三體作用下玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中的PT-對(duì)稱孤子

漆 偉，李 明，郭曉剛

(陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院,陜西 西安 710021)

1998年,Bender研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)勢(shì)滿足PT對(duì)稱時(shí)，非厄米系統(tǒng)可以產(chǎn)生實(shí)譜[1].PT對(duì)稱勢(shì)V(x)要求滿足條件V(x)=V*(-x).在這樣的系統(tǒng)中，勢(shì)的虛部代表粒子與外部環(huán)境的相互作用.目前，很多學(xué)者對(duì)于非厄米PT對(duì)稱系統(tǒng)展開(kāi)了研究，比如具有PT對(duì)稱勢(shì)BEC中的渦旋[2]；雙模近似下的PT對(duì)稱量子系統(tǒng)的BEC[3]；PT雙勢(shì)阱中非線性量子動(dòng)力學(xué)的研究等[4].

孤子是一種常見(jiàn)的非線性現(xiàn)象，在等離子體物理、非線性光學(xué)、電磁學(xué)、生物學(xué)、天體物理、固體物理以及玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體等眾多領(lǐng)域廣泛存在[5-10].隨著在BEC中陸續(xù)發(fā)現(xiàn)亮孤子，暗孤子和渦旋孤子[11-14].關(guān)于BEC中物質(zhì)波動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究成為當(dāng)前重要課題之一[15-19].

BEC的動(dòng)力學(xué)行為受到原子間相互作用的顯著影響.BEC中原子間兩體相互作用強(qiáng)度主要通過(guò)s-波散射長(zhǎng)度a描述，當(dāng)a>0時(shí)，原子間互相排斥，當(dāng)a<0時(shí)，原子間互相吸引.實(shí)驗(yàn)上，通過(guò)Feshbach共振技術(shù)調(diào)節(jié)s-波散射長(zhǎng)度的大小，研究?jī)审w相互作用[20].當(dāng)原子密度較低時(shí)，原子間距遠(yuǎn)大于原子間相互作用的距離，兩體相互作用將起主要作用，而三體相互作用可以忽略[21].當(dāng)原子密度較高時(shí)，原子間距變小，三體相互作用將發(fā)揮重要作用[22]，比如在集成原子光學(xué)器件中[23].實(shí)驗(yàn)觀察，即使三體相互作用的強(qiáng)度很小，也可以使凝聚體粒子數(shù)明顯增多.實(shí)驗(yàn)上，通過(guò)Feshbach共振技術(shù)調(diào)節(jié)兩體和三體相互作用，獲得三體相互作用占主導(dǎo)的BEC.考慮原子密度較高時(shí)，三體相互作用對(duì)BEC動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響.

文中首先得到描述在平均場(chǎng)近似下具有兩體和三體相互作用束縛于PT對(duì)稱勢(shì)中BEC動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的3～5次Gross-Pitaevskii(GP)方程.然后提出了適用于非厄米系統(tǒng)的變分方法，解析得到孤子的化學(xué)勢(shì)，寬度和密度分布的表達(dá)式.之后討論三體相互作用對(duì)孤子的密度分布，寬度和化學(xué)勢(shì)的影響.

1 理論模型

考慮具有兩體和三體相互作用的BEC被束縛在PT對(duì)稱的外勢(shì)中，在平均場(chǎng)近似下BEC的動(dòng)力學(xué)行為可由如下的GP方程描述[24]

對(duì)(2)式做無(wú)量綱化處理[25]，令

為了簡(jiǎn)便,省略兩體和三體相互作用的系數(shù)以及變量上方的波浪線，用t代替τ.這個(gè)雪茄形凝聚體的動(dòng)力學(xué)行為由如下準(zhǔn)一維的GP方程來(lái)描述

其中，V(x)滿足條件V(x)=V*(-x)，勢(shì)的形式為V(x)=VR(x)+iV1(x).選擇高斯型勢(shì)VR=-Vrexp(-x2)作為PT對(duì)稱勢(shì)的實(shí)部，高斯型勢(shì)在實(shí)驗(yàn)上較容易實(shí)現(xiàn)[26].選擇V1=-Vixexp(-x2)作為PT對(duì)稱勢(shì)的虛部,虛部代表了增益損耗機(jī)制.除了利用光偶極阱外[27],還可以利用泵浦方案來(lái)實(shí)現(xiàn)增益損耗機(jī)制.

2 變分法

應(yīng)用變分法研究非厄米的耗散系統(tǒng).假設(shè)Ψ=φ(x)exp(-iμt)，代入(3)式得

(4)式左邊部分對(duì)應(yīng)保守的拉格朗日量

取試探解的形式如下:

(6)

將(8)式化簡(jiǎn)成含有粒子數(shù)N的形式，

(9)式等式右邊的最后兩項(xiàng)分別源自于兩體和三體相互作用.對(duì)含有耗散項(xiàng)的系統(tǒng)的變分法可以根據(jù)文獻(xiàn)[28]和文獻(xiàn)[29]修改為如下形式

其中，φ=N,ωb,θ.(10)式中Q=iV1(x)φ代表系統(tǒng)與外部環(huán)境的增益損耗.

令φ=N，從(10)式得到化學(xué)勢(shì)μ的表達(dá)式為

(11)式右邊第一項(xiàng)源于相位分布θf(wàn)(x)，第二項(xiàng)源自于色散傳播，第三項(xiàng)和第四項(xiàng)分別源自于兩體和三體相互作用，方程的最后一項(xiàng)源自于勢(shì)VR.上式表明兩體和三體相互作用在對(duì)化學(xué)勢(shì)的影響上存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.

令φ=ωb，從(10)式得到凝聚體寬度ωb的表達(dá)式

(12)式左邊表明粒子色散(第一項(xiàng))，兩體相互作用(第二項(xiàng))和三體相互作用(第三項(xiàng))共同決定了凝聚體的寬度.由上式可知三體相互作用極大影響了凝聚體的寬度，等式右邊的第一項(xiàng)源自于孤子的非齊次相位.等式右邊的第二項(xiàng)源自于勢(shì)VR對(duì)凝聚體寬度的影響.

最后，令φ=θ，得到孤子的相位θ的表達(dá)式

從(13)式可知，孤子的相位不受原子間相互作用的影響.對(duì)于純實(shí)數(shù)勢(shì)(V1=0)，孤子的相位分布是沿x軸的平面.

接下來(lái)，利用變分的結(jié)果重點(diǎn)討論三體相互作用對(duì)孤子性質(zhì)的影響.

3 討論分析

為了研究三體相互作用對(duì)孤子形狀，寬度和化學(xué)勢(shì)的影響，取f(x)=tanh(x)并代入到(6)式中[30].從(11)，(12)，(13)式依次得到孤子的化學(xué)勢(shì)，粒子數(shù)和相位的表達(dá)式.為了便于研究三體相互作用對(duì)于孤子性質(zhì)的影響，取g0=-1的特殊情況.對(duì)于一個(gè)固定的兩體相互作用強(qiáng)度，存在一個(gè)正的臨界三體相互作用強(qiáng)度χc，當(dāng)三體相互作用強(qiáng)度大于χc時(shí)，孤子將不能穩(wěn)定存在.例如，當(dāng)取g0=-1,ωb=0.7時(shí)，臨界三體相互作用強(qiáng)度χc的值為0.02.對(duì)于一個(gè)固定的ωb，當(dāng)三體相互作用強(qiáng)度χ0≤0時(shí)，對(duì)應(yīng)的粒子數(shù)N和化學(xué)勢(shì)μ是唯一的.但當(dāng)χc>χ0>0時(shí)，則存在兩個(gè)粒子數(shù)N及其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)化學(xué)勢(shì)μ.取其中粒子數(shù)N較小的分支稱為“普通”分支，而粒子數(shù)N較大的分支稱為“超?！狈种?圖1給出了χ0≤0和χ0>0的“普通”分支的化學(xué)勢(shì)μ隨粒子數(shù)N的變化曲線.

圖1 χ0取不同值時(shí)化學(xué)勢(shì)μ隨粒子數(shù)N的變化

當(dāng)粒子數(shù)N較小時(shí)，取不同的三體相互作用強(qiáng)度χ0對(duì)于化學(xué)勢(shì)μ的影響較小.隨著粒子數(shù)N的增大，當(dāng)χ0=0.01時(shí)，三體相互作用導(dǎo)致化學(xué)勢(shì)μ增大；當(dāng)χ0=-0.01時(shí)，三體相互作用導(dǎo)致化學(xué)勢(shì)μ減小.隨著粒子數(shù)N的增加，三體相互作用對(duì)化學(xué)勢(shì)μ的影響越來(lái)越重要.

圖2給出了χ0≤0和χ>0的“普通”分支的孤子寬度ωb隨粒子數(shù)N的變化曲線.當(dāng)粒子數(shù)N較小時(shí)，不同的三體相互作用強(qiáng)度χ0對(duì)于寬度ωb影響較小.隨著粒子數(shù)N的增加，當(dāng)χ0=0.01時(shí)，三體相互作用導(dǎo)致孤子寬度ωb變寬，當(dāng)χ0=-0.01，三體相互作用導(dǎo)致孤子寬度ωb變窄.隨著粒子數(shù)N的增加，三體相互作用對(duì)孤子寬度ωb的影響也越來(lái)越重要.

圖3給出了χ0≤0和χ0>0的“普通”分支，不同的三體相互作用強(qiáng)度χ0對(duì)于孤子密度分布|φ|2的影響.當(dāng)χ0=0.01時(shí)，三體相互作用導(dǎo)致孤子密度|φ|2增大.當(dāng)χ0=-0.01時(shí)，三體相互

圖2 χ0取不同值時(shí)孤子寬度ωb隨粒子數(shù)N的變化

圖3 χ0取不同值時(shí)孤子的密度分布 (μ=-6.66時(shí)的波形)

圖4 χ0=0.01,g0=-1時(shí)“超?！狈种У幕瘜W(xué)勢(shì)μ 和孤子的寬度ωb隨粒子數(shù)N的變化及 孤子的密度分布

作用導(dǎo)致孤子密度|φ|2減小.微小的三體相互作用強(qiáng)度的改變將會(huì)顯著影響孤子的密度分布|φ|2.

圖4a和圖4b給出了當(dāng)χ0=0.01,g0=-1時(shí)“超常”分支的化學(xué)勢(shì)μ和孤子寬度ωb隨粒子數(shù)N的變化曲線.從圖中可知，化學(xué)勢(shì)μ隨著粒子數(shù)N的增長(zhǎng)呈非線性關(guān)系.孤子的寬度ωb隨著粒子數(shù)N的增長(zhǎng)呈線性關(guān)系.圖4c給出了局域孤子的密度分布，相關(guān)參數(shù)對(duì)應(yīng)于圖4a和圖4b中標(biāo)記處.從圖4c和圖3中x0=0.01的|φ|2對(duì)比可知，“超常”分支的粒子數(shù)N遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“普通”分支的粒子數(shù)N.

通常使用Vakhitov-Kolokolov(VK)穩(wěn)定性判據(jù)來(lái)驗(yàn)證一維局域GP孤子的穩(wěn)定性.VK判據(jù)是根據(jù)孤子的粒子數(shù)與對(duì)應(yīng)化學(xué)勢(shì)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)確定孤子的穩(wěn)定性.若dN/dμ>0，則對(duì)應(yīng)的孤子是穩(wěn)定的.若dN/dμ<0，則孤子將不能穩(wěn)定存在.目前，VK判據(jù)也可以推廣到具有復(fù)雜外勢(shì)的非線性薛定諤方程來(lái)預(yù)測(cè)穩(wěn)定性[31].χ0≤0和χ>0的“普通”分支的dN/dμ總是負(fù)的，對(duì)應(yīng)的孤子是不穩(wěn)定的.χ0>0的“超?！狈种У膁N/dμ總是正的，對(duì)應(yīng)的孤子是可以穩(wěn)定存在的.當(dāng)g0=-1時(shí)，原子間的兩體相互作用是吸引力，為了使孤子穩(wěn)定存在，則需要一個(gè)正的三體相互作用引起的排斥力來(lái)阻止系統(tǒng)的坍塌，因此當(dāng)三體相互作用強(qiáng)度位于參數(shù)區(qū)間χc>χ0>0時(shí)，存在一個(gè)穩(wěn)定的亮孤子.

4 結(jié)束語(yǔ)

文中研究了束縛于PT對(duì)稱勢(shì)中具有三體相互作用BEC中孤子的穩(wěn)定性.在平均場(chǎng)近似下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)可以用3～5次的GP方程描述.應(yīng)用變分法解析得到PT對(duì)稱孤子的密度分布，寬度和化學(xué)勢(shì)的表達(dá)式.繪制了化學(xué)勢(shì)和孤子寬度隨粒子數(shù)的變化曲線.發(fā)現(xiàn)正的三體相作用使孤子的寬度和化學(xué)勢(shì)變大，而負(fù)的三體相互作用則相反.通過(guò)Feshbach共振技術(shù)調(diào)節(jié)兩體和三體相互作用，發(fā)現(xiàn)微小的三體相互作用強(qiáng)度的改變顯著影響孤子的密度分布.當(dāng)g0=-1時(shí)，兩體相互作用是吸引力，為使孤子穩(wěn)定存在,則需要一個(gè)正的三體相互作用引起的排斥力來(lái)阻止系統(tǒng)的坍塌，使系統(tǒng)穩(wěn)定.當(dāng)三體相互作用強(qiáng)度位于參數(shù)區(qū)間χc>χ0>0時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定的亮孤子.通過(guò)VK穩(wěn)定性分析，進(jìn)一步證明該孤子是穩(wěn)定存在的.