五軸機床的運動學坐標變換關(guān)系研究

張永濤，馬文浩，魏躍斌

(陜西飛機工業(yè)有限責任公司，陜西 漢中 723215)

基于裝備制造業(yè)及數(shù)控加工技術(shù)的迅速發(fā)展，五軸聯(lián)動數(shù)控加工技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用。五軸數(shù)控機床在加工曲面、回轉(zhuǎn)體類等復(fù)雜零件加工方面具有顯著的優(yōu)勢，而且秉承著“一次裝夾、多工序的加工”理念[1]，不僅能夠提高生產(chǎn)效率，而且提高了產(chǎn)品的加工質(zhì)量。

五軸機床運動學模型較為復(fù)雜，可簡單理解為多體拓撲結(jié)構(gòu)形式[2]，機床加工時的刀具末端理解為一個點位，即五軸機床實際加工過程控制的則是點位的坐標運動軌跡[3]。所以實現(xiàn)運動學坐標變換關(guān)系的分析研究，需要建立運動學模型[4]，并通過齊次坐標變換矩陣，進而實現(xiàn)運動學模型的計算與求解。

通過建立的五軸機床運動學坐標的變換，不僅更容易理解五軸機床的運動方式，也為后續(xù)數(shù)控編程過程中的后置處理奠定了基礎(chǔ)。

1 五軸機床的主要類型

五軸機床主要采用X、Y、Z、A、B、C中任意5個坐標的線性插補運動，五軸加工所采用的機床通常稱為五軸機床或五軸加工中心，從廣義的角度來說，五軸機床分2種：一種是五軸聯(lián)動，即5個軸都可以同時聯(lián)動；另外一種是五軸定位加工，實際上是五軸三聯(lián)動，即2個旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)定位，只有3個軸可以同時聯(lián)動加工，這種俗稱3+2模式的五軸機床[5]，也可以理解為假五軸。

本文主要闡述說明的是第1種五軸聯(lián)動，即5個軸可以同時聯(lián)動，按照矢量軸的分布規(guī)律，坐標系類型如圖1所示。

圖1a中，轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺型數(shù)控機床坐標包括X、Y、Z等3個移動坐標軸和A、B等2個轉(zhuǎn)動軸，A軸以X軸為矢量軸，在ZOX平面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運動，B軸作為工件裝夾的直接載體，以X軸為矢量軸，在XOY平面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運動。雙轉(zhuǎn)臺式數(shù)控機床實際加工的特點是在加工過程中，主軸只做切削運動，工作臺只是旋轉(zhuǎn)而不是出現(xiàn)擺動，主軸在同一平面內(nèi)進行擺動，整個加工過程較平穩(wěn)，適宜加工難切削的材料。

圖1b中，雙轉(zhuǎn)臺型數(shù)控機床的坐標軸包括X、Y、Z等3個移動坐標軸和A、B等2個轉(zhuǎn)動坐標軸，運動方式同轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺型機床一致，A軸以X軸為矢量軸在ZOX平面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運動，B軸作為工件裝夾的直接載體，以Y軸為矢量鈾。在XOY平而內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運動。工作時，工件放置在工作臺，不參與旋轉(zhuǎn)運動。矢量旋轉(zhuǎn)運動主要集中在主軸上。因此適用于大型工作的加工。該類型機床主要用于大型五軸機床。

圖1c中，雙轉(zhuǎn)頭型數(shù)控機床的坐標包括X、Y、Z等3個移動坐標軸和B、C等2個轉(zhuǎn)動坐標軸，B軸以Y軸為矢量軸，在XOY半面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運動，C軸作為工作臺，以Z軸為矢量軸。在ZOX平面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運動，此類五軸機床加工適用面廣，切削穩(wěn)定，因此大部分機床如德瑪吉五軸加工中心、車銑復(fù)合加工中心等多采用此類機床構(gòu)造。圖2所示分別為車銑復(fù)合加工中心機床及其坐標系圖例，本文以車銑復(fù)合加工中心坐標系為例，通過齊次變換矩陣，對五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺機床的坐標變換關(guān)系展開分析研究，為典型五軸機床的坐標變換奠定一定的理論基礎(chǔ)，并為機床后置處理系統(tǒng)開發(fā)提供一定的理論支撐。

2 五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺機床運動學分析

2.1 坐標變換

刀具相對于零件做回轉(zhuǎn)運動，通過旋轉(zhuǎn)軸上一點，或者旋轉(zhuǎn)軸線矢量(即坐標系Z軸)做旋轉(zhuǎn)運動，這樣就可以確定刀具相對于加工零件的位置，在加工異形回轉(zhuǎn)體零件時，至少應(yīng)確定5個獨立的自由度[6]。按照《數(shù)控機床坐標和運動方向的命名》標準規(guī)定[7]，獨立的平移軸最多為3個，因此五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺機床運動形式為3個平移軸和2個轉(zhuǎn)動軸。

2.2 相對于矢量運動的坐標變換

在三維坐標空間中，對坐標變換做進一步研究，能夠直觀、定性地分析出車銑五軸聯(lián)動加工的基本變換原理[8]，并且在數(shù)控加工過程中，使用手工編程、自動編程時，明確加工時的刀具以及零件的運動規(guī)律，在開發(fā)數(shù)控機床后置處理時，也有廣泛的應(yīng)用[9]。

研究坐標變換主要為機床試驗加工零件來服務(wù)，當機床進行加工時，刀軸平移的方向為X向、Y向以及Z向，刀軸的旋轉(zhuǎn)矢量方向為Y向和Z向(見圖3)。因此，基本的坐標變換主要思路為對刀具點位、刀具旋轉(zhuǎn)運動、刀軸旋轉(zhuǎn)運動進行坐標平移和變換。

圖3中，假設(shè)機床在運動前的點位坐標為(X1、Y1、Z1)，在經(jīng)過一系列刀尖點位的平移，設(shè)定移動后的坐標為(X2、Y2、Z2)。通過移動前后的點位坐標的變換關(guān)系，運用數(shù)學方程計算如下：

X2=a1X1+b1Y1+c1Z1+ω1

Y2=a2X1+b2Y1+c2Z1+ω2

Z2=a3X1+b3Y1+c3Z1+ω3

(1)

式中，a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3為待定系數(shù)；ω1、ω2、ω3為平移的變換系數(shù)。

在研究齊次坐標變換時，為了表示三維空間中坐標的具體定義，一般在坐標的后面加“0”，表示n維向量，加“1”則表示具體的n維坐標。圖3所示原始的坐標值可直接表示為：

(2)

此時，圖中坐標變換的表達式可記為：

(3)

3 坐標變換關(guān)系計算

在上述分析過程中，已對五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺機床的坐標變換及相對于矢量運動做了進一步的說明，并使用變換矩陣來表示三維空間中的坐標變換。其中坐標變換主要包括坐標平移和坐標旋轉(zhuǎn)。

3.1 坐標平移

坐標的平移是指在三維空間內(nèi)，主軸(即刀軸)在平行于X、Y、Z方向的移動[10](見圖4)。筆者在做進一步分析研究時，可將其拆解為沿X、Y、Z方向的基本平移變換。

假設(shè)刀具的起始點坐標原點為O1點，其點位坐標(X1、Y1、Z1)經(jīng)過一系列位移平移，終點坐標原點為O2點，坐標值為(X2、Y2、Z2)，根據(jù)式1，O1點與O2點坐標關(guān)系式表達如下：

(4)

式中，a1、b1、c1為待定系數(shù)；ω1、ω2、ω3為平移的變換系數(shù)。

將待定系數(shù)及變換系數(shù)帶入式3中，矩陣表示為：

(5)

同理可得：X方向的平移變換矩陣的表達式為：

(6)

Y方向的平移變換矩陣的表達式為：

(7)

Z方向的平移變換矩陣的表達式為：

(8)

3.2 坐標旋轉(zhuǎn)

車銑復(fù)合加工中心可以實現(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)功能，本文分別用θb和θc表示繞Y軸與C軸的旋轉(zhuǎn)角度。刀具做旋轉(zhuǎn)運動后，如果只討論旋轉(zhuǎn)角度，不考慮機床平移軸的運動，加工過程中零件就會切傷。因此在討論坐標旋轉(zhuǎn)時，可以運用旋轉(zhuǎn)矩陣來表示。

在直角坐標系O-XYZ中(見圖5)，假設(shè)點P的坐標為(x，y，z)，分別投影在YZ平面、XZ平面、XY平面中，坐標分別為A(0，y，z)、B(x，0，z)、C(x，y，0)。

刀軸初始位置平行于Z軸，沿Y軸做回轉(zhuǎn)運動。以Y軸作為回轉(zhuǎn)軸進行運動時，其三維坐標系中，對應(yīng)的Y軸矢量不變，為簡化計算，將三維坐標系簡化為XZ平面，推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣(見圖6)。

設(shè)旋轉(zhuǎn)后坐標系為X1Z1平面，坐標系沿Y軸旋轉(zhuǎn)θ，XZ平面中P點旋轉(zhuǎn)后為P1點，對應(yīng)Z、X軸投影點位分別為B點和C點，旋轉(zhuǎn)后為B1點和C1點，設(shè)OP長度為R，∠POB為a，可計算得到：

(9)

(10)

將式10展開得到：

(11)

將式9帶入式11中，通過計算可得到：

(12)

通過旋轉(zhuǎn)后的坐標可表示為：

(13)

用矩陣表示為：

(14)

同理，使用上述計算式可推導(dǎo)出坐標系O-XYZ繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ得到O-XYZ坐標系的變換矩陣為：

(15)

4 結(jié)語

本文基于五軸數(shù)控機床加工過程中比較復(fù)雜的運動學轉(zhuǎn)換問題，通過對五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺機床的運動學分析、以車銑復(fù)合加工中心機床為例，并對典型五軸機床的坐標系搭載規(guī)則進行了分析研究，運用數(shù)學方式，對坐標系的平移、旋轉(zhuǎn)進行計算，推導(dǎo)了相對于矢量運動的齊次坐標變換矩陣，通過計算得到坐標平移和旋轉(zhuǎn)的變換矩陣，為研究數(shù)控機床的運動學提供了一定的理論支撐。