[32]，即

式中，1和1分別為基頻分量的幅值和相位。除了基頻以外，還包括以基頻為基底的所有諧波分量和直流分量，這里記作r()，即

r()與基頻動態(tài)相量的和就是本文所求的增廣動態(tài)相量，可以表征原始信號穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)的所有信息。

基于增廣動態(tài)相量，給出變壓器基本電氣元件線性電感的增廣動態(tài)相量伴隨離散表達式，其微分方程為

因此基于式（3），線性電感的增廣動態(tài)相量表達式可推導為

對式（8）利用梯形積分法離散化得

式中，Ihist為歷史電流源。式（8）和式（9）對應的伴隨模型如圖2所示。

2.2 非線性電感建模

對于鐵心飽和的非線性特性建模，需要準確預測每更新一個時間步長對應的磁鏈大小，從而根據(jù)電流-磁鏈關系得到對應勵磁電流，建立電流源模型。相比非線性電感來表征飽和特性，電流源模型可以簡化系統(tǒng)結構，提高仿真效率。本文擬在電流源模型的基礎上進行改進。

變壓器勵磁涌流-磁鏈關系如圖3所示，其中M表示膝點磁鏈，通常通過開路試驗確定其軌跡。

圖3 磁化特性曲線

傳統(tǒng)的方法是利用額定激勵來獲取數(shù)據(jù)，額外的點需要用分段線性外推技術來表征和預測，而現(xiàn)在普遍更傾向于采用精度更高的曲線擬合法[33-39]。所以，本文采用的曲線擬合方程[33]為

式中，M為膝點電壓。

2.3 動態(tài)相量預測法

當考慮變壓器飽和非線性時，電氣信號不再是工頻窄帶信號，而是具有寬頻特征，特別是對于勵磁涌流，包含的諧波含量相較于磁鏈更為明顯，因此對電流進行動態(tài)相量轉(zhuǎn)換變?yōu)槁冃盘枙沟弥C波次數(shù)較大，使得計算復雜化。而磁鏈在變壓器飽和時候的變化主要包含非周期分量，相較于勵磁涌流的寬頻特征，磁鏈（磁通）主要包含直流分量和基頻分量[36]，即

式中，為電壓合閘角；=+；m為變壓器的穩(wěn)態(tài)磁通幅值；p為變壓器的偏磁，p=mcos+res，res為變壓器的剩磁。

在勵磁涌流期間，本文采用動態(tài)相量預測的方法，利用較大步長準確預測每個仿真步長下的磁鏈，原理如下：因為磁鏈-電流滿足曲線擬合關系，由上一步仿真步長下的磁鏈預測出仿真步長更新一步后的磁鏈，則可以求出對應勵磁電流。雖然磁鏈在變壓器飽和時含有大量的直流分量和基頻分量，為保證精確性，本文選用0、1、2、3次諧波的動態(tài)相量表示磁鏈如式（13）所示，采用動態(tài)相量預測如式（13）～式（16）和圖4所示，圖中歷史磁鏈分量對應式（13）的動態(tài)相量磁鏈表達式。

式中，上標“～”表示預測值。

歷史磁鏈動態(tài)相量求取方法說明如下：鐵心磁鏈與其兩端的電壓滿足

式（17）在動態(tài)相量域可表示為

式中，=0, 1, 2, 3，分別代表磁鏈的直流分量、基頻分量、2次諧波、3次諧波分量；s=2π/，=0.02s。

對式（18）進行梯形積分離散化得

在假定已知飽和鐵心兩端電壓的基礎上，根據(jù)式（19）可得各倍頻下的歷史磁鏈動態(tài)相量值。

3 非線性變壓器增廣動態(tài)相量模型

傳統(tǒng)變壓器電磁暫態(tài)仿真，需要對電壓電流瞬時值進行差分，因此小步長仿真成為必要條件。而基于增廣動態(tài)相量的差分模型，因為采用如式（2）所示的平均化思想，所以可以實現(xiàn)大步長仿真，結合磁鏈的有效預測，亦可避免過沖現(xiàn)象。針對不同勵磁涌流過程，本文采用不同的仿真步長，勵磁涌流不同階段仿真步長設置見表1。

表1 勵磁涌流不同階段仿真步長設置

Tab.1 Setting of time step size of diverse inrush current stage

首先對理想變壓器建模進行說明。單相非線性變壓器如圖5所示，變壓器一次側(cè)相對于二次側(cè)的電壓比為，其中不包含低壓側(cè)并聯(lián)的電流源，表達式為

式中，YL為式（9）中線性電感等效導納值。考慮飽和的變壓器模型，可以在低壓側(cè)并聯(lián)一個電流源。

該模型表達為矩陣形式有

4 變壓器多尺度仿真方法流程

本文采用增廣動態(tài)相量法對變壓器元件建模，并根據(jù)磁鏈頻譜特性采用不同的仿真步長進行動態(tài)相量預測，整體計算流程如圖6所示。

在未發(fā)生勵磁涌流的穩(wěn)態(tài)期間，可采用2ms大步長仿真，發(fā)生勵磁涌流后分為兩個階段：初期和衰減期，分別采用較小步長500μs和大步長2ms仿真。詳細流程如下。

圖6 變壓器多尺度仿真方法流程

（1）算例數(shù)據(jù)錄入，形成增廣動態(tài)相量域下的變壓器節(jié)點導納矩陣T如式（21）所示。

（2）采用遞歸離散傅里葉變換（Recursive Discrete Fourier Transform, RDFT）[37]對一個周波（即0.02s）滑窗內(nèi)的線路電流頻率進行持續(xù)在線檢測，判別是否發(fā)生勵磁涌流，通常采用在線檢測二倍頻諧波分量和基波的比值來判定是否發(fā)生勵磁涌流[38]。若當前時刻未發(fā)生勵磁涌流或者涌流消失，則執(zhí)行步驟（3）；否則跳轉(zhuǎn)到步驟（4）。

（3）采用大步長2ms的動態(tài)相量預測法對磁鏈進行準確預測，從而利用曲線擬合式（10）得出對應勵磁涌流，進而跳轉(zhuǎn)到步驟（6）。

（4）采用RDFT對一個周波（即0.02s）滑窗內(nèi)的變壓器磁鏈中心頻率進行持續(xù)在線監(jiān)測。若遠離工頻頻率50Hz，如偏移量大于或等于10Hz，則進行步驟（5）；否跳轉(zhuǎn)至步驟（3）。

（5）采用較小步長500μs的動態(tài)相量預測式（16）對磁鏈進行準確預測，從而利用曲線擬合式（10）得出對應勵磁涌流。

（6）根據(jù)勵磁涌流，獲取歷史電流源矩陣hTn，從而根據(jù)式（23）求取變壓器電氣量。

（7）時間更新一個步長，若小于總時長，則跳轉(zhuǎn)到步驟（2）；否則仿真結束。

5 仿真對比驗證

5.1 仿真驗證

本節(jié)對圖7所示變壓器進行空載合閘仿真，設置開關斷開，開關在0.13s時合閘，本算例中三相短路未設置發(fā)生。電路參數(shù)見表2。仿真工具采用Matlab編程實現(xiàn)。變壓器二次側(cè)接一個簡單電阻來模擬二次側(cè)經(jīng)輸電線路和負載接地，電阻值采用PSCAD 官網(wǎng)模型。

圖7 變壓器勵磁涌流電路

表2 變壓器勵磁涌流電路參數(shù)

Tab.2 Parameters of transformer inrush current circuit

對該電路所有電氣元件進行增廣動態(tài)相量建模仿真。磁鏈預測采用=0、1、2、3階動態(tài)相量的動態(tài)相量預測法，仿真步長取500μs和2ms。勵磁涌流判定發(fā)生時，采用小仿真步長500μs的動態(tài)相量預測法對磁鏈進行預測，當磁鏈頻譜中心頻率c接近工頻后，勵磁涌流衰減速度變緩，可采用2ms大步長對勵磁電流進行預測。

為了驗證磁鏈動態(tài)相量預測法的有效性，首先對磁鏈的各次諧波動態(tài)相量仿真展示如下。對空載合閘系統(tǒng)進行0～2s的仿真如圖8所示，各次諧波的動態(tài)相量在勵磁涌流發(fā)生時依舊是一個慢變信號，基于此，可以說明式（14）、式（15）在勵磁涌流初始時刻選擇Δ=500μs，磁鏈衰減過程中Δ=2ms時能滿足預測精度。

圖8 空載合閘期間磁鏈各次諧波動態(tài)相量

將預測的動態(tài)相量代入式（16），可得預測磁鏈如圖9所示，其中0～1.8s選擇采用小步長500μs預測仿真，1.8～2s選擇大步長2ms進行仿真，并和1μs仿真步長波形進行了對比。圖10和圖11分別為圖9在0～0.55s和1.8～2s的放大圖。證明了所提預測算法在較大步長（500μs和2ms）仿真下的準確性，相較于傳統(tǒng)采用1μs的電磁暫態(tài)仿真，仿真步長分別提高了500倍和2 000倍。另外，圖11加入了線性外推法[37]和本文所提預測算法作對比，在2ms的仿真步長下，本文預測算法具有更高的預測精度，磁鏈預測精度對比見表3。

圖9 仿真步長為500μs和2ms的增廣動態(tài)相量磁鏈預測

圖10 仿真步長為500μs的磁鏈預測放大圖

圖11 仿真步長為2ms的磁鏈預測放大圖

表3 磁鏈預測精度對比

Tab.3 Comparison of flux linkage prediction accuracy

為了說明本文預測算法在加大仿真步長后的精度，選取2ms大步長仿真對整個勵磁涌流發(fā)生到結束進行仿真，查看本算法在大步長下的精度。對圖7所示變壓器進行外部故障恢復性勵磁涌流仿真，設置變壓器于2.5s時刻在二次側(cè)發(fā)生三相短路，故障持續(xù)0.05s后消除。圖12和圖13分別為空載合閘勵磁涌流和恢復性勵磁涌流發(fā)生時段內(nèi)，2ms步長下的預測磁鏈和參考磁鏈的比較，可以看到，如果在犧牲一定精度的情況下，即使在勵磁涌流發(fā)生初始時刻，本文所提動態(tài)相量預測法依舊可以在2ms仿真步長下較為準確地預估磁鏈。當采用更小的仿真步長，例如500μs時，則預測得更為準確，如圖10所示。同時，由圖12、圖13所示，預測磁鏈和參考磁鏈之間產(chǎn)生了較小延時，原因為：磁鏈被表示為0、1、2、3次諧波的動態(tài)相量形式，相比實時信號具有慢變特點。所以在穩(wěn)態(tài)時，采用式（14）、式（15）對磁鏈動態(tài)相量進行預測。當穩(wěn)態(tài)或者趨近穩(wěn)態(tài)時，即磁鏈頻譜中心距離基頻10Hz以內(nèi)時，磁鏈動態(tài)相量為平穩(wěn)的直線如圖8所示。采用式（14）、式（15）進行預測則不會產(chǎn)生時延。但是在勵磁涌流發(fā)生初始時段內(nèi)，即磁鏈頻譜中心距離基頻10Hz以外，對應圖8中0.13～0.2s時間段內(nèi)，四個相量變化較為明顯，如果此時采用式（14）、式（15）進行磁鏈預測，Δ選為大步長2ms，則式（14）、式（15）的約等關系不再成立，所以用該方法的預測就會產(chǎn)生時延。根據(jù)磁鏈-電流關系，磁鏈的延時會導致勵磁涌流的延時，從而對涌流仿真結果造成影響，但是因為預測磁鏈的幅值最大值并沒有超過參考磁鏈，所以勵磁涌流也不會發(fā)生過沖，從而能較好地對涌流最大值進行較為準確的仿真。然而如果采用本文算法流程，在勵磁涌流暫態(tài)時段，即磁鏈頻譜中心偏移量大于10Hz采用較小步長，則可以消除延時，獲取更精確的勵磁涌流。

圖12 2ms仿真步長空載合閘時刻磁鏈預測示意圖

圖13 恢復性勵磁涌流時刻磁鏈預測示意圖

圖14和圖15分別為采用500μs和2ms的仿真步長計算得出的勵磁涌流并和1μs仿真步長標準勵磁涌流之間的對比。經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，誤差最大約為2.5%，在允許范圍之內(nèi)，勵磁涌流預測精度對比見表4。這大大提高了勵磁涌流的仿真效率，同時也避免了勵磁涌流過沖的問題。對于大型變壓器，勵磁涌流衰減時間往往達到幾十秒[36]，采用本文所提方法可有效提高仿真效率。

圖14 仿真步長為500μs的勵磁涌流對比

圖15 仿真步長為2ms的勵磁涌流

表4 勵磁涌流預測精度對比

Tab.4 Comparison of inrush current prediction accuracy

5.2 仿真誤差分析

本文對勵磁涌流進行大步長仿真，采用不同的仿真方法引入兩類不同的誤差，即分段線性化引入的誤差和采用電流-磁鏈擬合曲線的電流源法引入的誤差。后者通過對磁鏈進行準確預測，繼而通過已有的電流-磁鏈擬合公式對勵磁涌流進行仿真，這其中對磁鏈在較大仿真步長下的預測成為勵磁涌流仿真誤差的主要來源。關于不同方法導致的仿真誤差分類如圖16所示。分段線性化的過沖原理在第1節(jié)做了簡要介紹，其在大步長仿真下引入的誤差較大，在5.3節(jié)對比了分段線性化和本文算法的過沖百分比。電流源法中的兩類磁鏈預測法為線性外推法和動態(tài)相量預測法，實現(xiàn)的功能皆為對磁鏈進行預測，而線性外推在仿真步長較大（2ms）時預測精度相較于本文所提動態(tài)相量預測變差，如圖11所示。圖11中的誤差是由于仿真過程中沒有得到正確的磁鏈而產(chǎn)生的誤差，電流-磁鏈曲線采用2.1節(jié)中的曲線擬合方程如式（10）所示，當磁鏈m得到準確預測，代入式（10）中，即可得到準確的勵磁涌流m。電流-磁鏈曲線通過工程試驗擬合所得，線性外推和動態(tài)相量預測所得磁鏈m都將代入式（10）得到勵磁涌流m，誤差僅來源于磁鏈是否準確預測。在穩(wěn)態(tài)時，動態(tài)相量表示下的磁鏈為平穩(wěn)的正弦信號包絡線，而作為對比的線性外推法并沒有基于動態(tài)相量模型，而是正弦磁鏈形態(tài)，采用線性外推在大步長下誤差則會增大。線性外推預測磁鏈誤差分析可參考文獻[37]。在暫態(tài)時，當采用較小仿真步長，動態(tài)相量表示的包絡線始終比原始正弦信號變化較慢，基于本文所提動態(tài)相量預測的方法可在較大仿真步長（500μs）下比基于快變瞬時信號的線性外推預測精度更高。

圖16 勵磁涌流仿真誤差來源分類

暫態(tài)仿真中的誤差采用差值方均根進行計算，即

式中，為一個工頻周期內(nèi)的采樣點數(shù)量；1,j和2,j分別為仿真勵磁涌流和參考勵磁涌流第個采樣值，從1～進行差值方均根計算。式（27）也可用于磁鏈誤差計算。

5.3 仿真對比

本節(jié)針對現(xiàn)有過沖抑制方法——插值后退法進行介紹，并與本文所提算法在計算精度和計算耗時上進行對比。插值后退仿真過程如圖17所示，其中n1、n2為飽和區(qū)到退飽和區(qū)的時間點。

圖17 插值后退仿真過程

在一個仿真步長中，當遇到兩次變壓器飽和，則需要進行6步插值后退，如圖17所示，從而避免發(fā)生像圖1所示的過沖現(xiàn)象。插值后退法通過計算仿真步長的插值倒退，即圖17中的第2步和第5步，則可以大幅減小或者完全抑制過沖問題。插值后退法在仿真精度方面幾乎可達到100%，對0～0.4s內(nèi)變壓器空載合閘期間發(fā)生勵磁涌流采用插值后退仿真如圖18所示，與本文算法仿真對比如圖19所示，可見該方法的確可實現(xiàn)較高精度，雖然相比插值后退有一定的誤差，但是誤差在接受范圍內(nèi)。本文算法的優(yōu)勢是計算速度大為提高，是插值后退的50倍以上。

圖18 500μs插值后退仿真

圖19 500μs步長下插值后退與本文算法對比

然而，由圖17可看出，相比本文采用的電流源建模非線性部分，該方法基于分段線性化電感伴隨模型，首先引入的分段線性化電感模型在每次發(fā)生飽和后電感值發(fā)生改變，系統(tǒng)結構隨即發(fā)生改變，需要重新計算一次節(jié)點導納矩陣。然而當檢測到計算出來的電流從飽和區(qū)過渡到非飽和區(qū)，則需要重新形成新的伴隨積分公式來代替原始的電感差分伴隨模型，反映到圖17中則為第2步的回退過程，使得整個系統(tǒng)的節(jié)點導納矩陣在發(fā)生變壓器飽和時又需要重新計算一次。當非線性設備較多，則大大增加計算量。目前流行的兩種勵磁涌流仿真方法和本文方法在精度和耗時方面的對比見表5。參考算例為用PSCAD搭建的空載合閘勵磁涌流波形，仿真步長設置為1μs以保證準確性。由表5可看出，相比插值后退法，本文方法雖然在精度上稍有下降，但是計算效率大大增加。其中

如果設置分段線性化和插值后退的步長為500μs，本文算法采用500μs、2ms的變步長仿真，對比過沖百分比，發(fā)現(xiàn)分段線性化在采用大步長后過沖值超過額定值的5倍左右，而插值后退和本文算法的理論過沖值約為額定值的2%左右，本文算法的過沖百分比相較于插值后退法略高2.1%和0.6%，但是計算耗時卻比插值后退法快了73倍和146倍，精度也在允許范圍內(nèi)。隨著變壓器衰減時間常數(shù)增大，本文算法則更加準確。

表5 變壓器勵磁涌流仿真方法對比

Tab.5 Inrush current simulation comparison

另外，如果對比三種算法在暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)下的步長優(yōu)勢，表5中精度和過沖百分比分別設置了暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)情況下三種算法的對比情況。暫態(tài)過程指磁鏈頻譜中心距離基頻10Hz以上的動態(tài)，穩(wěn)態(tài)過程指中心頻率偏移量在10Hz以內(nèi)。對比發(fā)現(xiàn)，分段線性化在暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)時，采用500μs仿真步長均發(fā)生嚴重過沖。插值后退法相比本文算法，在暫態(tài)過程中，本文算法仿真速度是插值后退法的89.59倍，但是過沖百分比高了2.5%，可以接受。穩(wěn)態(tài)過程中，本文算法仿真速度是插值后退法的52.3倍，且過沖百分比相較后退法低了0.8%。綜合來看，本文算法在提高仿真效率方面更為出色。

同時，表5考慮了涌流大小和衰減快慢對仿真的影響，其中衰減時間對分段線性化方法的計算耗時的影響最為明顯，仿真選用了衰減時間常數(shù)為1s和15s的例子進行對比，發(fā)現(xiàn)三種算法的耗時均有所下降，但是本文所提算法的計算耗時依舊是最低的，比插值后退法快了73倍和146倍，涌流衰減時間越久，本文算法耗時越短，且仿真精度越高。

6 結論

針對變壓器飽和進行線性化中的過沖現(xiàn)象和仿真效率低下的問題，本文提出動態(tài)相量預測法，有效避免了過沖現(xiàn)象。所得結論如下：

1）與傳統(tǒng)動態(tài)相量法相比，本文所用增廣動態(tài)相量包含了所有諧波分量和非周期分量，保證了仿真精度。同時，當考慮變壓器飽和非線性時，電氣信號不再是一個工頻窄帶信號，相比于包含較多諧波量的勵磁電流，磁鏈包含的諧波量較少，勵磁涌流發(fā)生時刻，利用動態(tài)相量預測法，采用較小仿真步長（例如500μs）對磁鏈進行準確預測；而信號趨近于工頻窄帶附近時，磁鏈動態(tài)相量為慢變信號，則可自適應采用較大仿真步長（例如2ms）進行預測。最后可以根據(jù)磁鏈-電流關系求出勵磁涌流，大大提高了效率，繼而解決了寬頻電流信號仿真依舊可以采用大步長且諧波損失較少的問題。

2）所采用的動態(tài)相量預測法相比線性外推法，能更精確有效地在勵磁涌流發(fā)生時預測磁鏈。本方法可有效避免采用線性化求取勵磁磁鏈的方法所帶來的過沖問題。

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Frequency Adaptive Simulation of Transformer Inrush Current Based on the Augmented Dynamic Phasor Method

Gong Zhen1Liu Chengxi1Yao Liangzhong1Yang Bo2Zhuang Jun2Huang Xiaohui3

（1. School of Electrical Engineering and Automation Wuhan University Wuhan 430027 China 2. China Electric Power Research Institute Nanjing 210003 China 3. Nanjing Hexi Electric Co. Ltd Nanjing 210008 China）

The overshoot problem can be avoided by adopting small time step in electromagnetic simulations, and the inrush current of a large capacity transformer usually decays very slowly which will certainly results in low simulation efficiency. In this paper, an augmented dynamic phasor multi-timescale electromagnetic transient model was established for large-capacity transformer with nonlinear excitation branch, and a dynamic phasor flux prediction method was utilized. The current can be accurately predicted and simulated, which solves the overshoot problem of piecewise linearization under large time steps, and large time steps can be adopted without sacrificing more current harmonic components. When the inrush current occurred, a small-time step was adopted to predict the flux linkage, then magnetizing inrush current was obtained by current-flux curve fitting function. When the flux linkage spectrum was detected concentrated near the fundamental frequency, the flux linkage waveform will maintain its sinusoidal characteristics then a large time step can be adopted without sacrifice of simulation accuracy. In this way, the accurate inrush current was simulated utilizing current-flux curve fitting function, and the overshoot problem was solved using large step size to accelerate the simulation speed. Finally, the simulation results verified the correctness of the proposed transformer model and dynamic phasor prediction method.

Dynamic phasor prediction method, inrush current, nonlinear, overshoot

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211076

TM743

國家自然科學基金資助項目（52007133）。

2021-07-12

2022-01-14

龔 振 男，1993年生，博士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)多尺度仿真計算、新型電力系統(tǒng)穩(wěn)定與控制。E-mail：gongzhen@whu.edu.cn

劉承錫 男，1985年生，教授，博士生導師，研究方向為電力系統(tǒng)仿真計算、電力系統(tǒng)穩(wěn)定與控制。E-mail：liuchengxi@whu.edu.cn（通信作者）

（編輯 赫蕾）