重本質(zhì)形成解題思路 探結(jié)構(gòu)確定解題策略
——以解析幾何中“兩根不對(duì)稱”問題的求解為例

北京市第八十中學(xué) (100102) 孫世林 李 丁

解析幾何的知識(shí)本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，所以代數(shù)運(yùn)算是解決解析幾何問題無法回避的重要環(huán)節(jié)，在這個(gè)環(huán)節(jié)中根與系數(shù)的關(guān)系經(jīng)常使用，但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)x1+x2與x1·x2“結(jié)構(gòu)不對(duì)稱”情形，使得無法直接應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解，本文以一道模擬試題為例談?wù)勥@種問題的解題思路與策略.

一、試題再現(xiàn)

(Ⅰ)求橢圓C的方程和離心率；

(Ⅱ)過點(diǎn)P(4,0)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與直線x=1交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M滿足MP⊥x軸，MB∥x軸，試求直線MA的斜率與直線MQ的斜率的比值．

二、解法探究

1.重知識(shí)本質(zhì)形成解題思路

解析幾何較平面幾何最大的優(yōu)勢(shì)是將運(yùn)動(dòng)變化用坐標(biāo)來表示，實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問題，用代數(shù)方法探究運(yùn)動(dòng)變化的幾何圖形中某些不變的性質(zhì)和規(guī)律.本題是過點(diǎn)P作直線l，隨著直線l運(yùn)動(dòng)變化，探究隨之運(yùn)動(dòng)變化的兩條直線MA和直線MQ的斜率的比值是定值，依據(jù)解析幾何的知識(shí)本質(zhì)，我們從直線l入手，設(shè)直線l的方程為y=k(x-4)(k≠0)，將直線MA和直線MQ的斜率用直線l的斜率k來表示，通過代數(shù)運(yùn)算得出其斜率的比值為定值.

2.探代數(shù)式結(jié)構(gòu)確定解題策略

對(duì)于解析幾何問題即使解題思路清晰但也未必能順利解決問題，其中代數(shù)運(yùn)算就是攔路虎之一，如本題解題思路清晰，但對(duì)兩直線的斜率之比的代入、變形、化簡(jiǎn)是解決問題的關(guān)鍵，解法一中結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構(gòu)我們采取減少變量的方式，將比值化為含有k和x1的形式，在觀察比值的結(jié)構(gòu)特征從而求解，可見在解決解析幾何問題中，探究代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，實(shí)現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵，如何探究代數(shù)式的結(jié)構(gòu)？我們看下面的解法.

3.揭本溯源探究解法的合理性

4.多角度探究豐富本題的解法

本題是過點(diǎn)P(4,0)作與x軸不重合的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求直線MA的斜率與直線MQ的斜率的比值，在解法1解法2都采取從直線方程的點(diǎn)斜式入手，我們也可以采取從直線l方程的橫截距式入手，可以使解題過程更簡(jiǎn)潔.

點(diǎn)評(píng)：解法3采取了減少變量的方法，借助根與系數(shù)的關(guān)系將比值用m和y1表示，解法4通過探究y1y2與y1+y2的數(shù)量關(guān)系，將2my1y2=-3(y1+y2)代入分式實(shí)現(xiàn)分子分母結(jié)構(gòu)相同，從而約分得解.

三、反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出：要注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).要求學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問題；要求學(xué)生能夠在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.解析幾何是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.解析幾何問題的解決往往需要進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，為了提升運(yùn)算能力，解題中要重視解題思路的探究以及運(yùn)算的策略的分析，優(yōu)化解題方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，突破運(yùn)算中的障礙節(jié)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)真正提升，另外，注意代數(shù)運(yùn)算過程中的算理分析，探究運(yùn)算規(guī)律，分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生在代數(shù)式變形中的結(jié)構(gòu)意識(shí)，強(qiáng)化觀察運(yùn)算方向的自覺性、強(qiáng)化關(guān)注運(yùn)算結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔性、強(qiáng)化判斷運(yùn)算方法的適合性，從本題的解法探究可以看出，解題中如果能從理解算理和掌握算法的角度去進(jìn)行解題分析，就能夠在解題中發(fā)散解題思維，如果能夠長(zhǎng)期從理解算理和掌握算法的角度思考問題，就能養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升.