橢圓形鋼管混凝土構件極限承載力分析的彈性模量縮減法

趙玉峰，解威威，楊綠峰*

(1.廣西大學 土木建筑工程學院，廣西 南寧 530004；2.工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西 南寧 530004；3.廣西路橋工程集團有限公司，廣西 南寧 530011)

0 引言

鋼管混凝土(CFST)是鋼管和混凝土的組合，不同截面形式具有不同受力特性。橢圓形截面CFST能夠在一定程度上彌補圓形和矩形截面CFST的不足，是2種截面結合的產物，具有強軸抗彎能力強，鋼管對混凝土約束效果好等優(yōu)點，且其流線型的外觀滿足建筑審美要求，已在機場航站樓、車站候車廳等結構中得到應用[1-2]。結構的承載能力對于結構安全評估具有重要意義，因此有必要對橢圓形CFST結構極限承載力開展研究。

橢圓形CFST構件截面強度及其承載力相關方程是開展橢圓形CFST結構極限承載力分析的基礎，國內外研究學者開展了大量研究。Yang等[3]、Zhao等[4]、Mccann等[5]、Ren等[6]對橢圓形CFST抗壓、偏壓以及純彎性能進行研究，并提出了相應的截面強度計算公式。劉習超等[7-8]基于統(tǒng)一理論的思想，根據極限平衡理論，推導了橢圓形CFST構件抗彎承載力公式，并提出了橢圓形截面CFST壓彎承載力相關方程。Sheehan等[9]對橢圓CFST短柱的偏壓力學性能進行了試驗研究和有限元模擬，并提出了壓彎相關方程，但適用性較差。

結構極限承載力主要通過模型試驗和數值分析得到。模型試驗[5-6, 10]通過破壞性試驗獲得結構極限承載力，其結果通常用于檢驗數值方法的合理性和精度，但模型試驗耗時費力，且模擬的工況有限。數值方法包括彈塑性方法和塑性極限分析方法，前者通常采用增量非線性有限元法(INFEM)[9, 11, 12]，并通過逐級加載和非線性迭代分析獲得結構極限承載力；后者通常采用彈性模量調整法(EMAPs)[13-15]，該類方法通過線彈性迭代分析確定結構極限承載力，不涉及非線性分析，因而能更加快速、穩(wěn)定地收斂到正確解，在結構承載力分析中獲得越來越廣泛的關注，并被引入ASME等國際壓力容器設計規(guī)范中。

為了進一步提升EMAPs的計算效率，文獻[16-17]通過引入廣義屈服函數(GYF)大幅降低了有限元模型的離散自由度，但是傳統(tǒng)EMAPs的應用局限于均質材料結構。為解決該問題，文獻[18]和文獻[15]分別提出了矩形截面和圓形截面CFST的齊次廣義屈服函數(HGYF)，從而將EMAPs推廣到復合材料結構中，但迄今為止，建立的橢圓形CFST相關方程大多為分段非齊次函數形式，不能滿足塑性極限分析理論要求的比例條件，同時也未建立相應的線彈性迭代分析方法。

為此，本文在研究遴選合適的承載力相關方程基礎上，通過引入穩(wěn)定系數和彎矩放大系數考慮二階效應對CFST構件承載力的影響，進而建立橢圓形截面CFST構件的齊次廣義屈服函數，據此提出橢圓形截面CFST拱極限承載力分析的彈性模量縮減法，通過與試驗值和INFEM計算結果對比，驗證了本文方法的計算精度和計算效率。

1 橢圓形CFST構件承載力相關方程

承載力相關方程表征了結構構件在多內力組合作用下的承載性能，本文利用橢圓形CFST構件的偏壓試驗數據對比分析不同文獻中該類構件承載力相關方程的計算精度。

1.1 承載力相關方程

文獻[19]考慮截面部分塑性發(fā)展，提出了普遍適用的CFST壓彎穩(wěn)定承載力相關方程：

(1)

式中：φ為軸壓穩(wěn)定系數；N、Nu分別為截面作用的軸力和CFST抗壓強度；M、Mu分別為截面作用的彎矩和CFST抗彎強度；NE為歐拉臨界力；βm為等效彎矩系數。

文獻[8]基于圓形CFST長柱壓彎承載力相關方程，通過有限元分析，擬合得到橢圓形鋼管混凝土長柱壓彎構件的承載力相關方程。當構件繞弱軸偏心受壓時，

(2)

當繞強軸偏心受壓時，

(3)

文獻[20]參考安徽省《鋼管混凝土結構技術規(guī)程》，通過有限元分析，擬合得到橢圓形CFST長柱壓彎構件的承載力相關方程，

(4)

式中：η0為換算系數；a1、a2、a3、a4為計算參數[20]。

不同承載力相關方程對比如圖 1所示。從中可知，對于文獻[19]提出的承載力相關方程，當CFST構件截面軸力N為0時，相關方程曲線與橫坐標交點為1.4，導致曲線位于最上方，會整體高估結構的極限承載力。文獻[8]和文獻[20]提出的承載力相關方程曲線基本一致，但文獻[20]的曲線位于最下方。

(a)繞強軸

圖 2 不同文獻計算結果Nu,c與試驗值Nu,t對比

1.2 承載力相關方程準確性驗證

為了遴選準確的CFST橢圓形截面壓彎承載力相關方程，選取24個CFST橢圓形偏壓長柱試驗數據[5-6, 21]，分別根據式(1)—(4)求得上述24個構件的偏壓承載力Nu,c，Nu,c與構件承載力試驗值Nu,t的對比如圖 2所示。從中可見根據文獻[19]計算得到的數據點大部分位于等值線之上，說明計算結果比試驗值偏大，而根據文獻[8]和文獻[20]計算結果均勻的分布在等值線附近，說明計算結果與試驗值吻合較好。進一步計算Nu,c與Nu,t的比值R，并求得比值R的均值和變異系數，結果如表1所示。

由表 1可以看出：由于文獻[19]將橢圓形CFST等效為圓形，忽略了橢圓形抗彎強弱軸的影響，因此計算結果與試驗值誤差較大，高估極限承載力超過20%，文獻[20]結果誤差也超過5%。相比之下，文獻[8]得到的數據點基本分布在等值線附近，且大都處于±10%范圍內，計算結果與試驗值誤差最小且變異系數最小，穩(wěn)定性好，更適合于橢圓形CFST壓彎構件的承載力分析。

表1 不同承載力相關方程計算結果

2 齊次廣義屈服函數

2.1 廣義屈服函數

根據式(2)—(3)承載力相關方程，利用廣義屈服函數表述為

f(nx,my)≤1。

(5)

繞弱軸偏心受壓時，

(6)

繞強軸偏心受壓時，

(7)

式中：f(nx,my)為橢圓形CFST構件的GYF；nx和my分別為標準化軸力和彎矩；aE為計算參數；βm/(1-0.4nxaE)即為彎矩放大系數。

(8)

2.2 連續(xù)齊次廣義屈服函數

(9)

(10)

式中：k0<1.0為正分數；bi為待定系數，是aE的函數，選取多項式對bi進行擬合，即

(11)

式中：kj為待定系數；M2為多項式冪次。

(12)

式中Nc為配點個數。

根據最小二乘法確定待定系數，并由此得到M1=1～4時的HGYF對于原函數的擬合均方根誤差，如表 2所示，eH隨著M2的增大降低幅度很小，故綜合考慮表達式的簡化程度和擬合精度取M2=1。另一方面，當M1≥2時，eH整體上隨M1的增大而逐步降低，但是M1=1時eH最小，即HGYF的擬合精度最高，因此選取M1=1。由此可得一階HGYF：

表2 均方根誤差

繞弱軸偏心受壓時，

(13)

繞強軸偏心受壓時,

(14)

3 彈性模量縮減法

單元承載比[16]是彈性模量縮減法的關鍵參數，用于反映構件單元的承載狀態(tài)。當采用原廣義屈服函數，單元承載比定義為

(15)

式中：上標e和下標k分別表示單元編號和迭代步；Rh為廣義屈服函數的最高階次。

(16)

(17)

(18)

進而，根據變形能守恒原理建立不同單元的彈性模量調整策略[22]，

(19)

(20)

重復以上迭代過程，直到計算結果滿足收斂準則，

(21)

式中ε為收斂容差，文中取0.001。

如果第m步迭代收斂，則有

(22)

4 算例分析與驗證

利用ANSYS建立CFST結構分析模型，并采用本文彈性模量縮減法(EMRM)和增量非線性有限元法(INFEM)計算結構極限承載力。EMRM和INFEM均采用Beam189單元建模。INFEM模型中采用文獻[12]中的CFST材料本構關系，并根據Newton-Raphson法進行迭代分析，同時INFEM模型需要打開ANSYS的大變形功能。本文采用CPU2.1GHz、內存8G的普通PC機進行建模計算。

4.1 單點加載的橢圓形拱肋

橢圓形截面CFST拱，計算跨徑為4.6 m，矢高為1.533 m。軸線方程為y=x2/3.45，集中荷載作用方式如圖 3所示，截面及材料參數見表 3。

(a)1/2跨加載 (b)1/4跨加載

表3 單點加載拱肋截面及材料屬性

首先開展有限元收斂性分析，結果如圖4所示。為了獲得滿足收斂條件的計算結果，EMRM和INFEM的有限元模型分別需要將每根桿件劃分為8、20個單元。

圖4 單點加載拱肋計算結果收斂性分析

現代旅游中，旅游目的地文化難免受到外來文化的沖擊，尤其是少數民族地區(qū)。保持傳統(tǒng)文化遺產的原真性，發(fā)揚和傳承其歷史文化和民族文化是重中之重。

(a)1/2跨加載

同時比較本文方法計算結果與INFEM彈塑性分析的結果見表4。從中可見，對于跨中加載的情況，INFEM與EMRM的結果相差3.6%～5.6%；對于1/4跨加載的情況，INFEM與EMRM的計算結果相差2.6%～5.0%，2種方法的計算結果誤差較小，表明本文基于HGYF建立的EMRM具有較好的計算精度。另一方面，本文EMRM計算耗時4.5～6.1 s，大約是INFEM耗時的1/10左右，可見本文方法能夠準確高效的計算橢圓形CFST拱的極限承載力。

表4 單點加載拱肋極限承載力計算結果

4.2 五點均布加載的橢圓形拱肋

橢圓形截面CFST拱，計算跨徑為7.5 m，矢高為1.5 m，軸線方程為y=x2/9.375，如圖 6所示在拱肋上均勻作用集中荷載，截面及材料參數見表 5。

圖6 均布加載拱肋計算模型

表5 均布加載拱肋截面及材料屬性

首先開展有限元收斂性分析，考慮繞弱軸和強軸2種拱肋布置方式。如圖 7所示，本文EMRM與INFEM的有限元模型分別需要將每根桿件分別劃分為12、24個單元。

圖7 均布加載拱肋計算結果收斂性分析

(a)拱肋繞強軸壓彎

同時比較本文方法計算結果與INFEM彈塑性分析的結果見表 6。從中可見，INFEM與EMRM的結果相差0.4%～3.3%，2種方法的計算結果誤差小于4%，從而再次驗證了本文方法計算精度。另一方面，本文EMRM計算耗時4.8～5.7 s，大約是INFEM耗時的1/10左右，可見本文方法能夠準確高效的計算橢圓形CFST拱的極限承載力。

表6 均布加載拱肋極限承載力計算結果

5 影響因素分析

本文通過算例驗證了EMRM方法的正確性，進一步地，結合單點加載CFST拱，分析長短軸之比及材料強度等參數對極限承載力的影響。

5.1 截面形狀

橢圓形長短軸之比是影響截面形狀的主要因素，本文保持橢圓形截面的長軸不變，通過改變短軸進而改變橢圓截面形狀。取橢圓形長短軸之比的范圍為1.2～2.0，間隔0.2變化。利用本文方法計算不同截面形狀下拱肋的極限承載力，如圖 9所示?？梢?，橢圓形長短軸之比對拱肋極限承載力有較大的影響，隨著橢圓形長短軸之比的增加，拱肋極限承載力非線性下降。

圖9 截面形狀的影響

5.2 混凝土強度

目前CFST拱橋中混凝土強度等級多為C50，為此本文取混凝土強度等級范圍為C30～C50，分析不同混凝土強度對拱肋的影響，結果如圖 10所示。對于單點加載情況，CFST拱處于壓彎狀態(tài)，彎矩對拱肋承載力有較大的影響，而提高混凝土強度對提高截面抗彎承載力作用并不顯著，因此拱肋承載能力增幅有限。

圖10 混凝土強度的影響

5.3 鋼管強度

CFST拱橋中常用的鋼材強度為Q345，并逐漸向高強鋼發(fā)展，本文考慮鋼材屈服強度在300～500 MPa變化，研究鋼材強度對CFST拱肋極限承載力的影響，結果如圖 11所示?？梢?，鋼管強度對拱肋承載能力影響較大，拱肋承載能力隨著鋼材強度的增加而顯著增加。

圖11 鋼管強度的影響

6 結論

本文提出了橢圓形CFST極限承載力分析的彈性模量縮減法，并開展影響規(guī)律分析，得到以下結論：

① 通過引入穩(wěn)定系數、彎矩放大系數和具有分數指數冪的一階多項式，本文建立了橢圓形CFST承載力相關方程的齊次表達式，精度較高，能夠滿足塑性極限分析的比例條件，不僅克服了傳統(tǒng)廣義屈服函數受初始荷載影響的缺陷，而且能夠正確反映橢圓形CFST結構二階效應的影響。

② 在本文研究范圍內，對于單點加載的橢圓形CFST拱，截面形狀及鋼材強度對承載能力有較大的影響，當橢圓長軸保持不變時，極限承載力隨長短軸之比的增加而降低。提高混凝土強度對拱的承載能力提升有限。