面向票價票額綜合優(yōu)化的高速鐵路客票分類定價策略

胡心磊，史 峰，秦 進

(中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075)

中國已經(jīng)擁有世界上最大的高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)網(wǎng)絡，但整體運營效益水平仍存在較大提升空間?？推倍▋r和票額分配決策都是影響高鐵運輸企業(yè)收益的重要因素，兩者相互制約又相互影響，密不可分。既有研究更多地集中于單一的客票定價問題或票額分配問題，兩者綜合優(yōu)化的研究相對較少，尤其因為問題的高度復雜性，高鐵網(wǎng)絡的客票定價和票額分配綜合優(yōu)化研究更為少見。

Hetrakul等[1]利用潛類別模型描述旅客的選擇行為，首次提出鐵路票價和票額分配問題的綜合優(yōu)化模型并設計相應的求解算法，該研究未考慮多列車服務同一OD對的情形。Lin[2]針對高鐵票價和票額分配的綜合優(yōu)化問題構(gòu)建雙層規(guī)劃模型，但未給出求解算法和算例分析。在僅考慮單列車運行的前提下，宋文波等[3]提出隨機需求下的高鐵動態(tài)定價與票額分配綜合優(yōu)化模型。對于多列車服務同一OD對的情形，趙翔等[4]、秦進等[5]和鄧連波等[6]提出考慮旅客選擇行為的高鐵動態(tài)定價和票額分配綜合優(yōu)化方法，其差異主要體現(xiàn)在旅客出行需求的描述方式、票價的約束條件和票額分配決策變量的形式等方面。趙翔等[7]還將多種交通方式競爭的情形融入高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化的研究中。既有鐵路客票定價和票額分配綜合優(yōu)化研究大多數(shù)僅能解決單列車或者幾列車的問題，無法解決大規(guī)模問題，與實際應用存在一定差距。

融合差異化定價策略和多階段定價策略，Hu等[8]構(gòu)建面向高鐵網(wǎng)絡的客票定價和席位綜合優(yōu)化模型，設計適應大規(guī)模問題的求解算法。由于列車開行數(shù)量多且單列車服務的OD對數(shù)量大，文獻[8]提出的方法仍存在求解時間較長的缺陷。本文在文獻[8]的基礎上進行以下幾方面拓展：①提出分類定價策略，對服務相同OD對的同類列車設置相同票價以降低變量規(guī)模；②基于歷史購票曲線，考慮各列車旅行時間，設計服務同一OD對列車的聚類算法；③按列定價拓展為按類定價，構(gòu)建高鐵客票分類定價和票額分配綜合優(yōu)化模型并設計求解算法。將分類定價策略引入高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化方法，不僅可以彌補現(xiàn)有方法不適用于網(wǎng)絡級問題的不足，還能為我國高鐵網(wǎng)絡市場化運營提供決策依據(jù)。

1 問題描述

1.1 高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化問題

高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化問題可以描述為：對于給定的高鐵網(wǎng)絡，已知高鐵列車運行圖和旅客出行需求函數(shù)，在科學合理劃分預售期的基礎上，考慮列車定員、票價上限和下限的嚴格約束，求解服務各OD對的各列車在不同預售階段的最優(yōu)票價和相應的最優(yōu)票額分配數(shù)量。問題的基本假設如下：

①僅考慮單一的列車席別。

②高鐵旅客在預售期內(nèi)的不同階段對票價的敏感程度不同。

③考慮旅客在預售期的不同階段對票價敏感程度的差異性，將預售期按照不同的OD對劃分為數(shù)量不同且長短不一的預售階段。

既有文獻劃分預售期時，一般考慮時間和售票量兩個維度。常見的劃分方式主要有兩種[9-10]：①將預售期劃分為等時間長度的若干階段；②將預售期劃分為時間長度不同的若干個階段，但每個階段的售票量相等。在實際售票過程中，等時間長度的劃分方式方便操作，每隔一段時間對票價和票額分配數(shù)量做相應調(diào)整即可，但存在的缺陷是，一旦實際購票量與估計值產(chǎn)生較大偏差時，無法對價格和席位進行準確控制。等售票量劃分是一種相對理想的劃分方式，每個階段的售票量固定，便于構(gòu)造需求函數(shù)。理論上可以精確控制各預售階段的票價和票額分配數(shù)量，但在實際售票過程中存在一定操作困難。

不同預售階段旅客對票價的敏感程度存在差異，采用價格彈性可以描述不同預售階段的旅客對票價敏感程度的差異性。一般而言，高鐵旅客出行需求的價格彈性隨著預售期的推移而減小，即在預售期內(nèi)，越臨近發(fā)車日，旅客對票價越不敏感。

1.2 列車聚類和分類定價策略

法國國營鐵路公司和英國國家鐵路公司等在進行高鐵票價差異化定價決策時，對于服務相同OD對的列車，并未采用“一車一價”的定價策略，而是對具有類似屬性的列車設置相同的價格，即 “一類一價”。本文將服務相同OD對的列車按類別定價的方法定義為分類定價策略。列車分類定價策略不僅具有廣泛的運營實踐基礎，還可以減少優(yōu)化問題中票價決策變量數(shù)量，從而有效降低計算規(guī)模。列車聚類問題，即如何將服務相同OD對的列車科學合理地劃分為若干類，使得分類方案適用于高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化問題，是實現(xiàn)分類定價策略的基礎。

引入分類定價策略，則高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化問題可以拓展為高鐵客票分類定價和票額分配綜合優(yōu)化問題，具體表述為：對于給定的高鐵網(wǎng)絡，已知高鐵列車運行圖和旅客出行需求函數(shù)，在科學分類列車和合理劃分預售期的基礎上，考慮列車定員、票價上限和下限的嚴格約束，在分類定價策略下，求解服務各OD對的各類高鐵列車在不同預售階段的最優(yōu)票價和相應的最優(yōu)票額分配數(shù)量。

2 基于購票曲線的列車聚類方法

引入分類定價策略，則高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化問題可以拓展為高鐵客票分類定價和票額分配綜合優(yōu)化問題，具體表述為：對于給定的高鐵網(wǎng)絡，已知高鐵列車運行圖和旅客出行需求函數(shù)，在科學分類列車和合理劃分預售期的基礎上，考慮列車定員、票價上限和下限的嚴格約束，在分類定價策略下，求解服務各OD對的各類高鐵列車在不同預售階段的最優(yōu)票價和相應的最優(yōu)票額分配數(shù)量。

對服務同一OD對的列車進行聚類，獲得服務該OD對列車的分類方案，是高鐵客票分類定價的基礎。本節(jié)綜合考慮購票曲線和列車運行時間，在定義列車與列車之間的“距離”的基礎上，設計服務同一OD對列車的聚類方法。

i,j為高鐵車站，Hij為服務OD對(i,j)的列車集合，對于列車h∈Hij，存在一條表示提前購票時間與累計售票量關系的曲線，記錄在預售期內(nèi)列車服務OD對(i,j)的逐日累計售票量，該曲線為購票曲線或預訂曲線。預訂曲線在民航運輸領域被用于分析和預測旅客提前預訂行為。對于服務相同OD對的高鐵列車，購票曲線相似的列車具有相似服務特征且對旅客的吸引力相近。

購票曲線見圖1，橫坐標為距列車發(fā)車日的時間，T為預售期天數(shù)，購票曲線共包含T+1個節(jié)點，橫坐標0為列車發(fā)車當日，T為預售期的第一天。購票曲線的縱坐標為截至相應預售日，列車h∈Hij在OD對(i,j)的累計售票量。需要說明的是，當一列車服務多個OD對時，不同OD對對應不同的購票曲線。

圖1 購票曲線示意圖

歐式距離的平方是評估兩條購票曲線相似度最為傳統(tǒng)且直觀的方法[11]。考慮到在購票曲線中，越臨近列車發(fā)車日的節(jié)點越接近最終的總售票量。高鐵列車a、b購票曲線的相似度指標s(a,b)為

(1)

綜合考慮購票曲線相似性和列車旅行時間，列車間的距離d(a,b)為

(2)

基于列車與列車之間“距離”的定義，利用全局k-means算法框架，設計基于購票曲線的高鐵列車聚類算法，具體步驟如下：

Step1輸入待聚類的列車h∈Hij，利用輪廓系數(shù)法確定最優(yōu)聚類數(shù)m。

3 分類定價策略在票價票額綜合優(yōu)化問題中的應用

利用第2節(jié)提出的列車聚類方法，將高鐵網(wǎng)絡中服務每個OD對的列車相應劃分為若干類，引入分類定價策略，對服務同一OD對的同類列車設置相同票價并優(yōu)化票額分配。本節(jié)以文獻[8]提出的模型和算法為基礎，應用列車聚類方法，構(gòu)建高鐵網(wǎng)絡客票分類定價和票額分配綜合優(yōu)化模型并進行算法優(yōu)化。與文獻[8]所提出的方法相比，應用列車聚類方法將列車票價變量合并，可以有效降低定價和票額分配綜合優(yōu)化問題中票價變量的規(guī)模，減少計算時間。

3.1 符號定義

符號及定義見表1。

表1 符號及定義

3.2 模型構(gòu)建

OD對(i,j)之間的高鐵旅客出行需求，可以描述為關于列車服務票價的函數(shù)[15]。根據(jù)各類列車的票價，可替代列車服務集{i,j,h|h∈Hij}在第kij個預售階段的加權(quán)平均票價為

(3)

在平均票價定義的基礎上，構(gòu)造第kij個預售階段的高鐵旅客彈性需求函數(shù)為

kij=1,2,…,Kij(i,j)∈W

(4)

考慮票價和旅行時間對旅客購票選擇行為的影響，利用多項式Logit模型，計算第kij個預售階段選擇高鐵列車服務i,j,h′的旅客人數(shù)為

kij=1,2,…,Kijh′∈Hij(i,j)∈W

(5)

基于上述高鐵旅客出行需求和購票選擇行為的定量描述，構(gòu)建高鐵客票分類定價和票額分配綜合優(yōu)化模型為

(6)

s.t.式(3)～式(5)

luh=1,2,…,nh-1h∈H

(7)

kij=1,2,…,Ki(h,u),j(h,v)1≤u

(8)

式中：P為模型的決策變量集合，P={pArkij|pArkij∈R+,kij=1,2,…,Kij,Ar∈Hij,(i,j)∈W}。

目標函數(shù)式(6)表示最大化總客票收入；式(7)是列車各個運行區(qū)間的能力約束；式(8)是票價的下限約束。與文獻[8]構(gòu)建的高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化模型(以下簡稱模型M1)相比，本文在列車聚類基礎上提出的高鐵客票分類定價和票額分配綜合優(yōu)化模型(以下簡稱模型M2)的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在以下幾方面：①模型M2決策變量從各列列車的票價phkij改進為各類列車票價pArkij，決策變量規(guī)模明顯降低；②保持了對列車在服務不同OD對時精確的席位控制，實現(xiàn)票價和票額分配的綜合優(yōu)化；③方便日常運營組織過程中票價的存儲與管理。

3.3 算法設計

本文沿用文獻[8]設計的求解算法框架，根據(jù)分類定價策略的特征調(diào)整算法，同時引入遞歸運算進一步提高算法的求解效率。求解算法主要步驟如下：

Step2引入松弛變量，將式(7)以懲罰函數(shù)的形式轉(zhuǎn)化到目標函數(shù)中，則原模型重構(gòu)為無約束非線性規(guī)劃問題。

Step3在Davidon-Fletcher-Powell算法基礎上，優(yōu)化迭代步長的計算，引入遞歸運算，求解最優(yōu)票價和票額分配數(shù)量。

求解算法的具體步驟參見文獻[8]，需要說明的是本文引入遞歸運算是為了減少目標函數(shù)的梯度的計算量。

4 算例分析

首先以服務單個OD對的列車為研究對象進行列車聚類，對基于購票曲線的高鐵列車聚類方法的有效性進行驗證，探究相關參數(shù)取值對聚類結(jié)果的影響。在此基礎上，構(gòu)造4列車服務3個OD對的小算例分析，高鐵客票分類定價和票額分配綜合優(yōu)化模型參數(shù)靈敏度，并與既有方法進行對比分析。最后通過大規(guī)模算例驗證本文所提出的分類定價策略在提高票價票額綜合優(yōu)化問題求解能力方面的作用和意義。

4.1 列車聚類算例分析

以京滬高鐵北京南—上海虹橋的36列車為研究對象。列車車次及其旅行時間見表2，由于停站方案的差異，列車旅行時間最短為288 min，最長為369 min。列車發(fā)車日為2016年12月1日，預售期為60 d，所有列車的購票曲線見圖2、圖3。

表2 京滬高速鐵路北京南—上海虹橋列車車次及旅行時間

圖2 北京南—上海虹橋高鐵列車購票曲線(Ⅰ)

圖3 北京南—上海虹橋高鐵列車購票曲線(Ⅱ)

對服務不同OD對的列車進行聚類時，式(2)中的參數(shù)γ取值不同，反映了不同乘距旅客對旅行時間敏感程度的差異。但是，對于給定的OD對，參數(shù)γ的取值同樣會影響列車聚類的結(jié)果。為此，本小節(jié)構(gòu)造3種情形，討論參數(shù)對聚類結(jié)果的影響。3組參數(shù)的取值情形分別為：①γ=100,m=3(由輪廓系數(shù)法確定的最優(yōu)聚類數(shù)量)；②γ=400,m=2(由輪廓系數(shù)法確定的最優(yōu)聚類數(shù)量)；③γ=400,m=3。利用基于購票曲線的高鐵列車聚類方法對36列車進行聚類，3種情形下的分類結(jié)果見表3。

表3 3種情形下的列車聚類結(jié)果

在情形①下，結(jié)合購票曲線可以發(fā)現(xiàn)，第Ⅰ類列車最終的總售票量最高，均在500張以上，且列車旅行時間較短，均在300 min以內(nèi)；第Ⅱ類列車較第Ⅰ類列車總售票量相對較低，為250～500張，旅行時間較第Ⅰ類列車更長，為295～310 min；第Ⅲ類列車的特征是旅行時間長且累計售票量低。從分類結(jié)果可以看出，3類列車在總售票量和旅行時間兩方面的特征明顯，說明本文提出的列車聚類方法能有效地將列車按照運行特征分類。

對比3種情形下的聚類結(jié)果可以看出，參數(shù)γ的取值會影響最優(yōu)聚類數(shù)；在聚類數(shù)相同的前提下，參數(shù)γ的取值影響具體的聚類結(jié)果。具體而言，當參數(shù)γ從100增加到400時(表示旅客對旅行時間的敏感程度提高)，最優(yōu)分類數(shù)從3類下降到2類；情形②下第Ⅰ類列車恰好是情形①下第Ⅰ和第Ⅱ類列車的并集；當聚類數(shù)均為3時(情形①和情形③)，兩種情形下的聚類結(jié)果存在顯著差異：情形①下第Ⅰ和第Ⅱ類列車的并集恰好是情形③下第Ⅰ類的全部列車，情形①下第Ⅲ類列車在情形③下被拆分成了2類。

4.2 分類定價策略應用算例分析

以中國高鐵網(wǎng)絡中的一個十字形子網(wǎng)絡為背景，對分類定價策略在票價票額綜合優(yōu)化問題中的應用進行算例分析，見圖4。十字形網(wǎng)絡共36個高鐵車站，連接了包括武漢、廣州、長沙、南昌和貴陽在內(nèi)的省會城市，所有區(qū)間均為雙線鐵路，最高運行速度為310 km/h。列車運行圖數(shù)據(jù)來源于2016年12月1日的時刻表信息，τ=30元/h。求解算法通過Matlab 2019b編程實現(xiàn)，并且在配置為Intel(R) Xeon(R) 3.70 GHz處理器，128 GB內(nèi)存，且基于Windows操作系統(tǒng)的工作站上完成計算。

圖4 中國高鐵網(wǎng)絡的十字形子網(wǎng)絡

4.2.1 小規(guī)模算例

表4 小規(guī)模算例模型參數(shù)

(9)

(1)模型參數(shù)靈敏度分析

由圖5可知，存在一個兩類列車的票價權(quán)重系數(shù)的組合使得兩類列車的最優(yōu)票價相等，此時兩類列車可以合并為一類列車并設置相同的票價。類似的，由圖6可知，同樣存在一個兩類列車的權(quán)重系數(shù)的組合使得兩類列車的最優(yōu)席位分配數(shù)量相等。需要說明的是，使得兩類列車最優(yōu)票價或最優(yōu)席位分配相等的權(quán)重組合并不相同。

圖5 兩類列車最優(yōu)票價

圖6 兩類列車最優(yōu)席位分配

除權(quán)重系數(shù)之外，列車定員、初始需求和彈性需求函數(shù)參數(shù)的設置對模型的優(yōu)化結(jié)果也會產(chǎn)生影響。列車定員體現(xiàn)運輸能力的供給，本文主要討論當某類列車中的單一列車定員的變化對其他列車的影響。當G1101次列車的定員發(fā)生變化時，兩類列車的最優(yōu)票價見圖7：當一類列車中某一列車的定員從0逐漸增加時，該類列車各個運行區(qū)段的票價顯著降低；當列車定員超過一定閾值后，兩類列車的票價收斂于定值。第1類列車和第2類列車的最優(yōu)席位分配見圖8、圖9，同類列車的最優(yōu)席位分配成比例，當?shù)?類列車中的某一列車定員較低時，不僅導致同類列車的最優(yōu)席位分配數(shù)量較低，也會導致第2類列車的最優(yōu)席位分配數(shù)量處于較低水平。結(jié)果表明，各類列車的定員配置應相當，不宜過高或者過低于同類列車，否則會導致同類和其他類列車的能力浪費。從整體來看，列車定員的配置應與需求水平相當，當運輸能力供給過高時必然會導致能力利用率較低。

圖7 兩類列車最優(yōu)票價

圖8 第1類列車最優(yōu)席位分配

圖9 第2類列車最優(yōu)席位分配

(2)收益提升和計算時間對比

模型M2在模型M1的基礎上引入列車分類定價策略。M2對同類列車設置相同價格，而M1對逐列列車單獨定價，在搜索最優(yōu)解時，M2無法像M1一樣通過精細地調(diào)節(jié)每列車的票價從而影響旅客需求和票額分配方案，最終達到總客票收入最大化的目標。

經(jīng)計算兩個模型的優(yōu)化結(jié)果和計算時間見表5。M1所獲得的最優(yōu)總客票收入是M2所獲得的最優(yōu)總客票收入的1.02倍。從結(jié)果中可以明顯看出利用M1對票價和票額進行優(yōu)化后各列車的客座率明顯高于M2。這是因為M2按照同類列車設置相同票價的原則進行定價，部分列車無法通過精細地票價調(diào)節(jié)使列車被充分利用，因此，M2在減小優(yōu)化計算時間的同時損失了一定的優(yōu)化空間。

表5 M1和M2優(yōu)化結(jié)果和計算時間

然而，M2所花費的計算時間僅為M1的45.83%。盡管利用M2對票價和票額進行優(yōu)化所獲得的客票收入相對較低，但M2通過減小問題規(guī)模，顯著縮短了求解時間。在實際應用過程中，引入分類定價策略，通過較小的客票收入損失換來更多的計算時間節(jié)省，對解決大規(guī)模高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化問題具有重要意義。

4.2.2 大規(guī)模算例

圖10 大規(guī)模算例的收斂曲線

大規(guī)模算例在M1和M2下的計算時間見表6，對比顯示，引入分類定價策略后，由于決策變量數(shù)的減少，單次迭代的計算時間顯著下降，盡管迭代次數(shù)增加，但總計算時間大大縮短。結(jié)果表明，針對大規(guī)?？推倍▋r和票額分配綜合優(yōu)化問題，分類定價策略能顯著縮短定價和票額分配綜合優(yōu)化模型的求解時間。

表6 大規(guī)模算例在M1和M2下的計算時間

5 結(jié)論

本文針對高鐵網(wǎng)絡中大規(guī)模列車客票定價和票額分配優(yōu)化方法存在計算時間長的問題，以降低計算規(guī)模為目標，提出分類定價策略。利用購票曲線構(gòu)建其相似性指標，綜合考慮列車運行時間，設計服務同一OD對的高鐵列車聚類方法，在此基礎上構(gòu)建高鐵客票定價和票額分配綜合優(yōu)化模型，并融合DFP算法和遞歸運算設計高效求解算法。通過算例分析，驗證了本文所提出方法在求解大規(guī)模問題時的顯著優(yōu)勢。然而，作為多階段定價和票額分配的基礎，預售期階段的劃分方式是值得進一步深入研究的問題。