圓柱直齒輪銑削加工無干涉刀具路徑規(guī)劃

王振宇， 張榮闖， 于天彪

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819； 2.東北大學(xué)秦皇島分校 控制工程學(xué)院， 河北 秦皇島 066004)

隨著數(shù)控技術(shù)的發(fā)展，通用銑刀多軸加工，因其在齒輪加工過程中具有的高度柔性化，已成為一種重要的齒輪加工方法[1-4]. 相對于傳統(tǒng)的滾齒等加工方法，銑削加工在新式齒輪的快速原型制造、大型齒輪的單件生產(chǎn)以及齒輪的修復(fù)等方面具有明顯的優(yōu)勢. 由于采用多軸銑削加工，合理地規(guī)劃刀具路徑是保證齒輪加工精度和加工效率的關(guān)鍵.

齒輪銑削刀具路徑規(guī)劃主要有以下兩種方法.一是漸開線包絡(luò)法. 齒輪齒廓既可通過立銑刀的側(cè)刃，類似于滾刀直線刃包絡(luò)出漸開線，也可以通過球頭銑刀圓弧刃包絡(luò)出漸開線，兩種方式在工業(yè)中都有廣泛應(yīng)用. ?zel 采用徑向銑齒加工齒輪，根據(jù)漸開線方程推導(dǎo)出切削路徑和齒廓偏差，分析加工參數(shù)和齒輪參數(shù)對二者的影響[5-6]. Guo 等提出一種漸開線圓柱齒輪立銑刀包絡(luò)銑削加工方法，通過所建立的數(shù)學(xué)模型分析齒面精度和刀具路徑之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)銑刀具路徑規(guī)劃與齒面精度特性優(yōu)化匹配[7].郭二廓等推導(dǎo)出立銑刀側(cè)銑加工齒輪的齒廓誤差模型，研究了刀具進(jìn)給策略、齒輪幾何參數(shù)對齒廓誤差的影響[8]. Shi 等研究了粗糙度一致性約束下的圓柱齒輪銑削路徑規(guī)劃方法，通過漸開線的等距線確定出刀位點(diǎn)[9-10].二是自由曲面包絡(luò)法.即將齒廓曲面擬合成自由曲面，根據(jù)自由曲面的多軸加工方法來銑削齒輪.Kawasaki 等將錐齒輪設(shè)計(jì)齒廓點(diǎn)導(dǎo)入到CAM軟件中，進(jìn)行光順后形成NURBS曲面，進(jìn)而利用CAM軟件中自由曲面銑削功能實(shí)現(xiàn)齒廓銑削加工的刀具路徑規(guī)劃[11]. Bouquet等在CAD/CAM軟件中對圓柱齒輪銑削進(jìn)行刀具路徑規(guī)劃，將切削過程分為立銑刀齒坯加工、立銑刀齒槽粗加工、立銑刀齒面粗加工，以及保證齒廓精度的球頭銑刀精加工四個(gè)步驟[1].lvarez 等基于CAM軟件在多任務(wù)五軸機(jī)床大型螺旋錐齒輪銑削加工中制定不同的加工策略和刀具路徑，通過誤差分析優(yōu)化刀具路徑[12]. Staudt 等對圓柱齒輪自由銑削加工過程進(jìn)行詳細(xì)論述，包括CAX過程鏈確定、刀具選擇以及加工策略選擇等[3]. 相對于自由曲面包絡(luò)法，漸開線包絡(luò)法可以根據(jù)齒廓的幾何特性、齒廓精度要求，準(zhǔn)確地計(jì)算出刀具路徑.上述研究成果中，刀具路徑規(guī)劃主要集中于刀位點(diǎn)的計(jì)算，算法較少涉及銑刀與齒廓之間的全局干涉以及刀具半徑過大造成局部干涉問題的處理.

基于此，以球頭銑刀圓弧刃銑削圓柱直齒輪保證齒廓精度的精加工為對象，利用漸開線包絡(luò)法確定出銑刀圓弧刃包絡(luò)齒廓的刀位點(diǎn)，通過干涉判斷計(jì)算出無干涉條件下刀具偏角范圍，提出一種無干涉圓柱齒輪球頭銑削刀具路徑規(guī)劃方法，通過仿真實(shí)例驗(yàn)證該方法的可行性和有效性.

1 齒輪銑削加工數(shù)學(xué)模型

1.1 銑削運(yùn)動(dòng)模型

銑削運(yùn)動(dòng)如圖1所示，采用四軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行齒輪包絡(luò)銑削加工，工件固定在B軸上，跟隨B軸旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)間歇分度運(yùn)動(dòng)；球頭銑刀固定在回轉(zhuǎn)主軸S軸上，通過x，y，z軸直線進(jìn)給定位，完成工件材料去除加工.

圖1 齒輪銑削運(yùn)動(dòng)示意圖

圖2所示為齒輪銑削坐標(biāo)系統(tǒng). 機(jī)床坐標(biāo)系oM-xMyMzM與機(jī)床床身固定連接，定義為坐標(biāo)系統(tǒng)的絕對坐標(biāo)系，zM軸與齒輪回轉(zhuǎn)軸線重合；坐標(biāo)系oW-xWyWzW與工件固定連接，坐標(biāo)軸yW與齒廓中心線重合，圍繞機(jī)床坐標(biāo)系的zM軸作間歇回轉(zhuǎn)分度運(yùn)動(dòng)，φ表示工件回轉(zhuǎn)的角度；坐標(biāo)系oT-xTyTzT為球頭銑刀坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)oT位于球頭銑刀的球心，坐標(biāo)軸zT與機(jī)床主軸軸線一致；oG-xGyGzG為描述輪齒齒廓數(shù)學(xué)模型的齒廓坐標(biāo)系，其軸線yG與齒廓中心線重合；φ為與工件坐標(biāo)系之間的夾角，當(dāng)φ=0時(shí)，與工件坐標(biāo)系相重合.

圖2 齒輪銑削坐標(biāo)系統(tǒng)

齒廓坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系之間的變換矩陣為

(1)

工件坐標(biāo)系與機(jī)床坐標(biāo)系之間的變換矩陣為

(2)

則齒廓坐標(biāo)系與機(jī)床坐標(biāo)系之間的變換矩陣為

MMG=MMWMWG.

(3)

1.2 齒廓幾何模型

(4)

圖3 直齒輪齒廓幾何模型

(5)

(6)

(7)

式中，0≤θt≤π/2-ζ.

(8)

式中，Ω+ζ≤θr≤β，β=π/z.

(9)

(10)

(11)

2 齒輪銑削刀具路徑規(guī)劃

齒輪銑削刀具路徑規(guī)劃包括刀位點(diǎn)計(jì)算和刀軸矢量計(jì)算兩部分.刀位點(diǎn)計(jì)算主要確定刀具在銑削過程中的刀具位置；刀軸矢量計(jì)算主要是確定無干涉條件下的刀具偏角范圍.

2.1 刀位點(diǎn)計(jì)算

2.1.1 漸開線齒廓刀位點(diǎn)計(jì)算

漸開線齒廓刀位點(diǎn)的確定取決于齒廓銑削的刀具進(jìn)給策略；進(jìn)給策略主要有等殘留高度、等弧長、等徑向三種，等殘留高度刀位點(diǎn)計(jì)算是其余進(jìn)給策略刀位點(diǎn)計(jì)算的基礎(chǔ).

1) 等殘留高度進(jìn)給策略刀位點(diǎn)計(jì)算.

圖4所示為漸開線齒廓刀位點(diǎn)計(jì)算示意圖.理論齒廓曲線ε1是不同刀位點(diǎn)刀具圓弧的包絡(luò)線；CG，K，LG，K分別為已知的刀觸點(diǎn)和刀位點(diǎn)，對應(yīng)的漸開線壓力角為αK，LG，K+1為需要求取的刀位點(diǎn).ε2為等殘留高度曲線，ε3為刀具路徑曲線；GK為等殘留高度點(diǎn)，位于ε2上，到ε1的距離為殘留高度h，同時(shí)也是相鄰兩個(gè)刀位點(diǎn)刀具圓弧的交點(diǎn).

圖4 漸開線齒廓刀位點(diǎn)計(jì)算

ε2表示為

rGh(α)=rG(α)+nG(α)h.

(12)

ε3表示為

rGR(α)=rG(α)+nG(α)R.

(13)

CG，K點(diǎn)和LG，K點(diǎn)的位置表示為

(14)

建立刀位點(diǎn)LG，K處的刀具圓弧坐標(biāo)系oJ-xJyJ，原點(diǎn)oJ位于LG，K點(diǎn)，ε1的法向nG，K為yJ軸，切向?yàn)閤J軸，刀具圓弧可表示為

(15)

刀具圓弧在齒廓坐標(biāo)系下可表示為

rG(αk，θ)=LG，K(αK)+rJ(θ).

(16)

由式(12)和式(16)，殘留高度點(diǎn)GK表示為刀具圓弧rG(αk，θ)和ε2的交點(diǎn)，滿足

rG(αk，θ)-rGh(α)=0.

(17)

式(17)采用數(shù)值計(jì)算的方法求解，其求解涉及到：

①rG(αk，θ)在ε2上的投影點(diǎn)；

② 求取θh，滿足|rG(αk，θh)-rGh(α)|=0.

rG(αk，θ)在ε2上的投影點(diǎn)對應(yīng)最短距離，定義距離平方函數(shù)為

f(α)=|rG(αk，θ)-rGh(α)|2.

(18)

通過Newton-Raphson迭代法求取rG(αk，θ)到ε2最小距離的投影點(diǎn)，迭代過程的初值為αk.

Newton-Raphson迭代法需要確定θ的初值，定義rG(αk，θ)到ε2的距離函數(shù)為

d(θ)=|rG(αk，θ)-rGh(α)|.

(19)

求取角度θh，滿足d(θh)=0，本文采用二分法進(jìn)行求??；采用刀觸點(diǎn)CG，K對應(yīng)的角度值，即θh=0作為迭代初值，沿著步距方向采用二分法進(jìn)行搜索[15].

求出等殘留高度點(diǎn)GK后，刀具路徑上下一個(gè)刀位點(diǎn)LG，K+1通過下面幾何關(guān)系進(jìn)行求解：LG，K+1位于刀具路徑曲線ε3上；GK點(diǎn)到LG，K+1點(diǎn)的距離由刀具半徑R確定.LG，K+1點(diǎn)的具體計(jì)算方法與GK點(diǎn)求取類似.

2) 等弧長、等徑向進(jìn)給策略刀位點(diǎn)計(jì)算.

圖5所示為等弧長和等徑向進(jìn)給示意圖.圖5a中ΔS為常量，圖5b中Δy為常量，刀位點(diǎn)計(jì)算以等殘留高度計(jì)算結(jié)果為基礎(chǔ).圖6所示為等殘留高度計(jì)算出的刀觸點(diǎn)CG，K，CG，K+1之間的弧長ΔSK與徑向間距ΔyK，計(jì)算公式如下：

(20)

式中，

圖5 等弧長、等徑向進(jìn)給策略

圖6 ΔSK和ΔyK計(jì)算

保證齒廓精度，要求等弧長、等徑向進(jìn)給下的殘留高度不能大于殘留高度h，求出等殘留高度下相鄰刀位點(diǎn)中的ΔSmin,Δymin，計(jì)算公式如下：

(21)

式中，n為漸開線齒廓刀位點(diǎn)數(shù).

以ΔSmin為相鄰刀位點(diǎn)計(jì)算的離散弧長，計(jì)算出LG，K+1點(diǎn)對應(yīng)的等弧長進(jìn)給下的壓力角αK+1為

(22)

式中:SAB為漸開線弧長；αA為齒頂圓A點(diǎn)對應(yīng)的壓力角.

以Δymin為相鄰刀位點(diǎn)在徑向上進(jìn)給的離散間距，通過數(shù)值計(jì)算得到LG，K+1點(diǎn)對應(yīng)的壓力角αK+1為

(23)

式中，yG，A為齒頂圓A點(diǎn)的縱坐標(biāo).

根據(jù)式(22)和式(23)求出αK+1之后，將其代入到式(14)，計(jì)算出對應(yīng)的LG，K+1點(diǎn)的位置.

2.1.2 過渡曲線和齒根曲線刀位點(diǎn)計(jì)算

過渡齒廓和齒根齒廓均為圓弧曲線，本文中采用等殘留高度進(jìn)給策略進(jìn)行銑削. 通過解析法進(jìn)行求解. 如圖7所示，過渡齒廓為凹圓弧，過渡圓弧的半徑為rt=|rG，E-rG，B|，則相鄰刀位點(diǎn)之間的間隔角δ1表示為

(24)

式中：l1=rt-R；l2=R；l3=rt-h.

LG，K+1點(diǎn)的位置表示為

LG，K+1(δ1)=M(δ1)(rG，B-rG，E)/|rG，B-rG，E|·l1.

(25)

如圖8所示，齒根圓為凸圓弧，與過渡曲線刀位點(diǎn)計(jì)算相似，則δ2表示為

(26)

式中：l4=rf+R；l5=R；l6=rf+h.

LG，K+1點(diǎn)的位置表示為

LG，K+1(δ2)=M(δ2)rG，D/|rG，D|·l4.

(27)

圖7 過渡曲線刀位點(diǎn)計(jì)算

圖8 齒根圓刀位點(diǎn)計(jì)算

由圖2可知，機(jī)床坐標(biāo)系下的刀位點(diǎn)計(jì)算，應(yīng)先確定工件回轉(zhuǎn)角φ. 圖9所示，定義齒廓法向量nW，K和刀軸矢量tW，λ之間的夾角λ為刀具偏角，相對于nW，K旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)，其范圍為[-π/2，π/2].

tW，λ表示為

tW，λ=MW，λnW，K.

(28)

主軸S矢量T=[0 0 1]，與tW，λ之間的夾角φ即為工件的回轉(zhuǎn)角，計(jì)算公式為

φ=arctan(tWx，λ/tWy，λ).

(29)

圖9 工件回轉(zhuǎn)角φ

2.2 刀具偏角范圍計(jì)算

刀具軸向矢量主要取決于刀具偏角的選擇，刀具偏角主要通過刀具干涉判斷來確定.

1)干涉類型.齒輪銑削過程中主要有兩種干涉狀況，分別為局部干涉和全局干涉.局部干涉通常指采用過大的刀具半徑時(shí)導(dǎo)致齒根產(chǎn)生過切干涉，可以通過改變刀具半徑大小來避免，如圖10所示；全局干涉通常指刀具整體與工件的漸開線齒廓相碰撞，可以通過改變銑刀刀軸方向來避免，如圖11所示.

圖10 局部過切干涉與避免

圖11 全局干涉與避免

2)局部干涉產(chǎn)生和避免.齒輪齒廓中漸開線齒廓和齒根圓齒廓為凸面，不能夠產(chǎn)生局部過切干涉；而過渡曲面為凹曲面容易產(chǎn)生局部過切干涉.

不產(chǎn)生干涉的條件為

R≤rt.

(30)

3)全局干涉產(chǎn)生和避免.全局干涉主要通過距離法判斷[16].如圖12所示，刀具球部中心到刀柄的距離為L，刀具軸線上的任意一點(diǎn)可表示為

rG(λ，ζ)=LG，K+ζtG，λ.

(31)

式中：0≤ζ≤L；LG，K表示點(diǎn)LG，K的位置矢量.

銑刀軸上任意一點(diǎn)到齒廓的距離表示為

h1(λ，ζ)=|rG(λ，ζ)-rG(α)|.

(32)

最小距離表示為

h1min=minζ，λ，α|rG(λ，ζ)-rG(α)|=R.

(33)

圖12 全局干涉判斷

根據(jù)式(33)求出滿足要求的刀具偏角λ1min. 避免產(chǎn)生全局干涉，要求λ≥λ1min. 圖12中刀軸上的P2點(diǎn)和齒面上的P3點(diǎn)構(gòu)成了兩者之間的最短距離，該距離小于R，產(chǎn)生了明顯的全局干涉，需要調(diào)整刀傾角λ，調(diào)整的角度Δλ計(jì)算式為

(34)

式中，P1，P2，P3分別表示對應(yīng)點(diǎn)P1,P2,P3的位置矢量.

3 仿真實(shí)例

表1所示為仿真實(shí)例采用的齒輪幾何參數(shù)，球頭銑刀半徑R=2，進(jìn)給策略采用等殘留高度進(jìn)給. 圖13所示為不產(chǎn)生全局干涉的刀具偏角變化范圍，漸開線齒廓部分刀具偏角可行域范圍明顯大于齒根過渡曲線和齒根圓部分.圖14所示為基于CAD實(shí)體法齒輪銑削加工中刀具和工件之間的相對位置，刀具始終位于切削齒槽內(nèi)，沒有產(chǎn)生干涉現(xiàn)象. 圖15所示為實(shí)體法仿真后的齒廓偏差，漸開線齒廓刀具偏角λ=60°，過渡曲線和齒根圓刀具偏角λ=-20°，相鄰刀位點(diǎn)之間的齒廓偏差一致，均小于等于殘留高度h.圖16所示為基于VERICUT的齒輪銑削過程仿真.機(jī)床采用圖16a中Makino a77四軸臥式加工中心，圖16b中齒根圓銑削設(shè)置刀具偏角λ=-20°時(shí)，銑刀和齒廓之間沒有發(fā)生全局干涉現(xiàn)象，然而圖16c中λ=-25.71°時(shí)，則產(chǎn)生明顯的全局干涉. 上述仿真結(jié)果驗(yàn)證了刀具路徑規(guī)劃方法的可行性和有效性.

表1 齒輪幾何參數(shù)

圖13 無全局干涉刀具偏角

圖14 銑刀與工件的相對位置

圖15 齒廓偏差

圖16 全局干涉仿真

4 結(jié) 論

1) 建立齒輪包絡(luò)銑削運(yùn)動(dòng)模型，分析漸開線齒輪齒廓的幾何特性，研究等殘留高度下的球頭銑刀包絡(luò)齒廓的刀位點(diǎn)計(jì)算方法.

2) 以等殘留高度計(jì)算刀位點(diǎn)為基礎(chǔ)，殘留高度約束下，給出了等弧長、等徑向進(jìn)給的刀位點(diǎn)計(jì)算方法.

3) 針對刀具干涉情況，通過選擇小于過渡曲線圓弧的刀具半徑來避免；全局干涉采用距離法來確定是否干涉，給出刀具無干涉情況下的刀具偏角范圍.

4) 在仿真實(shí)例的齒廓偏差曲線中，不同刀位點(diǎn)處的偏差一致，等于殘留高度，仿真加工過程有效地避免刀具干涉. 仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所采用方法的可行性和有效性.