橫向各向同性地層隨鉆多極子測井聲場的分波分析與特性研究

饒博， 唐曉明,3， 蘇遠大,3*

1 中國石油大學(華東)地球科學與技術(shù)學院， 青島 266580 2 中國石油大學(華東)深層油氣重點實驗室， 青島 266580 3 青島海洋科學與技術(shù)試點國家實驗室， 青島 266580

0 引言

近年來，深水、深層鉆井逐漸增多，水平井及大斜度井的數(shù)量明顯增加，因此對隨鉆測井技術(shù)的需求更加迫切.在隨鉆測井過程中，地層縱橫波速度的獲取對地層參數(shù)的反演以及指導(dǎo)水力壓裂有著十分重要的作用，對此測井界研發(fā)了單極子縱波(Schmitt，1988；Minear et al.，1995)和四極子橫波(Tang et al.，2002)的隨鉆多極子聲波測井技術(shù).隨著以頁巖油氣為代表的非常規(guī)油氣資源勘探開發(fā)的深入(呂慶達等，2018)，地層各向異性對隨鉆聲波測量的影響變得十分重要.為此胡恒山和何曉(2009)詳細推導(dǎo)了橫向各向同性介質(zhì)中的波動方程，求解了VTI地層中裸眼井聲波的頻散方程，研究了偽瑞利波、彎曲波以及螺旋波的頻散特征.何曉等(2010)針對VTI地層給出了滿足輻射條件的井孔聲場復(fù)數(shù)解析函數(shù)的單值定義，據(jù)此進行了裸眼井多極子聲場的分波計算.在隨鉆聲波測井中，李希強等(2013)建立隨鉆VTI聲波測井模型，通過模式分析法研究了TI地層中隨鉆井孔內(nèi)一些模式波的傳播特性，指出與裸眼井的情況類似，隨鉆斯通利波也可以用于反演地層水平向橫波速度；許松(2015)在此基礎(chǔ)上提出一種同時反演地層水平向和垂直向橫波速度的聯(lián)合反演方法，進而求取地層的各向異性；王瑞甲和喬文孝(2015)進一步研究了TI地層中各向異性對隨鉆四極子聲波測井的影響，指出地層各向異性對地層四極子模式波的影響較大，建議在實際數(shù)據(jù)處理時，考慮采用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的頻散校正.

綜上所述，研究隨鉆條件下VTI地層的聲傳播規(guī)律具有十分重要的意義.但由于VTI地層隨鉆聲場中鉆鋌模式波與地層模式波耦合復(fù)雜，難以從全波波形中直接區(qū)分.針對這一問題，本文采用分波計算的方法來深入探究地層模式波的傳播特征.為此分別對單極、偶極以及四極子聲源激發(fā)的隨鉆聲場進行了分波與全波計算；通過與電纜測井的結(jié)果比較，考察了鉆鋌對地層模式波的影響，發(fā)現(xiàn)在少數(shù)參數(shù)滿足δ>ε+c44/2c33的地層中，偽瑞利波、彎曲波及四極子螺旋波的截止頻率速度小于真實地層垂向橫波速度，應(yīng)結(jié)合其他各向異性參數(shù)來確定該橫波速度.計算結(jié)果為各向異性地層中隨鉆聲波測井解釋和地層評價提供了理論依據(jù).

1 橫向各向同性地層隨鉆多極子聲場理論

圖1給出了橫向各向同性(VTI)地層中隨鉆聲波測井模型示意圖，分別為模型三維圖(圖1a)和井孔橫截面圖(圖1b)，由內(nèi)到外依次是鉆鋌內(nèi)流體、鋼鉆鋌、鉆鋌與地層之間的流體環(huán)以及井外VTI地層，圖中rc代表鉆鋌內(nèi)徑，rb代表鉆鋌外徑，ra代表井孔半徑.

圖1 VTI地層中隨鉆聲波測井模型(a)及井孔截面圖(b)Fig.1 Schematic diagram of acoustic model for logging while drilling in a VTI formation (a) and the cross sectional view of the model (b)

1.1 井孔內(nèi)含鉆鋌的聲場

根據(jù)柱狀分層介質(zhì)聲場理論(唐曉明和鄭傳漢，2004；崔志文，2004)，鉆鋌位移勢Φtool、tool和Γtool及其內(nèi)外層流體的位移勢Φin、Φout表達式為：

(1)

1.2 井孔外VTI地層的聲場

TI固體的彈性性質(zhì)由c11，c13，c33，c44，c66五個彈性常數(shù)來表達，若TI介質(zhì)對稱軸與井軸平行，則柱坐標系下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

(2)

其中σij和eij(i,j=r,θ,z)分別是TI固體中的應(yīng)力和應(yīng)變.

(3)

式中，ΦVTI、VTI、ΓVTI分別表示固體中縱波、SH橫波以及SV橫波的勢函數(shù)；jz為軸向單位矢量.

將式(3)代入彈性波動方程并且結(jié)合位移-應(yīng)變關(guān)系以及上述TI介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系得到對應(yīng)于三個位移勢函數(shù)ΦVTI、VTI、ΓVTI的三個波動方程，具體表達式為：

(4)

方程組中前兩個是P波和SV橫波的耦合波動方程，第三個是純SH橫波的波動方程，與P-SV波動不耦合.

c66q2-c44k2+ρω2=0,

(5)

(q2-k2)(Uq4+Vω2q2+Wω4)=0,

(6)

其中：

式(5)只與SH橫波有關(guān)，其解為：

(7)

式(6)為兩個因式的乘積，第一個因式無意義，其解不代表任何波動；第二個因式代表了P波和SV橫波的耦合，二者的解分別為：

(8)

將式(7)、(8)代入式(1)地層波勢函數(shù)的通解，得到其解析表達式：

(9)

系數(shù)a′和b′由式(10)給出，其中ρ為地層密度：

(10)

在此基礎(chǔ)上得到TI地層的位移、應(yīng)變分量，根據(jù)式(2)求得應(yīng)力分量，具體表達式見附錄A.

1.3 邊界條件

以上理論推導(dǎo)給出了圖1所示模型各部分的聲場，現(xiàn)將聲場由界面處的邊界條件銜接；柱坐標下固、液界面的邊界條件是徑向位移和應(yīng)力連續(xù)和切向應(yīng)力為零(唐曉明和鄭傳漢，2004).參考鄭曉波(2017)論文，通過徑向應(yīng)力連續(xù)的方式將位于鉆鋌外表面的聲壓源ps引入隨鉆聲場，以實現(xiàn)聲場的激發(fā).

鉆鋌內(nèi)流體和鉆鋌界面(r=rc)處：

(11)

鉆鋌和鉆鋌外流體界面(r=rb)處：

(12)

鉆鋌外流體和地層界面(r=ra)處：

(13)

將圖1模型各部分聲場的應(yīng)力和位移表達式代入以上邊界條件，得到矩陣方程：

H·O=Q,

(14)

其中向量O和Q的具體表達式如下：

Q={0,0,0,0,0,ps,0,0,0,0,0,0}T.

矩陣H中各元素的詳細形式見附錄B.隨鉆聲場中模式波的頻散特征由H確定，令其行列式G為零，得到各模式波的頻散方程(宋云紅等，2020)：

G(k,ω)=detH(k,ω)=0,

(15)

通過求解該方程得到各模式波波數(shù)k在不同頻率下的根，然后利用式(16)計算各模式波的相速度頻散曲線.式(16)為：

(16)

參考Tang和Cheng(2004)等文獻，鉆鋌外環(huán)上的聲壓波形可由式(17)計算：

(17)

其中S(ω)為聲源函數(shù).

1.4 分波理論基礎(chǔ)

由于VTI地層隨鉆聲場中鉆鋌模式波與地層模式波耦合復(fù)雜，難以從全波波形中區(qū)分，因此采用分波計算的方法來分析鉆鋌與地層各向異性對地層模式波的影響.分波計算的理論是根據(jù)柯西積分定理，將復(fù)波數(shù)域中沿實軸的積分轉(zhuǎn)化為實質(zhì)支點的割線積分與極點的留數(shù)之和，波數(shù)域中這些奇異點的貢獻構(gòu)成了波場中的各種成分，使其呈現(xiàn)出不同的傳播形態(tài).此方法的優(yōu)點是可以有效地提取全波中的各個成分，有利于分析各成分波的傳播特征.相比之下，經(jīng)典的實軸積分只能計算全波波形，需進一步處理才能分析各成分波的特征；但實軸積分計算的全波可以用來驗證分波的計算結(jié)果.

計算中會涉及到徑向虛波數(shù)的平方，使得隨鉆聲場函數(shù)產(chǎn)生多值性，徑向波數(shù)為零的奇異點被稱作式(17)中被積函數(shù)的支點，其中部分支點對應(yīng)的徑向虛波數(shù)的正負值會產(chǎn)生多值性，這樣的支點被定義為實質(zhì)支點，反之被定義為非實質(zhì)支點.針對隨鉆聲波測井模型，鄭曉波(2017)指出當聲源不在最內(nèi)層介質(zhì)時，有且只有最外層介質(zhì)的支點才是整個隨鉆聲場的實質(zhì)支點.針對橫向各向同性地層，何曉(2010)證明：井孔聲場函數(shù)的實質(zhì)支點的個數(shù)和分布受地層各向異性程度的差異的影響，但其中地層的縱橫波支點始終是井孔聲場函數(shù)的實質(zhì)支點，其具體表達式為：

(18)

另外兩個支點的表達式如下：

(19)

(20)

式中系數(shù)a、b、c由彈性常數(shù)確定，具體表達式為：

He和Hu(2009)對VTI地層各向異性與井孔聲場函數(shù)的支點數(shù)的關(guān)系給出了嚴格的數(shù)學證明；支點的個數(shù)及分布與Thomsen(1986)參數(shù)有關(guān)：

(21)

共分為3種情況：當參數(shù)滿足δ>ε+c44/2c33時，±kh和±kl均是井孔聲場函數(shù)的實質(zhì)支點，此時VTI地層的單值定義如圖2所示；另外兩種地層參數(shù)情況下井孔聲場函數(shù)的單值定義參考何曉(2010)的論文.

圖2 彈性TI地層井孔聲場響應(yīng)函數(shù)的單值定義(δ>ε+c44/2c33)Fig.2 Singled-value definition of the borehole acoustic response function for a TI elastic formation with δ>ε+c44/2c33

按圖2所示，式(17)中計算全波的實軸積分路徑可轉(zhuǎn)化為復(fù)波數(shù)域中(半徑很大的)半圓弧與繞過實質(zhì)支點的路徑之和；根據(jù)約當引理，圓弧段的貢獻為零，只有豎直圍道的路徑對積分有貢獻，對應(yīng)著沿井壁傳播的地層體波.以地層縱波支點為例，地層縱波支點對聲場的貢獻的表達式為：

(22)

其中，“R”代表積分路徑在支點右側(cè)，“L”代表積分路徑在支點左側(cè)，式中對波數(shù)k的積分則對應(yīng)著體波的激發(fā)強度(本文的激發(fā)強度為井中接收聲壓信號的強度).

復(fù)波數(shù)域中極點的留數(shù)對聲場的貢獻對應(yīng)著全波中的模式波，其表達式為：

(23)

其中，Ni(k,ω)則是H矩陣中第i列被聲源向量Q取代后的矩陣行列式的值，式(23)中極點kpole為一階極點.模式波的激發(fā)強度可以表示為：

(24)

2 數(shù)值計算結(jié)果及分析

本節(jié)基于上述隨鉆聲場理論及分波計算方法，計算了橫向各向同性地層中，隨鉆單極、偶極和四極子聲源激發(fā)的各模式波的頻散曲線和激發(fā)強度曲線，并在此基礎(chǔ)上給出各極點和支點對應(yīng)的時域波形.計算時所選地層及井孔參數(shù)由表1和表2給出，本文計算所用聲源為余弦包絡(luò)脈沖函數(shù)(鄭曉波，2017).

表1 地層參數(shù)Table 1 Formation parameters

表2 鉆鋌和流體參數(shù)Table 2 Drill collar and fluid parameters

2.1 隨鉆單極聲場中的分波特征

圖3a、b分別給出了橫向各向同性地層隨鉆單極聲場中各模式波的頻散和激發(fā)強度曲線.圖3a中實線對應(yīng)的是隨鉆情況下的頻散曲線，作為對比也給出了(無鉆鋌)電纜條件下的頻散曲線(點劃線)，圖中Vp、Vsh、Vsv、Vf分別表示地層縱波，地層水平向橫波，地層垂向橫波以及井孔流體聲波的波速.如圖所示，標識符號“P-R”表示的地層偽瑞利波的低頻截止速度接近地層垂向橫波速度Vsv，并且，鉆鋌的引入使聲場中增加了鉆鋌的拉伸型模式波(C1、C2)和內(nèi)斯通利波(IN-ST).另一個重要現(xiàn)象是鉆鋌對偽瑞利波和斯通利波(ST)的頻散特征產(chǎn)生了較大的影響，使得斯通利波的相速度整體下降；而偽瑞利波的截止頻率往高頻移動，其頻散變化與電纜測井時相比大幅度減弱，有利于地層橫波速度的測量.從圖3b中各極點和支點激發(fā)強度曲線中可看出，在隨鉆聲場中，地層體波的信號十分微弱，是因為其對應(yīng)的支點激發(fā)強度(圖中虛線)與模式波激發(fā)強度(實線)相比，要小1～2個數(shù)量級.以下重點研究隨鉆條件下井孔模式波的傳播特征.

根據(jù)式(22)、(23)可計算出各個極點和支點對隨鉆聲場的貢獻，給出各分波的波形.圖4給出了計算所得的隨鉆單極子聲場中各支點(體波)和極點(模式波)的分波波形，作為對比也給出了實軸積分法計算的全波波形(波形計算的聲源主頻為8 kHz，源距為3 m).圖中第1～7道給出了這些分波的歸一化波形，分波的標識符號(圖左端)與圖3相同，分波相對于全波的實際波幅比例在圖右端給出.計算結(jié)果表明，全波中的首波是由C1鉆鋌模式波與縱波支點kP貢獻的分波組成；由于縱波支點的激發(fā)強度遠小于C1鉆鋌模式波，如圖3b所示，地層縱波被鉆鋌模式波所掩蓋；地層橫波波群組成復(fù)雜，按照到時，包括偽瑞利波和支點ks、kh的貢獻，其中偽瑞利波占主要成分，因此偽瑞利波在提取地層垂向橫波速度時影響很大；斯通利波與內(nèi)斯通利波混疊，組成的波包在全波波形中幅度最大，到達最晚；C2鉆鋌模式波截止頻率較高，且在8 kHz的主頻段激發(fā)強度小，因此其產(chǎn)生的分波沒有給出；圖中第8道為實軸積分法計算的全波波形(紅色虛線)與各分波疊加后的波形(黑色實線)的對比，二者無論在相位還是幅度上均十分吻合，驗證了分波計算結(jié)果的正確性.

圖3 (a)VTI地層單極隨鉆聲場模式波頻散曲線；(b)聲場響應(yīng)函數(shù)中的極點和支點對應(yīng)的流體聲壓激發(fā)強度Fig.3 (a) LWD monopole wave velocity dispersion curves for a VTI formation; (b) Pressure excitation spectra for poles and branch points of the borehole acoustic response function

圖4 VTI地層中單極隨鉆聲場的極點和支點對應(yīng)的分波Fig.4 Component waves from poles and branch points of LWD monopole wavefield in a fast VTI formation

2.2 隨鉆偶極聲場中的分波特征

圖5a給出了橫向各向同性地層隨鉆偶極聲場中各模式波的頻散曲線(實線)，并與電纜測井中的結(jié)果進行對比(點劃線).鉆鋌的存在使地層彎曲波(標識為Flexural的實線)頻散曲線產(chǎn)生崎變，高頻段隨頻率增加，但其低頻截止仍是地層垂向橫波速度；與電纜測井相比，隨鉆偶極聲場中增加了多個模式波，包括頻散特征受井外地層影響較大的界面波(Surface)以及鉆鋌模式波(D1-D4).由于鉆鋌與井孔的相互作用，界面波和彎曲波的中高頻部分從形態(tài)上看像是無鉆鋌時的地層彎曲波與無井孔時的鉆鋌彎曲波發(fā)生了交換.鉆鋌模式波(D1-D4)在高頻時相互耦合的現(xiàn)象復(fù)雜，但在低頻段對偶極聲波測井的影響可以忽略.

考察隨鉆偶極子聲場中各個分波的激發(fā)響應(yīng)特征.如圖5b所示，3個支點的分波激發(fā)強度遠小于各模式波的強度，說明隨鉆偶極聲場中地層體波信號依然十分微弱，常被其他模式波所掩蓋.如圖6給出了圖5對應(yīng)的隨鉆偶極子聲場的分波波形.分波的標識符號(圖左端)與圖5相同，分波相對于全波的實際波幅比例在圖右端給出.地層縱波最先到達，但因為其幅度極小，無法在全波中觀測到；地層橫波波群構(gòu)成復(fù)雜，由支點ks、kh貢獻的分波以及地層彎曲波和鉆鋌模式波(D1-D4)共同組成(D3和D4在主頻段幅度太小，未畫出)，其中地層彎曲波占主要成分；界面波幅度大速度慢，在其之后是偶極換能器激發(fā)的六級聲場，值得指出的是分波計算時僅考慮了偶極聲場，因此通過分波合成得到的全波聲場中不包括其余的高階聲場(鄭曉波，2012)；鉆鋌模式波(D1-D4)以及支點kh貢獻的分波呈震蕩狀，但其前后部分疊加后相互抵消.各分波疊加得到合成全波(第9道黑實線)與實軸積分法得到的全波(紅線)十分吻合.

圖5 (a) VTI地層偶極隨鉆聲場模式波頻散曲線； (b) 聲場響應(yīng)函數(shù)中的極點和支點對應(yīng)的流體聲壓激發(fā)強度Fig.5 (a) LWD dipole wave velocity dispersion curves for a VTI formation; (b) Pressure excitation spectra for poles and branch points of the borehole acoustic response function

圖6 VTI地層中偶極隨鉆聲場的極點和支點對應(yīng)的分波Fig.6 Component waves from poles and branch points of LWD dipole wavefield in a fast VTI formation

2.3 隨鉆四極聲場中的分波特征

隨鉆橫波測量采用四極聲源(唐曉明和鄭傳漢，2004)，且大多針對慢速地層的情況.圖7給出了快速(圖7a、b)和慢速(圖7c、d)橫向各向同性地層隨鉆四極聲場中各模式波的頻散曲線和分波的激發(fā)強度曲線，圖7a、c中實線是隨鉆情況下的頻散曲線，點劃線是電纜情況下的頻散曲線.快速地層中，測井頻帶范圍內(nèi)總共出現(xiàn)了四種模式波，分別是地層模式波(Q1、Q2)和鉆鋌模式波(C1、C2)；地層模式波(Q1、Q2)的低頻截止速度接近地層垂向橫波速度.相對于電纜情況而言，鉆鋌使地層一階模式波Q1的頻散增強，不利于地層橫波速度的測量，但二階模式波Q2的頻散變化卻大為降低.由于受頻散效應(yīng)的影響較小，快速地層中采用二階四極子模式波測量垂向地層橫波速度較為有利，這與Tang等(2003)對快速各向同性地層四極子聲波研究得出的結(jié)論一致.相比于快速地層，慢速地層中只有單一的地層模式波(Q1)，其低頻部分趨近于地層垂向橫波速度，且頻散程度(相對于快速地層)較弱.與快速地層類似，慢速地層中分波激發(fā)響應(yīng)中支點的強度遠小于極點的強度，所以測量中觀察不到隨鉆四極子聲場中的地層體波.

圖7 VTI地層四極子隨鉆聲場模式波頻散曲線和聲場響應(yīng)函數(shù)中的極點和支點對應(yīng)的流體聲壓激發(fā)強度(a) 快速地層頻散曲線； (b) 快速地層激發(fā)強度; (c) 慢速地層頻散曲線； (d) 慢速地層激發(fā)強度.Fig.7 LWD quadrupole wave velocity dispersion curves in VTI formations and pressure excitation spectra for the poles and branch points of the borehole acoustic response function(a) Fast formation dispersion curves; (b) Fast formation excitation; (c) Slow formation dispersion curves; (d) Slow formation excitation.

圖8a、b分別給出了快速和慢速地層中的分波計算結(jié)果.快速地層中，全波列首波是由Q2四極子模式波與來自支點ks和kh的分波共同組成，其中Q2模式波占主要成分，這與Tang等(2003)認識一致.采用Q2模式而非Q1模式來提取沿井軸方向的橫波速度，是因為Q1模式波的頻散大，高頻時其速度遠小于地層垂向橫波速度，這也是全波列中Q2模式波比Q1模式波到時超前的原因.雖然Q1模式波的激發(fā)強度大于Q2模式波，但兩者無量級上的差異，因此利用Q2模式波來測量地層垂向橫波速度是可行的.在隨鉆測井中，鉆鋌模式波可能嚴重干擾Q2模式波的波形，對此常通過在鉆鋌上周期性刻槽來削減鉆鋌模式波的干擾.除此之外，鉆鋌模式波頻散特征與鉆鋌尺寸密切相關(guān)：當鉆鋌外徑不變，內(nèi)徑減小時，頻散曲線向高頻偏移，反之則向低頻偏移，因此在實際儀器設(shè)計中，也應(yīng)選擇合適的儀器結(jié)構(gòu)來盡量避開鉆鋌模式波的干擾；慢速地層中，Q1四極子模式波振幅最大，因此可利用該模式波來測量地層垂向橫波速度.與單極和偶極的分析一樣，將各分波疊加合成后的波形(黑線)與實軸積分計算結(jié)果(紅色虛線)吻合.全波中的高頻震蕩是一階鉆鋌模式波C1的干擾，測井時采用該鉆鋌模式波截止頻率以下的頻段便可消除這一干擾(唐曉明和鄭傳漢, 2004).

圖8 VTI地層中四極隨鉆聲場的極點和支點對應(yīng)的分波(a) 快速地層； (b) 慢速地層.Fig.8 Component waves from poles and branch points of LWD quadrupole wavefield in VTI formation(a) Fast formation; (b) Slow formation.

2.4 VTI地層隨鉆四極聲波低頻波速的討論

雖然四極子聲波適宜于隨鉆橫波測量(唐曉明和鄭傳漢，2004)，但對于VTI地層各向異性多種復(fù)雜變化情況對測量的影響加以討論很有必要.Thomsen(1986)對實際地層巖石的TI各向異性數(shù)據(jù)做了大量調(diào)研，總結(jié)出了56組典型的TI巖石參數(shù).He和Hu(2009)根據(jù)地層參數(shù)差異對這56組TI巖石進行分類，以式(21)的Thomsen參數(shù)及其組合來衡量，發(fā)現(xiàn)有接近90%的巖石各向異性參數(shù)滿足δ≤ε+c44/2c33；考察這一普適條件對隨鉆四極子橫波測量的影響，參照Thomsen(1986)論文，選取其中6組典型TI地層巖石參數(shù)(見表3快地層1～3、慢地層1～3)，依次是Berea sandstone、Oil Shale、Green River shale、Aluminum-lucite composite、Pierre shale以及Gas sand-water sand.

表3 地層各向異性參數(shù)Table 3 Anisotropic parameters of formations

計算結(jié)果如圖9所示，實線為四極子模式波(Q1、Q2)的相速度，點劃線為群速度頻散曲線.圖9a的快速地層中，4條水平虛線自上而下依次代表Berea sandstone、Oil Shale以及Green River shale

圖9 滿足條件δ≤ε+c44/2c33 的VTI地層隨鉆四極子模式波頻散曲線(a) 快速地層; (b) 慢速地層.Fig.9 LWD quadrupole wave dispersion curves in VTI formations with δ≤ε+c44/2c33(a) Fast formation； (b) Slow formation.

巖石的垂直向橫波速度，圖9b的慢速地層中，4條水平虛線自上而下依次代表井內(nèi)流體速度，Aluminum-lucite composite、Pierre shale以及Gas sand-water sand巖石的垂直向橫波速度；結(jié)果表明在滿足條件δ≤ε+c44/2c33的快速和慢速TI地層巖石中，地層四極子模式波的低頻截止速度都接近于真實地層的垂向橫波速度；并且，與圖7類似，快速VTI地層的Q1四極子模式波為強頻散模式，而Q2四極子模式波的頻散相對較弱.

另外，He和Hu(2009)對Thomsen數(shù)據(jù)的統(tǒng)計也表明，約有10%巖石的TI各向異性滿足條件δ>ε+c44/2c33.針對這一類各向異性巖石計算隨鉆四極子模式波的頻散曲線，參數(shù)分別選自Thomsen(1986)論文中典型的Mesaverde laminated siltstone和何曉(2010)論文，由表3快地層4和慢地層4給出.

圖10分別給出了快速(圖10a)和慢速(圖10c)VTI地層四極子模式波的相速度(實線)和群速度頻散曲線(點劃線)，結(jié)果表明在滿足δ>ε+c44/2c33的條件下，無論快速還是慢速VTI地層的四極子模式波截止頻率處的波速均小于真實地層垂向橫波速度，趨于實質(zhì)支點kh對應(yīng)的速度vh=ω/kh(藍色虛線)，這與上述滿足條件δ≤ε+c44/2c33的各向異性地層很不相同.圖10b、d進一步給出了快速和慢速VTI地層的分波計算結(jié)果；圖10b中自上而下分別是主頻為8 kHz的Q2四極子模式波的分波，主頻為3.5 kHz的Q1模式波分波，以及主頻為8 kHz的全波.作為對比，全波波形中畫出了Q2模式波分波(紅色虛線)，說明此時首波仍是Q2四極子模式波；圖中綠點代表地層垂向橫波到時，可見快速地層中四極子模式波到時滯后于沿井孔傳播的地層橫波.圖10d中主頻為3kHz的地層四極子模式波Q1到時也同樣出現(xiàn)滯后于地層橫波的現(xiàn)象.值得指出的是，單極偽瑞利波和偶極彎曲波也有類似現(xiàn)象，但是在前文的算例中，Vh與Vsv接近，所以這一現(xiàn)象不太明顯.上述現(xiàn)象與He和Hu(2009)對裸眼井的理論分析結(jié)果一致，其產(chǎn)生的原因是，在參數(shù)滿足條件δ>ε+c44/2c33的TI地層中，實質(zhì)支點ks右側(cè)將會出現(xiàn)新的實質(zhì)支點kh，使四極子模式波的截止頻率波速不是趨于地層垂向橫波速度，而是趨于支點kh對應(yīng)的速度vh.測量該速度是有意義的，因為根據(jù)式(19)，vh是地層各向異性參數(shù)的組合，可以用所測波速結(jié)合這些參數(shù)來求取地層垂向橫波速度.

圖10 滿足條件δ>ε+c44/2c33的VTI地層隨鉆四極子模式波頻散曲線和分波分析(a) 快速地層頻散曲線; (b) 快速地層分波分析； (c) 慢速地層頻散曲線; (d) 慢速地層分波分析.Fig.10 LWD quadrupole wave dispersion and component wave analysis in VTI formations with δ≤ε+c44/2c33(a) Fast formation dispersion； (b) Fast formation complement wave； (c) Slow formation dispersion； (d) Slow formation complement wave.

3 結(jié)論

本文通過對橫向各向同性地層隨鉆聲場的分波分析和計算，將聲場全波分解成來自波數(shù)域中的奇異點(包括支點和極點)的分波的貢獻，對比研究了單極、偶極和四極子聲場模式波的傳播特征，得出以下結(jié)論：

(1)與電纜測井結(jié)果相比，快速地層中鉆鋌的存在使得斯通利波和地層一階四極子模式波(Q1)的頻散變化增加，不利于地層橫波速度的測量；鉆鋌和地層的彎曲波頻散特征和形態(tài)也發(fā)生了較大變化；偽瑞利波和地層二階四極子模式波(Q2)的頻散則大幅度減弱，有利于地層橫波速度的測量.

(2)快速VTI地層隨鉆多極子聲場的橫波波群構(gòu)成復(fù)雜，單極的橫波波群由偽瑞利波與支點ks和kh貢獻的分波共同組成，其中偽瑞利波占主要成分；偶極的橫波波群由彎曲波和一階鉆鋌模式波(D1)與支點ks和kh貢獻的分波共同組成，其中彎曲波占主要成分；四極的橫波波群由地層二階四極子模式波(Q2)與支點ks和kh貢獻的分波共同組成，其中地層二階四極子模式波(Q2)占主要成分.慢速VTI地層中，橫波波群由地層四極子模式波和支點ks貢獻的分波共同組成，其中地層四極子模式波占主要成分.因此，多極子聲場中的偽瑞利波、彎曲波和四極子螺旋波可用于測量VTI地層的垂直向橫波速度.

(3)在各向異性參數(shù)滿足條件δ>ε+c44/2c33的VTI地層中，偽瑞利波、彎曲波以及四極子螺旋波的截止頻率處的波速均小于垂直向地層橫波速度，將這一波速與地層各向異性參數(shù)結(jié)合可以獲得垂直向地層橫波速度.

附錄A

井孔外VTI地層徑向位移，徑向、環(huán)向及軸向應(yīng)力分量表達式為：

附錄B

H矩陣元素為(所有未列出的矩陣元素都為0)：

H21=ρfω2In(frc)，

H68=ρfω2In(frb)，

H69=ρfω2Kn(frb)，

H10,8=ρfω2In(fra)，

H10,9=ρfω2Kn(fra)，

+qpKn+1(qpra))，

+qsvKn+1(qsvra))，

-qpKn+1(qpra))，

+qsvKn+1(qsvra))，